Enseigner la géométrie en 202... : quelle place pour l'algèbre linéaire ?

Vassillia

Petite remarque au passage pour ceux qui croient que le monde n'est pas quadrillé. Puisqu'on parle de paysans terre à terre, les engins agricoles, de nos jours, ont tous un guidage automatique par GPS donc les paysans utilisent un quadrillage pour "voir leur champ" et donner une trajectoire.

nicolas.patrois

jelobreuil a dit :

Cela veut-il dire que tu te satisfais de ce que l'on ait renoncé à apprendre aux enfants à raisonner ? Raisonner juste, c'est quand même utile, dans la vie, non ? Et cela permet d'éviter de se fier aux apparences, assez souvent trompeuses (cf l'épidémie de platisme ...).

Apprendre à raisonner mathématiquement juste, c’est sûr que ça peut servir mais on voit sur ce forum que ça ne suffit malheureusement pas. Ça ne veut pas dire que ce n’est pas nécessaire.

stfj

En ce qui concerne cette réflexion sur la nature affine de la notion de milieu, et ses liens avec l'enseignement des mathématiques élémentaires, je me permets de renvoyer à ce sujet de mathstackexchange.

[Utilisateur supprimé]

@stfj C’est peut-être une demande vaine mais pourrais-tu un jour nous montrer quelques copies d’élèves d’un devoir sur ces notions que tu essaies de leur enseigner ? Par exemple une copie parmi les meilleurs, une un peu au-dessus de la moyenne, une un peu en dessous et une parmi les plus mauvaises. Bien évidement, en cachant aussi bien les noms que les appréciations. Enfin, avec ces copies, pourrais-tu nous donner un histogramme des notes sur ce même devoir ?

gerard0

Vassillia, tu raconte n'importe quoi ! Le système GPS ne fonctionne pas avec un quadrillage.
À trop vouloir prouver, on s'expose à dire des âneries.
J'étais habitué à plus de modération de ta part et à des avis plus nuancés. Je suis déçu.

Cordialement.

gerard0

A la lecture de ce fil, on se rend compte que la façon dont ont été formés les participants quand ils étaient en collège-lycée guide fortement leurs opinions. Et aucun ne parle des difficultés des étudiants faute de connaissances géométriques élémentaires dans les disciplines qui utilisent des modélisations de l'espace.

Cordialement.

stfj

@dp : j'ai récemment fait un contrôle en 5è portant sur la réalisation d'un pavage avec un quadrilatère, basé sur la ressource geogebra jointe. Les résultats sont excellents. Il y a de nombreux 20/20. Je leur ai montré auparavant des pavages d'Escher et cela les a beaucoup intéressés. J'ai eu l'impression que c'était un déclic, ils voyaient l'intérêt de tout le travail du premier trimestre( calcul avec des relatifs, symétrie centrale,...)

stfj

@dp : j'ai récemment fait un contrôle en 5è portant sur la réalisation d'un pavage avec un quadrilatère basé sur la ressource geogebra jointe. Les résultats sont excellents. Il y a de nombreux 20/20. Je leur ai montré auparavant des pavages d'Escher et cela les a beaucoup intéressé. J'ai eu l'impression que c'était un déclic, ils voyaient l'intérêt de tout le travail du premier trimestre( calcul avec des relatifs, symétrie centrale,...)

Vassillia

@Gerard0 Si tu interprètes mes propos forcément, je dis que le logiciel utilisé par les agriculteurs leur fait visualiser un quadrillage et comme je n'aime pas raconter n'importe quoi, j'ai vérifié avant de le dire https://www.jardinsdefrance.org/gps-sig-robots-appliques-semis-ainsi-quaux-interventions-de-precision-2/

Quand la zone adéquate est déterminée, l’expérimentateur réalise sous SIG (cf. encadré) son plan d’essai (quadrillage de microparcelles) et définit les lignes caractéristiques : la ligne de guidage du tracteur (premier passage) et les lignes de déclenchement du semoir (perpendiculaires à la ligne de guidage) qui délimitent les microparcelles... Les lignes jaunes parallèles à la ligne rouge matérialisent les passages suivants du tracteur.

Si ça c'est pas la construction systématique d'un quadrillage, c'est bien imité, tu vas me dire qu'il n'y a pas besoin de coordonnées car tout est géré par ordinateur, c'est vrai mais ce que je voulais dire, c'est que dès qu'on veut travailler, on crée un quadrillage et dans ce cas le GPS sert à nous positionner sur ce quadrillage.

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@stfj Une image vaut mille mots.

J'attends donc d'avoir des copies types sous les yeux ainsi qu'un histogramme des notes (non trafiqué bien sûr) afin de me faire définitivement mon avis !

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@gerard0 J’en parle un peu en évoquant ici les citations de quelques auteurs de livres de cours des années 70-80. J’espérais que quelqu’un rebondisse dessus pour développer plus en profondeur cet aspect, mais il est passé à la trappe.

stfj

@dp : vu qu'une image vaut mille mots, je vais te décrire les images. Tu aurais une majorité de copies d'élèves où, partant d'un quadrilatère initial, les élèves sont parvenus à réaliser le pavage avec des translations et des symétries centrales, avec comme support pour réussir leurs symétries centrales des calculs avec des nombres relatifs presque tous bons puisqu'il y a de nombreux 20/20,19/20, ...

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@stfj Tu peux tout aussi bien me raconter des bobards qui servent ton récit. Pics or it didn't happen.

stfj

@dp : en effet, cela pourrait être faux. Je pourrais avoir inventé ce long et fourni travail de trois semaines sur les pavages, avoir trouvé la ressource geogebra qui va bien en quelques secondes, observé qu'un sujet ambitieux pouvait mobiliser des classes d'habitude peu enclines à s'investir dans la pratique des mathématiques et tout et tout et tout. Je pourrais aussi être un jeune normalien dont la thèse porte sur l'enseignement des mathématiques en France dans le secondaire, et qui aime les potacheries comme ses glorieux aînés. Soyons sérieux !

[Utilisateur supprimé]

Je suis on ne peut plus sérieux. De plus, si je demande à voir des copies d’élèves de différents niveaux et résultats, c’est aussi pour observer là où ça coince pour certains.

stfj

Un autre avantage que je vois de développer les méthodes vectorielles aussi tôt que possible est que nos élèves vont disposer de moteurs conversationnels tels que chatGPT. Voici un échange avec la machine : 

SJ : bonjour. Peux-tu m'aider à faire des calculs dans l'espace vectoriel euclidien R^3 ?

Machine : Bien sûr, je peux vous aider à effectuer des calculs dans l'espace vectoriel euclidien R^3. Que voulez-vous calculer précisément ?

Soit B=(0,6,1) et C=(8,0,1). Calcule le produit vectoriel de B et de C.

Machine : Le produit vectoriel de B et C est donné par : B x C = (B2C3 - B3C2)i + (B3C1 - B1C3)j + (B1C2 - B2C1)k

Donc, B x C = (61 - 10)i + (18 - 01)j + (00 - 68)k

B x C = 6i + 8j - 48k

Donc le produit vectoriel de B et C est (6i + 8j - 48k)

nicolas.patrois

gerard0 a dit :

Vassillia, tu raconte n'importe quoi ! Le système GPS ne fonctionne pas avec un quadrillage.

Alors que la géobiologie, si.

Dom

Vassillia, 
Quand je lis ce message : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2406049/#Comment_2406049
je vois que c’est ce que tu disais, mais du coup, la nostalgie, ce n’est pas moi qui l’alimente… et non plus ceux qui sont partisans de la feuille blanche.

Vassillia

Je n'ai pas compris la référence avec le message mais si c'est d'identifier le plan à $\mathbb{R}^2$ (même si au début peut-être utiliser $\mathbb{Z}^2$) ça me parait plutôt une bonne idée pour deux raisons :
- c'est utilisable directement vu que normalement les élèves qui arrivent au collège savent déjà compter
- c'est ainsi que la géométrie me parait servir le plus souvent, c'est à dire qu'on utilise un repérage
Bien évidemment, il n'est pas question de faire des maths modernes avec toute l'axiomatique qui va derrière par contre leur donner des outils dont ils pourront se servir, c'est ma vision de l'enseignement.
Tu ne pourras pas me dire que je suis nostalgique, je proposais il y a quelques pages de faire calculer les intersections à la @pldx1 (et même pourquoi pas d'autres choses en restant raisonnable bien sûr) alors que j'ai tout appris juste en le lisant donc bien après ma scolarité, merci à lui au passage. Et je répète, je trouve scandaleux de ne pas avoir vu l'utilisation que l'on pouvait faire de la géométrie projective pendant ma scolarité ni au secondaire ni même au supérieur, c'est tellement pratique !

stfj

@dp : mes manuels de TC étaient les livres de Gautier, Thierce, Royer. Je suis également un admirateur des manuels de Gourion, Guggenbuhl, Lixi, Chevallet. Concernant les manuels de Gautier, Thierce, Royer , ils commencent par les espaces vectoriels $\mathbb R^n$. Les programmes étaient trop ambitieux, écrits par des mathématiciens qui ne maîtrisaient pas le sujet de la transmission des connaissances mathématiques dans le secondaire. Pourquoi ne pas se limiter à $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$? Même Jean Dieudonné (!) n'envisageait pas pour les élèves de lycée d'aller au-delà de la dimension 3, en expliquant justement que notre intuition nous rendait familier avec la dimension 2 et la dimension 3. Au chapitre 7 du livre de Gautier, est rappelée la définition d'un espace affine général. Même Jacques Dixmier (!) écrit dans son cours de 1ère année que la notion est difficile et peu importante pour le reste de son cours. Les applications affines sont introduites dans les espaces affines alors qu'on dispose dans un espace vectoriel de la définition facile $a+u(x)$, avec $a\in E$ et $u$ linéaire. Les barycentres idem. Même Alfred Doneddu (!) dans son cours de mathématiques spéciales de 1972 les définit exclusivement dans un espace vectoriel. Même Serge Lang (!) dans Linear algebra ne parle jamais d'espace affine. Alors oui on peut s'émouvoir que les élèves aient quelque difficulté à comprendre et l'imputer à leur manque d'intuition. Mais il y a peut-être d'autres raisons : l'utilisation de la notation $$\vec{AB}$$ dans l'enseignement secondaire est une blague de mauvais goût qui perdure depuis 50, 60 (?) ans. Quand j'étais élève, je me suis farci la ridicule "définition" de classe d'équipollence de bipoints, qui ne m'a jamais servi à rien. Quand j'étais jeune enseignant, on m'a imposé d'utiliser cette ridicule notation avec mes élèves sans la définir bien sûr. Comme je n'aime pas enseigner de la sous-mathématique, $$\vec{AB}:=B-A$$Là, ce n'est pas ridicule, ce n'est pas de la sous-mathématique de mathématique inférieure en attendant la mathématique supérieure, cela sert au bottier, au charcutier, au maçon, à l'ingénieur, au vendeur de macarons, et à la mathématicienne. 

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C’est bien beau tout ceci, mais j’attends toujours d’avoir des copies d’élèves sous les yeux.

stfj

@dp : je n'ai pas encore répondu à ta question : est-ce que je souhaite partager des copies d'élèves anonymisées? La réponse est non. Ce qui m'intéresse, c'est la possibilité un jour qu'on débarrasse l'enseignement secondaire de la notion d'espace affine réel qui n'a rien à y faire, comme je viens de l'argumenter plus haut. Vu le niveau en mathématiques des élèves français, toute proposition mérite qu'on s'y attarde : le seul risque étant de passer dernier derrière le Chili si j'ai bien compris.

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stfj a dit :

Vu le niveau en mathématiques des élèves français, toute proposition mérite qu'on s'y attarde

Je suis d’accord. Tu conviendras donc que la proposition « revenir à l’antique et vétuste géométrie à papi » mérite qu’on s’y attarde aussi ?

stfj

@dp : oui, tu as raison j'en conviens. Le problème est que les enseignants de mathématique, et je m'en félicite, sont formés à l'université, où, comme l'explique Benoît Kloeckner(p.5), "la géométrie classique ayant fâné, seul persiste l'esprit de géométrie"(Bourbaki).

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On en revient à la toute première réponse (la mienne) que tu as eu dans cette conversation.

stfj

L'université est orientée recherches. Déjà qu'il y a un criant sous-investissement pour la formation des jeunes (des amphis de 300, ou des classes prépas de 40...), aucun espoir qu'on rajoute une formation sur la géométrie d'Euclide/Hilbert jugée si complexe qu'elle n'est proposée qu'en Master. C'est les grandes lignes, maladroitement brossées par un modeste enseignant du secondaire qui ne connait pas grand chose à l'université.

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L’université comprend des masters enseignement (les fameux et décriés MEEF). Ceux-ci sont tout indiqué pour y enseigner ce genre de géométrie. De plus, pour les besoins de l’enseignement secondaire, il n’y a aucun intérêt à en enseigner plus que ce que l’on trouve dans les Lebossé-Hémery.

Vassillia

Intérêt pour qui ? @Dom m'avait fait la remarque et il n'a pas tort sur le fait qu'on n'aura pas tous les mêmes priorités. Je ne suis pas d'accord avec toi, en quoi connaitre le contenu des Lebossé-Hémery est plus intéressant que de savoir calculer les coordonnées ? Je pense le contraire et je refuse post-bac d'apprendre quelque chose qui ne m’intéresse pas et qui ne me sert pas donc pas question de faire de la géométrie euclidienne. Pour autant, je suis d'accord pour changer la formation des enseignants en MEEF mais avec de la géométrie que j'ai envie d'enseigner, celle qui me parait la plus pertinente pour les élèves donc qui est utilisable et cela me manque clairement (bon je n'ai pas fait de master MEEF mais pas sûre que j'y aurais trouvé mon compte).

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Euh. D’accord ? Tu sais que les étudiants en mathématiques font de la physique ou de l’informatique, même à l’université. Pourtant, en règle générale ce sont des choses « qui ne les intéressent pas et qui ne leur servent pas ». Maintenant, si c’est ça ton seul argument, j’imagine qu’il n’y a aucune raison de s’y opposer, à mon idée.

avec de la géométrie que j'ai envie d'enseigner donc qui est utilisable

Tout est dit.

PS. C'est pas beau de modifier son message pour faire disparaître les preuves.

Vassillia

J'ai juste reformulée ma phrase pour qu'elle corresponde mieux à mon idée, je n'avais pas vu que tu m'avais répondu mais ce n'est pas trop grave comme je persiste sur la notion d'utilisable. C'est vraiment central dans ma manière d'enseigner et c'est pour ça que je fais ce métier, sinon j'aurais fait un autre métier mais chacun choisit en fonction de ses convictions (et possibilités) son cursus dans le supérieur. Je ne veux pas être payée pour satisfaire aux désidératas à la mode mais pour préparer autant que possible mes élèves à leur vie future donc il me faut la conviction que ce que je leur apprends est utile.

stfj

@dp : Comment Lebossé-Hémery enseigne-t-il la soustraction ? En 5è, on l'enseigne par la règle : "pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé" reliée à l'autre propriété : pour tout nombre $A$, $B-A$ est l'unique nombre $u$ tel que $A+u=B$, en expliquant par exemple aux élèves de 5è que c'est ce que fait le commerçant : quand on lui achète un produit qui coûte $A=57$ euros, avec un billet de $B=100$ euros, pour rendre la monnaie le commerçant complète : $$57+1+2+20+20$$ pour parvenir à $100$ euros. Il a bien rendu $100-57=43$. Ma référence en la matière est Arithmétique, Classes de 6è et de 5è, d'Anna et Elie Cartan.

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Comme ça.

stfj

Bien. Pareil qu'Anna et Elie Cartan. Prenons deux exemples tirés de la page 18. Nul doute qu'Henri, le fils d'Elie, Jean et André n'auront aucun mal arrivés en seconde à résoudre $$(12,250)+u=(19,325)$$ N'est-ce pas ? Et qu'ils déplorent plus tard qu'on ne leur ait pas appris que l'unique couple $u$ ainsi défini leur permettrait par généralisation de disposer d'un premier exemple élémentaire non trivial d'espace vectoriel réel. Il est même possible que Jean écrive dès 1964 un livre où il expose ces trivialités, tout en étant moqué par André, qui lui rappellerait que la mathématique possède cette particularité de n'être pas comprise par les non-mathématiciens.

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Bon. Tout ceci n’est qu’une vaste blague. Entre @Vassillia qui ne voudrait enseigner que ce qui la fait vibrer et ne l’ennuie pas, et @stfj qui pense former, dans chacune de ses classes, les futurs petits Bourbaki; je me retrouve dans un dialogue de sourds à base d’arguments tous plus fallacieux les uns que les autres. Je me retire avant d’en arriver à commencer à me frapper la tête dans les coins de murs.

Vassillia

C'est tout l'inverse de ce que tu crois, peu importe ce qui me fait vibrer, ce qui compte c'est le bénéfice qu'en auront mes élèves.
A titre personnel, j'aime les mathématiques où on se dit "oh que c'est bien trouvé, c'est malin comme manière de faire" donc bien sûr que je comprends l'envie de faire de belles démonstrations avec peu de moyens. Par contre, à titre professionnel, mon job, c'est d'enseigner des méthodes les plus générales et plus efficaces possibles pour maximiser les chances que mes élèves arrivent à résoudre leurs exercices et aient les compétences requises pour leur emploi ou poursuite d'études. Amusant comme procès d'intention, tu n'as vraiment pas la moindre idée de comment j'enseigne. Et ce n'est pas je voudrais enseigner que ce qui est utile, c'est je n'enseigne que ce qui est utile !

stfj

A notre époque de prolifération intense dans toutes les sciences, tout ce qui condense et tend à l'unification a une vertu qu'on ne saurait surestimer. Les élèves français apprennent dès la 5è que l'unique nombre $u$ tel que $$A+u=B$$est le nombre $B-A:=B+(-A)$. En 3è, un chapitre est consacré à la nature des nombres, ce que j'avais retenu sans problème en 1984 sous la forme : $$\N\subset \Z\subset\Q\subset \R$$L'élève de lycée apprendrait sans problème que l'unique vecteur $u$ de l'espace vectoriel $\mathbb R^2$, qu'on appellera "le plan" comme d'habitude, tel que $A+u=B$ est $B-A$(on multiplierait évidemment les exemples de représentations de points divers et variés dans des repères tout aussi variés adaptés à des problèmes géométriques tout aussi variés.) C'est ce que j'ai voulu exprimer en le résumant plus haut par $$\vec{AB}:=B-A$$ Nul besoin au lycée des espaces affines, comme l'ont montré Dieudonné, Lang, Liret et Martinais par exemple
.

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@Vassillia Il n’y a pas vraiment de procès d’intention. C’est simplement ce que m’inspire ce que tu as écrit jusque-là. Après je me trompe peut-être, je ne suis pas infaillible; cependant 'faut bien avouer qu’avec des phrases telles que « avec de la géométrie que j’ai envie d’enseigner donc qui est utilisable* » (la dernière en date, je ne vais pas toutes les chercher), difficile d’y voir autre chose.

*J’ai aussi du mal à croire ton excuse étant donné que tu as mis plusieurs édits à "corriger" ce petit bout de phrase : jusqu’à que tu te rendes compte de ce que tu as écrit en me lisant ?

Bref, tu peux répondre à ce message bien évidement, et si c’est pertinent je te répondrais par message privé pour qu’on ne pollue pas plus cette discussion avec ces querelles.

Vassillia

Alors disons que je me suis peut-être mal exprimée, c'est bien possible.

Crois ce que tu veux mais si tu penses que j'ai besoin d'excuses fallacieuses pour me justifier face à des inconnus sur internet, il se pourrait que tu te trompes à nouveau, j'assume ce que je pense.

Edit : Arf, toi aussi tu fais des édit, je n'avais pas lu la fin, sans rancune, je ne compte même pas ça comme une querelle, un désaccord sur ce qui est le plus important à enseigner mais comme c'est le coeur de la discussion, c'est normal.

JLapin

@stfj

Impossible d'accéder à ta requête de faire table rase de la somme des angles d'un triangle qui vaut $180$ degrés ou du fait que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes ou du fait qu'un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ssi $A$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$ : les olympiades internationales de maths comportent chaque année deux exercices de géométrie qui sont choisis exprès pour que leur résolution par l'introduction d'un repère soit infaisable dans le temps imparti et sans logiciel de calcul formel.

stfj

@JLapin : loin de moi l'idée de faire table rase de ces résultats ! Loin de quiconque de raisonnable d'ailleurs. Ce n'est pas ce que j'écris.

stfj

Dans le point n°2 du post original, par exemple, je propose de faire tracer un cercle inscrit dans un triangle. J'ai développé l'idée dans le reste du fil.

JLapin

Ah pardon, c'est ce que j'avais cru comprendre quand tu disais que les définitions et caractérisations des parallélogrammes sont actuellement trop compliquées et que tu préfères enseigner que

 $ABCD$ est un parallélogramme si $A-B+C-D=0$.

Vassillia

Je ne sais pas comment c'est défini mais comme on arrive à $m(b,d)=m(a,c)$ on a quand même la propriété des diagonales qui se coupent en leur milieu.

Et on a aussi côtés opposés parallèles et égaux avec $b−a=c−d \Longleftrightarrow b-c=a-d$
Evidemment qu'il faut mettre des phrases avec mais c'est une démonstration, je ne sais pas si elle est vraiment compréhensible par un collégien lambda, elle le sera pour les bons élèves en tout cas, et pour le coup, elle est jolie. Pour les autres, ils retiendront par cœur les caractéristiques et tout le monde est content.

stfj

@JLapin : en ce cas, il est possible que tu aies bien compris. Après avoir habitué les élèves de 6è à la moindre occasion à se repérer dans un repère, je ne vois pas le problème qu'il y aurait en 5è à admettre qu'un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux et réciproquement. Et à utiliser le temps gagné en ne faisant pas la démonstration, à poursuivre les travaux de repérage. Puisque de toutes façons dès la seconde, la définition "$ABCD$ parallélogramme  $\iff \vec{AB}=\vec{DC}$" fournit, en appelant $O$ le milieu de $(A,C)$ $$\vec{AB}=\vec{DC}\iff \vec{AO}+\vec{OB}=\vec{DO}+\vec{OC}\iff \vec{OB}+\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{OC}=0\iff m(B,D)=m(A,C)$$
La puissance du calcul vectoriel (l'algèbre linéaire) qu'ils étudieront dès la seconde permet donc d'admettre un grand nombre de résultats classiques de géométrie élémentaire pour en faire déduire d'autres moins classiques à nos élèves de collège. Ce n'est pas un problème, cela revient juste à rallonger la liste des axiomes, ce contre quoi s'insurgent les seuls logiciens, n'est -ce pas ?

Vassillia

J'ai quand même une question, tu estimes que quel pourcentage de ta classe arrive à comprendre des démonstrations même minimalistes avec ce genre de raisonnement ? Et est-ce que ceux qui n'y arrivent pas continuent à suivre pour le reste ?

stfj

Même le théorème de Varignon est trivialisé dès la seconde. Dans n'importe quel espace vectoriel réel de dimension éventuellement infinie , soit $(a,b,c,d)$ un quadruplet. Et soit $i,j,k,l$ respectivement les milieux de $ab, bc, cd$ et $da$. Alors $i-j+k-l=0$. Nul doute qu'un élève de seconde qui lirait cette démonstration s'interrogerait sur le temps perdu au collège à démontrer le théorème de Varignon avec des méthodes inadaptées, en outre dans le seul plan $\mathbb R^2$ en général.

stfj

@Vassillia : je ne fais pas ces démonstrations de seconde/première, je travaille en collège; je laisse donc le plaisir à mes collègues dans le cadre du calcul vectoriel. Ce qui m'intéresse, c'est que vu que toutes ces démos sont faites facilement avec de l'algèbre linéaire, je n'ai aucun soucis à faire admettre les résultats à mes collégiens, quitte à en aborder des plus intéressants comme récemment en 5è, le pavage du plan avec un quadrilatère quelconque en lien avec les pavages d'Escher qui passionnent les collégiens.

Dom

Je ne contredis pas ce qui est dit sur la définition de $b-a$ mais rappelons que même si c’est enseigné (5e), ça n’imprime pas du tout. 

Je ne sais pas si jadis c’était dans les têtes des élèves. En 2023, quiconque demande « qu’est-ce que signifie $b-a$ ? » obtient assez inévitablement d’autres réponses que « le seul nombre qui… ». 

stfj

@Dom : ce que tu dis est vrai : "ça n'imprime pas du tout en 5è". Mais il y a en 5è tout un faisceau d'exercices pour faire travailler le fait que $B-A$ désigne le nombre $u$ tel que $A+u=B$. Sans remonter aux exercices de l'Arithmétique des Cartan, je songe aux exercices donnant l'âge de César ou Cléopâtre en fonction de leur date de naissance et de leur date de mort; ou le dénivellement entre deux altitudes, la distance entre deux points sur une droite graduée, la nécessité pour un élève de 5è d'apprendre la règle : "pour soustraire, on ajoute l'opposé", l'initiation au équations de base $2+x=5$(liste loin d'être exhaustive.) Et puis il reste les interrogations de cours. Apprendre par coeur est apprendre. Comme disait Henri Cartan parlant de sa jeunesse, "on avait beaucoup de travail, il fallait apprendre ses leçons et faire ses devoirs."

stfj

Pour le "plaisir", voici un exercice tiré de Arithmétique, 6è/5è, 1930, Anna et Elie Cartan. C'est l'exercice n°166.
166.- Un cultivateur vend pour 8190 francs du vin, du maïs, du blé et du fourrage. Le prix du vin surpasse de 930 f celui du maïs, ce dernier est inférieur de 660f au prix de vente du blé, et enfin le prix du blé surpasse de 60f le prix du fourrage. Quel est le prix de vente du vin, du maïs, du blé et du fourrage?