Enseigner la géométrie en 202... : quelle place pour l'algèbre linéaire ?

Dom

La représentation avec des segments contigus.  

La représentation avec deux angles adjacents. 

Oui, c’est en travaillant ces exercices que la soustraction vient « naturellement ». 

Je mets des guillemets car en fait c’est tous les spoilers qui donnent des habitudes. Et en aucun cas la définition du cours. C’est à s’interroger…

stfj

Quand on a fait l'effort d'apprendre une définition sans forcément en comprendre tous les tenants et les aboutissants (apprendre par cœur), on s'interroge fatalement à un moment ou un autre sur le lien entre la pertinence de cette définition et les multiples exercices qui viennent l'illustrer. Qu'on trouve le lien ou pas dès la 5è, peu importe : c'est le va-et-vient constant fructueux entre les exercices et la leçon qui importe (pourquoi est-ce que j'ai appris que...?). Encore faut-il qu'il y ait un cours qu'une multitude d'exercices ne saurait rendre non indispensable. Apprendre même par cœur est apprendre (mise à part la définition d'une droite affine des années 60 des Queysanne-Revuz ). Comme le rappelle Henri Cartan, à l'école, il y a des leçons à apprendre. L'exercice 166 consiste en la résolution d'un petit système de 4 équations à 4 inconnues. L'exercice oblige l'élève de 5è à de nombreuses trouvailles algébriques qui vont au-delà de son seul cours, qu'il lui faudra par contre maîtriser pour relever un tel défi.  

stfj

Au tout début du documentaire consacré à Henri Cartan, celui-ci répond à la question de Jean-Pierre Serre : "Quand est-ce que tu as pris du plaisir à faire des maths?-Toujours, faire des problèmes , oh oui... Simplement je me rappelle  que les débuts de la géométrie m'avaient un peu déconcerté : ce n'était pas bien axiomatisé. Cela me gênait. Pourquoi ceci était vrai ou évident plutôt qu'autre chose ?..."

stfj

D'un côté des générations et des générations d'enseignants qui se sont succédées et qui ne sont pas parvenus à quelque chose de "bien axiomatisé" de telle sorte que cela était gênant même pour d'excellents jeunes élèves. Et cela jusqu'à l'âge d'or de l'enseignement de la géométrie d'Euclide/Hilbert. De l'autre côté, la possibilité de faire travailler dès dix ans dans le $\mathbb Z-$module $\mathbb Z^2$ avec comme seule difficulté celle des élèves les plus faibles qui comptent mal jusqu'à dix, ou qui ne tracent pas leurs axes sur les lignes de leurs papiers quadrillés, ou qui éprouvent le plus grand mal à utiliser leur équerre ou leur rapporteur. Ces difficultés éventuellement passées, la possibilité pour tous de tracer des ellipses, des tangentes, des cercles inscrits, de faire faire des rotations, symétries orthogonales, translations, transvections, dilatations, projections centrales... à des figures simples dès la classe de 6è. A l'issue de ce débat, les arguments contre ne m'ont pas convaincu. Je reste campé sur mes positions et reprends volontiers à mon compte : A bas Euclide.

Dom

Hum… chacun est libre. Par contre croire que faire comme cela va permettre d’éviter les écueils passés, c’est naïf et prétentieux. L’argument « tout a raté donc je fais comme je fais » n’est pas valable (faisons des intégrales car ils ne connaissant pas la formule $longueur\times largeur$). Au passage, les excellents élèves n’ont jamais été gênés par des axiomes, mêmes bancals. 

Varier, je pense que c’est très bien car ça permet de contenter diverses tournures d’esprits et pas se conforter dans la sienne. 
Mais tout de même, ces quadrillages à n’en plus finir et cette grave carence pour les symétries axiales et les rotations, je me dis que de ne pas être convaincu est aussi une manière de garder des œillères… et d’éviter les dissonances cognitives quant à ses propres convictions. 

Je retiens par contre que les exercices sur les repères où l’élève va effectuer quelques calculs et placer des points puis constater, certainement avec étonnement, que ces opérations codent des transformations, c’est très pertinent de mon point de vue. 

Vassillia

De toute façon, ce qui est faisable sur une feuille blanche est faisable sur une feuille quadrillée quitte à ne pas utiliser le quadrillage donc il est impossible de dire que quadriller systématiquement peut être un désavantage pour l'apprentissage, cela ne peut qu'aider "ceux qui voient mieux ainsi" et cela ne pénalisera pas "ceux qui verraient mieux autrement"
Les oeillères me semblent plutôt d'exiger une feuille blanche parceque "c'est comme ça" ou alors je suis passée à coté de l'argument.
Par contre, pour les symétries axiales et rotations, je suis plutôt d'accord qu'il faut pouvoir le faire à partir de n'importe quelle droite ou angle donc présenter comment le faire à l'élève : soit par le calcul lorsqu'il est abordable pour ce niveau, soit par un calque, soit par une construction quelconque... Bref, lui mettre tous les outils entre les mains et il choisira ce qui lui parait le plus adapté et construira son image mentale personnelle en fonction mais lui interdire l'utilisation d'outils parceque ce serait trop compliqué alors que certains sont à sa portée me semble une sottise et peut être contre-productif.

stfj

J'ai dû mal me faire comprendre. "Pour les symétries axiales et rotations, il faut pouvoir le faire à partir de n'importe quelle droite ou angle donc présenter comment le faire à l'élève": Je suis évidemment d'accord. Ce serait effectivement une sottise d'interdire l'utilisation d'outils qui sont à sa portée (calque, pliage-découpage, rapporteur...)

Dom

Vassillia, voyons ?!
Tu vas fournir une feuille quadrillée, un triangle sur les noeuds, une droite de pente 2 et dire « faites comme si le quadrillage n’existait pas » ?
Crois-tu vraiment que cela va aider ceux qui voient mieux ainsi ?
J’aimerais être là lors d’une telle séance. 

Même avec des élèves de seconde d’ailleurs. 

Au passage, personne n’a « exigé une feuille blanche », ni en argumentant « parce que c’est comme ça ». 

Vassillia

Non, justement, je dis fais comme si le quadrillage existe et dans ta vie future, n’hésite pas à construire un quadrillage à la moindre occasion, de toute façon, il sera intégré à chaque fois que tu as besoin de travailler. Mais j'aurais quand même expliqué les méthodes sans quadrillage ne serait-ce que pour l'image mentale. C'est important, j'en suis consciente même si ce n'est pas ce qui est utilisé en pratique.

Par contre, si par le plus grand des hasards, il se trouve que l'élève se sert systématiquement du quadrillage, cela tombe bien car je pense que c'est le plus efficace.

Il y a au moins mon prof de collège qui l'exigeait mais si plus personne ne le fait, tant mieux.

stfj

"Comme le soutient depuis longtemps R. Rodriguez ( Thèse de Sciences de l’ Éducation de l’Université de Caen (8)) et plus récemment les publications dans le sein de l’I.R.E.M. de Basse-Normandie ((2) et (3)) il est indispensable d’aborder les apprentissages mathématiques et en particulier géométriques par des directions variées par exemple : - Observation visuelle d’une figure tracée sur un papier - Tri de figures découpées dans du carton - Tracé à main levée de la figure - Tracé de la figure avec des instruments - Construction d’objets avec du matériel pédagogique (barres perforées, polygones agrafables de plastique par exemple) - Tracé "manuel" virtuel avec un logiciel de géométrie. . .. L’élève construisant grâce à ces différents media ses "psychomorphismes" (8) menant a l’acquisition de ses notions mathématiques abstraites. (Pour le rôle prépondérant de la main dans les apprentissages on pourra consulter l’ouvrage d’ Édouard Gentaz : La main, le cerveau et le toucher (9).)"

stfj

@Vassillia : Au voisinage d'un point de l'espace physique, après avoir choisi une unité de longueur, l'espace physique est bien modélisé par un espace affine euclidien dirigé par $\mathbb R^3$. C'est bien connu. Tu "penses" que c'est le plus efficace. Tu peux en être sûre. C'est un des savoirs humains de base.   Ce n'est plus un "Cogito"  depuis des siècles mais un "Scio", je sais : un savoir scientifique que personne ne remet en question.

Cyrano

J'enseigne moi aussi l'égalité $\overrightarrow{AB} = B-A$ à mes élèves. D'un point de vue pratique, je vois mal pourquoi on s'en passerait.
Je prends juste quelques précautions car je n'ai pas envie de définir la notion de combinaison affine/barycentre avec mes élèves. Je dis donc que cette égalité est une abréviation de la phrase suivante : "Dans un repère du plan, les composantes du vecteur $\overrightarrow{AB}$ se calculent en faisant les coordonnées de $B$ moins les coordonnées de $A$". Bien sûr on peut démontrer ce résultat

1) On commence par expliquer pourquoi les coordonnées de $A$ sont les mêmes que les composantes de $\overrightarrow{OA}$ où $O$ est l'origine du repère.
2) Par la règle de Chasles on écrit $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$.

stfj

En outre le procédé quasi $ \fbox{  mnémotechnique  }$ fourni plus haut par @JLapin : $$ABCD \text { parallélogramme }\iff \vec{AB}=\vec{DC}\iff B-A=C-D\iff \fbox{A-B+C-D=0}$$$$\iff \frac12(A+C)=\frac12(B+D)\iff m(A,C)=m(B,D)$$ mérite d'être popularisé dès le lycée, me semble-t-il, même si ce genre de démonstration montre à quel point la géométrie classique a fâné du fait de son intégration dans l'algèbre linéaire, même si l'esprit de géométrie infuse partout la mathématique contemporaine.

stfj

@Cyrano : si les programmes de lycées français avaient la sagesse (selon moi) de se restreindre aux espaces vectoriels euclidiens  $\mathbb C=\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$, il n'y aurait aucune précaution à prendre pour écrire $$\vec{AB}:=B-A$$ce que l'éléve même très faible de seconde pourrait vérifier sans problème sur des dessins faits depuis la classe de 6è tels que
 

où $\color{red}u\color{black}=\vec{AB}:=B-A=(7,\color{green}8\color{black})-(5,\color{green}3\color{black})=(7-5,\color{green}8-3\color{black})=(2,\color{green}5\color{black})\iff B=A+\color{red}u$.

Remarque : dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Jean Dieudonné ne prend même pas la peine de définir la notion de "vecteur d'origine $a$ et d'extrémité $b$" puisque ce n'est jamais que $b-a$ et que cela relève, on vient de le voir, quasiment de la classe de 6è. Si l'on cherchait à agir de façon rationnelle, on pourrait presque s'en passer au lycée, comme il l'a montré.

Dom

Décidément, peut-être que ça n’intrigue que moi. Mais « n’hésite pas à construire un quadrillage » est presque hilarant quand justement les constructions dont on parle sont faites d’utilisation de l’équerre et de la règle avec des échecs si cuisants… alors « commence par le quadrillage » me fait rêver. 🤣

stfj

@Dom : là, pour la première fois dans ce fil où tes expériences d'enseignement rejoignent les miennes, je ne reconnais pas mes élèves d'un collège lambda parisien. Dès le premier trimestre, en 6è et 5è, je leur distribue des feuilles A3 et des règles (ils n'en ont pas toujours) et leur montre rapidement comment réaliser un quadrillage non nécessairement orthonormé (on pose la règle et on fait un trait sur le bord inférieur et un autre sur le bord supérieur de la règle). Certains reconnaissent alors ce qu'ils ont déjà fait à l'école primaire et c'est une activité qui plaît à mes élèves globalement.

Vassillia

Tu ne m'as pas compris, je le distribue le quadrillage où plutôt j'utiliserai celui de leur cahier. Il ne t'a pas échappé que les cahiers sont quadrillés ? Pourquoi ne pas leur apprendre à écrire sur une feuille blanche ? Ben parce que c'est moins pratique et quand je parlais de construire, je parlais bien sûr d'ordinateur, en général, il s'agit de cliquer sur un unique bouton, j'ai confiance en eux, ils y arriveront même si cela paraît horriblement compliqué aux générations précédentes, effectivement c'est hilarant.

stfj

Pour faire un peu de mathématique, je propose l'exercice suivant : prouver que l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.
En ce qui me concerne, c'est une propriété admise qu'on peut même considérer comme un axiome au collège, voire à l'université . 
Voici une démonstration que je propose pour le lycée:

 Soit $O$ un point du plan ou de l'espace , $s_O$ la symétrie centrale de centre $O$ et $d$ une droite. Soit alors un repère de centre $O$ où $s_O:x\mapsto -x$. Soit $a\in d$ et $u$ un vecteur directeur de $d$ de telle sorte que $d=a+\R u$. Alors $d':=s_O(d)=-a+\R u$ est bien une droite de direction $\R u$ donc parallèle à $d$. Cqfd.

Comme je l'ai déjà écrit, je ne connais rien à la géométrie d' Euclide/Hilbert. J'ai donc hâte de voir comment on s'y prend dans ce cadre. J'espère que quelqu'un voudra bien se pencher sur cela. Cette propriété est en effet fondamentale puisque une fois admise, elle permet de démontrer de nombreux résultats concernant le parallélogramme, la propriété des angles alternes-internes donc le fait que la somme des angles est 180°(ce qui devrait rassurer @JLapin sur mes pratiques pédagogiques ),...
 

Dom

Je trouve tes réponses plutôt hors-sujet, Vassillia. L’illustration la meilleure de cela est « Pourquoi ne pas leur apprendre à écrire sur une feuille blanche ? ». Cela n’a aucun rapport, aucun. Quant à « construire » le quadrillage sur l’ordinateur… on parlait d’un triangle et d’une droite, le quadrillage va-t-il se poser proprement sur la droite en épousant le triangle par ses nœuds ?
Hum… je pense être complètement à côté de la plaque, je dois très mal interpréter ce que tu dis. 

Cela dit ce n’est pas grave. Je sais mettre à mal le « tout quadrillage » et certains profs, pas très à l’aise, ne font que ce qu’ils savent faire et ce qui leur plait. J’en connais qui ne font plus de géométrie parce que les élèves n’ont pas le matériel. Pour eux, « c’est plus pratique ». 

De toute manière j’ai trouvé ce fil plutôt intéressant dans ces explorations en ce qui concerne les coordonnées. 

La démonstration que deux droites symétriques sont parallèles se fait en un coup de cuillère à pot avec les théorèmes « une symétrie conserve les angles » et « si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors …. ».

Une question, bien que cela reste évidemment incompréhensible pour un élève du secondaire : quel est l’argument pour dire que $d’$ s’écrit $-a+\R u$ ? (pourquoi $\R u$ ?).

stfj

$d=\{a+\lambda u:\mid\lambda\in \R\}$. Donc $s_o(d)=\{-(a+\lambda u)\}=\{-a-\lambda u\mid \lambda \in \R\}=-a+\R u$

@Dom : est-ce que tu peux écrire in extenso la démonstration avec les théorèmes  « une symétrie conserve les angles » et « si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors … »?

Vassillia

Euh ben oui, si je demande à un ordinateur de me tracer un quadrillage à partir de 3 points non alignés, il va y arriver et c'est un peu normal puisque cela donne un repère. Tu sais peut-être mettre à mal "le tout quadrillage" mais tu ne le fais pas préférant penser que les profs ne sont pas à l'aise (en ce qui me concerne tu as tort car justement voyant que des notions sont utiles, je me motive à les apprendre pour voir ce que je peux en tirer pour mes élèves). Tu n'envisages pas qu'ils peuvent faire des choix pédagogiques différents des tiens ni qu'un élève du secondaire comprenne naturellement que si on multiplie tous les réels par -1 on retombe sur les réels. Tu as le droit mais cela ne te donne pas raison pour autant.

Dom

La bonne blague… 
Le triangle est là et l’ordi trace un repère. 

Mais la droite, elle, ne passe par aucun nœud… mince alors. Est-ce que ça va quand même aider quelqu’un de « quadriller » ?
Au passage, je préfère quadriller à partir de la droite elle-même… mais tu préfères choisir le triangle… étrange… je trouve. Dans la symétrie sur quadrillage, le problème est justement quand la droite ne tombe pas dessus, sur une diagonale. 

En ce qui concerne les choix pédagogiques : dans plusieurs fils on utilise cette expression mais parfois on se demande si ce n’est pas plutôt le choix « c’est plus confortable POUR MOI », « c’est plus pratique POUR MOI »…

Et il n’est pas du tout question de ce que fait untel, le voisin ou moi. Je prône l’idée qu’il faut TOUT VOIR justement. Donc inutile de tenter de « personnaliser ». Si un intervenant parle de lui, alors je comprends. Mais ce n’est pas mon cas. Donc inutile de faire comme l’autre « qui sait tout » et qui sait même exactement ce que j’ai dans la tête. 

Cyrano

@stfj : Ce que tu proposes c'est de fixer une base une fois pour toute.
Je pense que c'est une erreur. Dans certains exercices de géométrie analytique, il faut parfois changer la place du repère. 

stfj

@Cyrano : en effet, comme tu l'expliques, si je proposais cela, ce serait effectivement une erreur. 

stfj

J'ai trouvé ceci qui semble correspondre à la démonstration indiquée par @Dom . La correction est proposée : je pourrais quasiment faire des critiques à chaque ligne, cela serait trop long à critiquer, même si cela convient peut-être pour des élèves de 5è. La critique principale est que la propriété à démontrer est de nature affine et non euclidienne : utiliser des angles n'a a priori rien à voir avec cette propriété.

Dom

C’est tout à fait vrai : c’est affine et on utilise le cadre euclidien. Comme d’ailleurs les démos de Thalès au collège qui utilises les aires du collège (donc des angles droites, tôt ou tard). 

Cela dit… dès que quelqu’un va me parler d’un angle, il va falloir qu’il accepte le cadre euclidien. N’est-ce pas un théorème (admis) du cours que celui de la conservation des angles ?

J’en reviens à celle que tu proposes et ce $a+\R u$ qui devient $-a+\R u$. Le lycéen saura justifier cela ? Quel est l’argument d’ailleurs ?

stfj

@Cyrano : considérons par exemple un cercle $\mathcal C$ de centre O . En dehors de tout autre contexte il paraît naturel de choisir comme origine du repère le centre du cercle et comme unité de mesure le rayon du cercle et des axes orthogonaux. Dès lors, $M=(x,y)\in \mathcal C \iff \|M\|=1\iff x^2+y^2=1$. Plus haut, où je m'intéresse à une symétrie de centre $O$, on choisit également $O$ comme origine du repère et des axes quelconques, par nécessairement orthonormés. Soit $(\mathcal E,E,v)$ l'espace affine dans lequel on travaille. On travaille dans un espace pointé $\mathcal E_O$, où $O$ est un point qu'on choisit dans l'espace adapté au problème qui nous intéresse.

stfj

L'argument est que $\{-\lambda u\mid \lambda\in \R\}=\{\alpha u\mid  \alpha \in \R\}$ ou plus géométriquement que l'image d'une droite par la symétrie vectorielle associée est globalement la droite elle-même. Je sais que ce n'est pas expliqué comme cela au lycée mais cela fait un bail que je n'ai pas enseigné au lycée.

Dom

J’avais mal lu…

Zut j’ai modifié mais tu as peut-être vu la réponse. 

Justement : tu parlais d’un cercle, puis de deux axes orthogonaux pour conclure par « on reste dans l’affine ». Mais j’avais mal compris que tu parlais bien de deux situations distinctes. 

Cependant on ne me la fera pas… le quadrillage dont il est question depuis le début, c’est celui du cahier. Comme « non euclidien », on a fait mieux. 

stfj

Dès que tu parles de cercle , c'est euclidien : il y a une distance.

Dom

Bon ça tourne en rond, normal ! il n’y a pas d’affinité 😀

Vassillia

Ah mea inculpa, je t'avais lu trop vite et mal compris, tu parlais toujours de la symétrie axiale. En effet, je préfère quadriller à partir de la droite comme toi et certains points de la figure (triangle ou autre) ne tomberont pas forcément sur les nœuds.

Est-ce que ça va aider quelqu'un de quadriller ? Je le pense en effet car on saura visuellement dans quelle case on doit tomber donc cela permet de vérifier qu'on ne se trompe pas avec les constructions plus classiques ou par le calcul à partir des coordonnées.

Je prône l'idée qu'il faut enseigner QUE ce qui est utile, question d'optimisation du temps qu'ils vont passer avec moi, donc j'ai besoin de connaitre les attendus des classes supérieures et ce qui sert dans la vie courante tout en gardant dans un coin de ma tête qu'il faut quand même donner une vision aux élèves, c'est effectivement un choix pédagogique différent du tien mais je ne vois pas pourquoi tu penses que c'est parce que c'est plus confortable pour moi.

stfj

@Dom : non , je fais travailler aussi dans des repères quelconques :
 

Dom

Vassillia,
Je ne désigne pas les gens. J’ai dit « parfois on se demande si ». Cependant je ne crois pas du tout qu’on demande à un gamin de quadriller sa feuille avant de commencer son travail. Encore une fois, ça demande de savoir utiliser l’équerre… en étant perpendiculaire à l’axe de symétrie… alors pourquoi diable ne pas lui dire de ne tracer que les droites utiles (amusant quand on veut ne faire « que l’utile ») ? Tout ça me semble incohérent.

Vassillia

Bien sûr qu'on ne demande pas à un gamin de quadriller lui-même sa feuille avant de commencer son travail puisqu'elle est déjà quadrillée !

Au début, on est sympa, on lui met tous les points sur des coordonnées entières et il peut compter les carreaux pour faire des parallèles et des perpendiculaires.

Progressivement la droite qui était verticale ou horizontale va devenir penchée mais en restant avec une pente évidente qu'il peut reproduire pour faire des parallèles et on lui explique comment trouver la pente des perpendiculaires.

Par la suite, on sera moins sympa, on lui mettra les points sur des coordonnées réelles et il devra faire des calculs pour trouver les nouvelles coordonnées

Bien sûr dans tous les cas, on a montré la construction géométrique (avec une équerre ou même uniquement un compas et une règle pour les puristes) et au tout début on fait faire avec un calque mais ce qui m'intéresse, c'est qu'il développe ce que j'évoque précédemment.
C'est un parti pris qui est de construire via des coordonnées, je l'admets mais je n'y vois pas vraiment d'incohérence.

stfj

Ce serait stupide de se priver de supports comme ce travail de collègue : 

stfj

Concernant la réponse à la question 2c de cet exercice, si l'on demande à l'élève de justifier son affirmation : l'image d'une droite est une droite, je ne vois pas quel argument dans le cadre de la géométrie d'Euclide/Hilbert on peut fournir. En algèbre linéaire, la démonstration est triviale. Cela me gêne qu'on demande à des élèves d'affirmer des choses (par écrit, dans le cadre ici d'un Devoir de Maison) sans qu'ils sachent qu'on leur demande en réalité de l'admettre. Peut-être cela sera-t-il fait lors de la correction du D.M. par l'enseignant. Ou alors je suis à côté de la plaque et un élève de 5è sait démontrer que l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite, alors que je ne le sais pas après 25 ans d'enseignement essentiellement en collège.

stfj

J'aurais donc rajouté "(Justifier)" à la question 2c de cet excellent travail de collègue. $s_O(M)=M', s_O(N)=N'$. Or on sait, ne serait-ce que parce que l'énoncé de l'exercice le dit, que l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite. Soit alors $d':=s_O(d)$. On rappelle que $s_O(d)$ désigne l'ensemble des point $P'$ du plan tels qu'il existe $P\in d, P'=s_O(P)$. Donc $M',N'\in d'$. Or ces deux points sont distincts car $s_O$ est bijective(involutive). Par ailleurs, on sait que par deux points du plan, il passe une unique droite. Donc $d'=(M'N')$. (Vive Euclide !)

Alain24

Je me souviens qu'au collège (entre 1969 et 1973) d'un professeur qui nous avaient lu les axiomes d'Euclide tout en précisant que leur origine venait d'expériences en dessinant au stylet sur des tablettes d'argile. Il nous avait précisé "on peut aussi postuler que par deux points passent une infinité de droites" puis "imaginez pour cela que l'on projette une sphère sur un plan"...nous savions alors qu'il existait d'autres géométries que celle que nous construisions à partir de l'algèbre linéaire!

Alain24

Pour ce qui est de la géométrie repérée avec un écran : je connais le logiciel GeoGebra, il n'est pas inutile de préciser que ce qui apparaît comme un segment de droite ou une courbe (cercle,ellipse, hyperbole....) est un ensemble fini de pixels, c.a.d. de petits carrés! 

stfj

Avant de s'intéresser à la géométrie de Poincaré par exemple, mieux vaut savoir ce qu'est une tangente à un cercle, n'est-ce pas ? Et de façon générale avoir des connaissances solides en géométrie construite à partir de l'algèbre linéaire. Par ailleurs, à ma connaissance, les géométries non euclidiennes ne sont ni au programme des collèges français, ni des lycées français, ni même des deux premières années après le baccalauréat. Mais je loue tout comme vous, @Alain24, la liberté pédagogique de l'enseignant et l'ouverture d'esprit de nos chers élèves de collège. Une idée pour démontrer avec la géométrie d'Euclide/Hilbert que l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite?

gerard0

Stfj,

pose la question sur le forum géométrie. La plupart des intervenants ici ont été formés avec des programmes qui s'éloignaient de la géométrie à la Euclide. Tu y trouveras aussi des outils que tu ne soupçonnes peut-être pas !

Par contre, remonter des axiomes aux théorèmes classiques prend du temps. Moins que d'apprendre l'algèbre linéaire, mais sera-ce court ? Probablement pas.

Cordialement.

NB. J'ai enseigné l'algèbre linéaire dans les années 1970, en classe de seconde, à des élèves bien plus triés que les secondes actuelles. Peu d'élèves accrochaient (pourtant on se réduisait essentiellement à $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$), alors que l'outil "vecteur" était déjà bien en place, donc qu'ils avaient une intuition du vectoriel.

Vassillia

Si je peux me permettre @gerard0 qu'est-ce qui, selon toi, fait qu'ils n'accrochaient pas ? Où étaient leurs difficultés principales ?

Je connais mal les exigences des années 1970 donc je ne sais pas comment c'était enseigné. Le problème vient peut-être de la manière dont les notions étaient présentées, ce n'est pas une critique de ma part car d'une part, tu étais forcément tenu au programme et d'autre part, je ne prétends pas mieux faire. Mais en identifiant le problème, on aura peut-être une partie de la solution.

JLapin

stfj a dit :Une idée pour démontrer avec la géométrie d'Euclide/Hilbert que l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite?

Fixons $A$ et $B$ distincts sur une droite $(D)$ et $O$ un point du plan n'appartenant pas à $(D)$.

Notons $A'$ et $B'$ les symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$.

Les triangles $AOB$ et $A'OB'$ sont semblables puisque $OA=OA',OB=OB'$ et $(AOB)=(A'OB')$ (égalité d'angles).

Donc $(OAB)=(OA'B')$, ce qui montre que les droites $D'= (A'B')$ et $(AB)$ sont parallèles.

Soit $C$ un point de $(AB)$ distinct de $A$. Alors, de même, la droite $(A'C')$ et la droite $(AC)=(AB)=D$ sont parallèles.

Deux parallèles qui passent par un même point sont confondues, donc $(A'C')=(A'B')=D'$, donc $C'$ appartient à la droite $D'$, ce qui montre que $D'$ contient l'image de $D$ par la symétrie centrale de centre $O$.

L'inclusion réciproque se démontre de façon similaire.

Mathurin

Les arguments de Stfj et Vassillia se résument à ceci :

- on n'enseigne pas la géométrie synthétique dans le supérieur, donc il est inutile de le faire au collège

- on n'enseigne plus vraiment la géométrie synthétique au collège, donc il n'est pas nécessaire de le faire

Je respecte profondément les efforts qu'ils mettent en œuvre pour faire progresser leurs élèves et leur savoir-faire en la matière, mais ces arguments ne valent rien sur le plan formel.

La géométrie synthétique n'est pas seulement une école de la démonstration, c'est aussi une école de l'intuition. Une formation purement calculatoire aurait beaucoup plus de mal à apporter cela. (J'ai moi-même été formé au collège dans les années 70, mais j'ai découvert beaucoup de choses dans le livre de Lehmann "initiation à la géométrie" et dans l'"atlas des mathématiques" paru à la Pochothèque.)

Dom

Comme la remarque de stfj le suggère, je pense qu’il faut dans le cours de collège, quelque part, un truc du genre « si deux figures sont symétriques… alors elles sont de même nature ». 

Cela dit, la définition empirique (papier calque) le dit puisqu’elle utilise le mot « superposable ».  

Tout cela est admis mais n’est pas caché normalement. 

Ne pas croire que l’algèbre linéaire répond à toutes ces questions puisqu’on a tout de même la construction des réels. 

Encore un argument peu crédible je trouve. 

Défendre une cause, d’accord, mais faut-il reconnaître que parfois l’argumentaire est mince. Et il n’y a pas de honte à déclarer « je ne sais pas mais je pense que c’est mieux » au lieu de sortir des choses ici et là, un peu sur la défensive. 

Vassillia

J'entends ton argument @Mathurin mais formellement, je ne suis pas d'accord avec ton argument non plus : l'intuition qui apparaitrait avec la géométrie synthétique et pas avec la géométrie analytique. L'intuition, de mon point de vue, vient de la géométrie contemplative ou expérimentale, je fais le dessin et je vois que ça marche, il reste ensuite à le démontrer et le choix de passer par la géométrie synthétique ou analytique est alors : qui est le plus efficace !

 

Ma position, c'est effectivement de se mettre à enseigner de la géométrie analytique ou de laisser tomber complétement la géométrie autre que contemplative/expérimentale. Bon, gardons quand même Pythagore, Thales, la sommes des angles et deux ou trois trucs utiles.

Par contre, je suis d'accord que pour qu'il y ait un intérêt à enseigner de la géométrie analytique, il faut qu'elle soit présentée de manière à préserver le "voir les choses" et c'est une difficulté, c'est peut-être pour cela que ça n'a pas fonctionné et c'est sans doute ça qu'il faut corriger si c'est possible.

Pour le collège, le coup du calque me semble très bien pour justifier le fait que les objets gardent la même nature

Mathurin

Vassillia,

le théorème de l'angle inscrit par exemple, tu le démontres comment en "géométrie expérimentale" ?

Je l'ai découvert dans le supérieur à l'occasion d'un cours de physique, je ne voulais pas croire que j'avais pu être privé de quelque chose d'aussi simple !

lourrran

Là, je prends une gifle. Peut-être que ma mémoire me fait défaut, mais je crois que je n'avais jamais entendu parler de ce théorème de l'angle inscrit ! En tout cas, je n'en ai gardé aucun souvenir.
Ceci dit, quand je lis cet énoncé : "Dans tout cercle, tout angle inscrit est égal à la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc que l’angle inscrit." , c'est un peu du charabia. On doit certainement pouvoir le formuler de façon plus compréhensible.
Soient 3 points ABC sur un cercle de centre O. L'angle AOB est alors le double de l'angle ACB.

Mathurin

Et surtout l'angle ACB ne dépend pas de la position du point C sur la circonférence (sauf s'il est au-dessous de la corde AB où c'est le supplémentaire) (la réciproque est le théorème de l'arc capable)

On peut dire "une corde est vue sous un angle constant depuis l'arc de cercle qu'elle limite"