Enseigner la géométrie en 202... : quelle place pour l'algèbre linéaire ?

kioups

Le théorème de Ménélas dit : "qui va à la chasse, perd sa place".
On peut parler de pratique dominante, on peut aussi parler de pédanterie. Ce qui relève de la liberté de chacun, effectivement.

stfj

Pour un breton comme moi, la liberté d'écrire les prénoms comme on l'entend , n'a rien de pédant ni d'abstrait. 

[Je me demande comment tu peux accepter de rédiger en français !
C'est vrai nous sommes sur un forum de langue française et à ma connaissance il n'y a pas encore de forum de mathématique en langue bretonne. AD]

gerard0

Je n'ai rien du "bourgeois parisien", mais je trouve que vouloir écrire à sa propre façon les noms connus est se moquer de ses interlocuteurs.  Et est du plus haut ridicule.

Mais certains aiment prendre des bâtons pour se faire battre ...

NB : Le mathématicien est mort à Rome, Menelaus est la forme latine de son nom, conservée ensuite par les copistes, puis repris par les éditeurs à la renaissance.

stfj

Exercice : Dans $\mathbb R^2$ euclidien canonique, soit $A=0,B=6i,C=8,P=5i,R=20, d=(PR)=P+\mathbb R (R-P)$ et $Q=d\cap (BC)$ 1. En appliquant le théorème de Ménélaüs, prouver que  $\frac{\overline{QC}}{\overline{QB}}=-3$; 2. En utilisant le théorème de Thalès, en déduire que $H$, le projeté orthogonal de $Q$ sur la droite réelle est $H=\frac14C$

Solution : 1. D'après le théorème de Ménélaüs, $1\times \overline{QC}\times 20=-5\times\overline{QB}\times 12$. Donc $\overline{QC}=-3\overline{QB}$; 2. Donc, d'après le théorème de Thalès(version générale), $\vec{HC}=-3\vec{HA}$. Donc $C-H=-3(A-H) $ et finalement $H=\frac14C$. D'où $Q=2+4.5i$.

Qu'en pensez-vous (en ce qui concerne la mathématique et la possibilité de l'enseigner sous cette forme dans un avenir plus ou moins proche) ? (remarque : avec $R=10$, on obtient $Q $ milieu de $[BC]$ et en outre, la figure se trace en peu de temps.)

JLapin

J'en pense que c'est beaucoup d'efforts pour remplacer la recherche du point d'intersection de deux droites non parallèles.

pldx1

Ce pays lointain où te mène hélas la voie du destin.

En fait, Thale était un druide, mais les envahisseurs ne veulent pas en convenir. Et dans leurs établissement d'ensaignement coloniaux, ils atrophient la version générale du théorème.  

(A suivre).

stfj

@pldx1 : Exactement.

stfj

@AD : je me suis emporté bêtement pour une broutille. Pour tenter de me faire pardonner.

Vassillia

Plutôt d'accord avec @JLapin, je ne vois pas l’intérêt d'aller chercher ce théorème (peu importe comment on le nomme) pour résoudre l'exercice.
Honnêtement, pour éviter de résoudre des systèmes linéaires ce qui est casse-pied à rédiger, je serais presque plus motivée pour enseigner une version à la @pldx1 mais en soft.
$$B\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 6\\ 1\end{array}\right) ; C\simeq\left(\begin{array}{c} 8\\ 0\\ 1\end{array}\right) ; P\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 5\\ 1\end{array}\right) ; R\simeq\left(\begin{array}{c} 10\\ 0\\ 1\end{array}\right) $$\begin{eqnarray*} (PR) \simeq \left(\begin{array}{c} 0\\ 5\\ 1\end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} 10\\ 0\\ 1\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{ccc} 5 & 10 & -50\end{array}\right]\\ (BC)\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 6\\ 1\end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} 8\\ 0\\ 1\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{ccc} 6 & 8 & -48\end{array}\right]\\ Q\simeq\left[\begin{array}{ccc} 5 & 10 & -50\end{array}\right]\wedge\left[\begin{array}{ccc} 6 & 8 & -48\end{array}\right] & = & \left(\begin{array}{c} -80\\ -60\\ -20\end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} 4\\ 3\\ 1\end{array}\right)\end{eqnarray*}
Ça me parait quand même abordable, perso, je trouve scandaleux de ne pas avoir su faire ce genre de calcul plus tôt.

stfj

@JLapin : l'exercice en soi, n'a effectivement que très peu d'intérêt (éventuellement une façon rapide de faire travailler un élève de Terminale sur le théorème de Ménélaüs, pour l'aider à l'assimiler.) Ce qui m'intéresse, c'est de proposer ici, dans le cadre de ce fil, un exercice avec un résultat "qui nourrit bien"(le théorème de Ménélaüs) mêlant algèbre linéaire et géométrie élémentaire. Avec des notations qui me semblent trop peu utilisées avant la Terminale --où il sera question des nombres complexes-- : d'où la présence dans cet exercice maladroit (mais peu importe, c'est sur les notations que je souhaite un avis) des notations dans $\mathbb R^2$: $d=(PR)=P+\mathbb R (R-P),\ \overrightarrow{AB}=B-A,\ Q=2+4.5i=(2;4.5)$ ... que je trouve regrettable de n'utiliser que dans l'enseignement supérieur, alors qu'elles seraient si utiles dans l'enseignement secondaire dès la classe de 6è, tout en préparant les élèves à ce qu'ils verront dans l'enseignement supérieur dans le cadre de leur formation scientifique.

Dom

Encore une fois, l’esprit des programmes du collège (si tant est qu’il en existe encore un… de « sain ») n’est pas de travailler dans des coordonnées. 

Le faire n’est pas interdit. J’ai même dit que je trouvais plutôt cela pertinent. Toutefois, pousser à le faire coûte que coûte, et avec ces technicités, ça ressemble à une obnubilation, si j’osais.
Au lycée, cela a bien davantage sa place. 

Mais est-ce que Ménélaüs est un incontournable ?

stfj

@Dom : ce que j'ai voulu montrer maladroitement (j'enseigne au collège et non au lycée) est qu'on peut très simplement présenter des résultats substantiels à des lycéens rien qu'en travaillant dans $\mathbb Z^2$. Quant aux programmes français, si j'ai bien compris, ils risquent d'évoluer. Et la proposition de 1964 de Jean Dieudonné fait toujours partie du débat. Ce ne sera évidemment pas la proposition retenue mais on peut toujours y réfléchir : si on veut l'envisager pour des lycéens, un minimum de notations pour le moins quand ils arrivent en seconde leur serait nécessaire. Par ailleurs, de façon prosaïque, tu sais comme moi que beaucoup d'élèves de 6è ont du mal à comprendre la distinction entre un trait et une droite(quand on leur demande de tracer une droite (AB), ils tracent souvent le segment [AB]; si les traits ne sont pas prolongés sur le tableau, ils ont du mal à concevoir l'intersection de deux droites sécantes du tableau...) Et tout comme moi, tu ne te fais guère d'illusions que même dans les classes qui suivent (5è,4è,3è) des difficultés demeurent. Alors imaginer que tous nos élèves comprennent que par deux chaises, il passe un bock de bière et un seul... Par contre, ils savent tous placer le point $(5,3)$ au bout d'un trimestre de rabachage. Je ne suis pas obnubilé par les coordonnées, je suis juste pragmatique.

stfj

@Vassillia : cool le calcul (je vais l'envisager tout de suite pour mes 6è, @pldx1 ) ; je ne connais pas mais je crois deviner : on se place dans $\mathbb R P^2$; on assimile les points de $\mathbb R P^2$ à ceux du plan $z=1$ dans $\mathbb R^3$. Jusque-là, j'ai bon ?

stfj

La droite $(PR)$ est associé au plan vectoriel dont un vecteur orthogonal est $(P-0)\wedge (R-0)$, où $0$ désigne l'origine de $\mathbb R^3$. De même pour $(BC)$. Les deux plans ont alors comme intersection, la droite vectorielle dont un vecteur est calculé par @Vassillia. Pour trouver le point $Q $ qui nous intéresse, on se ramène dans $z=1$. Il est en effet regrettable de ne pas enseigner un aussi joli calcul le plus tôt possible : j'ai un manuel de mathématiques spéciales de 1972 d'Alfred Doneddu où deux chapitres sont consacrés à la géométrie projective.

[Utilisateur supprimé]

stfj a dit :

[…] que je trouve regrettable de n'utiliser que dans l'enseignement supérieur, alors qu'elles seraient si utiles dans l'enseignement secondaire dès la classe de 6è, tout en préparant les élèves à ce qu'ils verront dans l'enseignement supérieur dans le cadre de leur formation scientifique.

Il est vrai que tout ceci est joli et permet de faire de belles mathématiques. Sauf que… seule une infime portion d’élèves de collèges souhaitent(ront) suivre une formation scientifique dans le supérieur… donc, à quoi cela servirait-il aux 90% (à la louche) d’élèves restant de prendre connaissance de tout ceci ? Je te le donne dans le mille : à rien.
En effet, je vois mal une personne partant, à titre d’exemples, en CAP à la fin du collège ou bien en LEA à la fin du lycée en avoir quelque chose à faire de tes lubies à base de vecteurs plus ou moins orthogonaux dans des espaces affines et ou projectifs.

De plus à l’heure actuelle, où l’école se dégrade et où elle ne remplit sa fonction que très marginalement, il serait peut-être intéressant de s’assurer que les élèves de collège quittent ce dernier au moins en sachant écrire, compter jusqu’à 10 et réaliser des calculs avec les quatre opérations arithmétiques de base, non ?
En réalité je me demande pourquoi tu persistes à rester enseigner au collège. J’ai l’impression que tu te sentirais bien mieux en lycée où tes idées auraient plus leurs places !

Aussi, invoquer Dieudonné ou Doneddu à tout bout de champ ne transforme pas de tes arguments d’autorités en des vérités absolues à la simple évocation de leurs noms.
M’enfin, au vu de ce qu’on a dit au début de cette conversation j’imagine j’écris une réponse qui partira dans le vent.

stfj

@dp :  beaucoup d'élèves de 6è ont du mal à comprendre la distinction entre un trait et une droite(quand on leur demande de tracer une droite (AB), ils tracent souvent le segment [AB]; si les traits ne sont pas prolongés sur le tableau, ils ont du mal à concevoir l'intersection de deux droites sécantes du tableau...) ; dans les classes qui suivent (5è,4è,3è) des difficultés demeurent. Alors imaginer que tous nos élèves comprennent que par deux chaises, il passe un bock de bière et un seul... Par contre, ils savent tous placer le point $(5,3)$ au bout d'un trimestre de rabachage. Je ne suis pas obnubilé par les coordonnées, cela me semble être loin d'une simple lubie mais  juste du pragmatisme. 

merci pour la critique sur les "vecteurs plus ou moins orthogonaux dans des espaces affines et ou projectifs" : oups . Faut dire que les calculs de @Vassillia sont très inspirés par la géométrie projective et "Historiquement, c'est l'idée d'"immerger" ainsi un espace vectoriel dans un espace plus vaste qui a conduit à la notion d'espace projectif". Stéphane Jaouen.

pldx1

Bonjour.

stfj a dit: cool le calcul (je vais l'envisager tout de suite pour mes 6è, @pldx1 ) ; je ne connais pas mais je crois deviner : on se place dans $\mathbb R P^2$; on assimile les points de $\mathbb R P^2$ à ceux du plan $z=1$ dans $\mathbb R^3$. Jusque-là, j'ai bon ?

Exposer cela de cette façon lorsque l'on parle de la géométrie au COLLEGE fait craindre le pire.

Commençons par le commencement. Au collège, à un moment ou à un autre, on dit "les coordonnées d'un point". Puis on dit "les coefficients d'une droite". Ces deux expressions sont excellentes. En effet, elles utilisent l'article défini.  Les coordonnées servent à caractériser un point: elles sont donc bien définies, et il serait idiot de dire "une coordonnée ou une autre".

De même les coefficients d'une droite servent à caractériser cette droite: ils sont donc bien définis et il est idiot de suggérer qu'il pourrait y avoir des équations différentes pour caractériser une seule et même droite. Au collège, on utilise, selon le cas,  $y=px+m$ ou bien $x=c$, en distinguant les droites ayant une pente $p$ et les droites tellement en pente qu'il faudrait dire $p=\infty$. Par la suite, on voudra unifier les deux modèles. Mais il est stupide faire cela en piétinant la propriété principale: LA équation caractérise LA droite.

C'est en fait le moment de faire apparaître que l'expression  $y=px+m$ mélange lamentablement les $x,y$ qui causent de LE point $M$ et les $p,m$ qui causent de LA droite $D$. Si l'on veut considérer les droites sans privilégier une direction d'axe, il vaut mieux réécrire LA équation sous la forme: \[ 0=p\,x+(-1)y+m\,1=\left[p,-1,m\right]\cdot \left(\begin{array}{c} x\\ y\\ 1\end{array}\right)\] On a donc $D\simeq \left[p,-1,m\right]$ qui caractérise la droite et $M\simeq \left(\begin{array}{c} x\\ y\\ 1\end{array}\right)$ qui caractérise le point.

Utiliser le symbole simeq $\simeq$ sert à dire que $[p,q,r]$ et $[k\,p,k\,p,k\,r]$ caractérisent la même droite lorsque $k$ est un honnête multiplicateur, c'est à dire n'ose pas être nul. Comment justifier un tel barnum devant des collégiens, ou des lycéens, ou des étudiants c'est à dire devant n'importe quel être humain normal? C'est tout simple: cela est efficace! Le bock de bière  qui passe par deux chaises est le wedge de ces deux chaises, tandis que la chaise qui appartient à deux bocks de bière est le wedge de ces deux bocks.

KEEP IT SIMPLE, STUDENT !

Le modèle n'est pas une structure utilisée comme gargarisme à bac+18. Le modèle est $\dfrac 2 3 = \dfrac 4 6$ parce que $2:3$ définit la même proportion que $4:6$. 

Cordialement, Pierre.

stfj

Quant à compter jusqu'à dix, ça tombe bien : l'exercice proposé ci-dessus se passe presque exclusivement dans $$[[0,10]]^2$$

stfj

Contrairement à ce qu'écrit @dp, en ce qui me concerne, tout ce qui est écrit dans ce fil m'intéresse vivement et je le lis très attentivement. Je réfléchis via les écrits des uns et des autres. On n'enseigne même plus les vecteurs en troisième. Le débat de savoir s'il faut ou pas les enseigner au collège a été tranché par d'autres. En fait, je me félicite de la décision prise et je pense qu'on finira par ne plus les enseigner de la même façon au lycée. J'ai réfléchi à synthétiser en une question ce qui m'a amené à poster le post original de ce fil : doit-on poursuivre comme depuis des décennies l'étude du plan et de l'espace comme des espaces affines réels de dimension 2 et 3 supposés intuitifs ? La réponse n'est pas la mienne et est visiblement : NON. Et l'on a raison. Par contre, je commence à me demander si l'on est conscient de ce que mieux vaudrait se contenter d'étudier les espace vectoriels réels $E=\mathbb R^2$ et $E=\mathbb R^3$ en exploitant leur structure d'espace affine $(E,E,v)$ avec $v:(a,b)\mapsto b-a$, comme par exemple Jean Dieudonné ou encore Serge Lang le montrent respectivement dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire et dans Linear algebra I. Et quand l'enseignement secondaire sera enfin débarrassé des inexploitables bipoints, on pourra enfin commencer à initier doucement cette étude dès la 6è en définissant les couples de nombres par exemple, ou encore en faisant travailler activement les élèves dans $[[0,10]]^2$ et plus tard en 3è la relation de Chasles si l'on veut : $$b-a+c-b=c-a$$

[Utilisateur supprimé]

Oh la petite pique.

Moi aussi ça m’intéresse, bien plus que tu ne le crois ! Simplement, il me parait illusoire d’imaginer que l’on reviendra à un enseignement de collège qui se rapprocherait de près ou de loin à la Mathématique Moderne. D’ailleurs, les rudiments de l’algèbre linéaire [ainsi que de la théorie des ensembles (genre inclusion, intersection, réunion, bijection, etc. au profit de la géométrie d’ailleurs)] était encore enseignés au collège durant une courte période après la Mathématique Moderne (de 77 (sixième) à, si mes souvenirs sont bons, 86 (troisième)). Pourtant ça a fini par être retiré au profit d’un retour de la bonne vieille géométrie d’Euclide. La question à se poser étant : pourquoi ? Et n’invoque pas la baisse de niveau déclinologue de la France : en 1986 on trouvait encore des terminales C, D et E.

Dom

« Par contre, ils savent tous placer le point (5,3) au bout d'un trimestre de rabachage »
C’est raisonnable mais pas fou… 
Et on est en dehors de la « géométrie ». 
C’est au programme et ça se fait sans difficulté. 

Vassillia

Ce qui est sûr, c'est que la géométrie analytique a gagné par rapport à la géométrie synthétique ne serait-ce que pour son utilisation en infographie.
Donc, si réforme il doit y avoir, c'est justement pour mettre les coordonnées au cœur du programme du collège, peu m'importe que ce soit joli ou pas, c'est utile. Maintenant, on peut effectivement se demander comment introduire cette géométrie et là, je n'ai pas de réponse bien claire.

stfj

@dp : je ne sais pas pourquoi ça a fini par être retiré au profit d'un retour de la "bonne vieille géométrie d'Euclide". Ce que je sais, c'est que quand j'envoie des élèves au tableau tracer l'unique droite passant par deux points A et B, beaucoup de mes élèves tracent le segment [AB]. Et pourtant ce n'est pas faute de leur répéter. Quand deux traits représentant deux droites sécantes sont tracés au tableau, si ces deux traits ne se rencontrent pas, pour beaucoup d'élèves, difficile de concevoir un point d'intersection. Tu y arrives au bout de 2/3 minutes en leur faisant prolonger les traits mais tu te dis que quand tu ne seras pas là, ça risque d'être compliqué. ET ça L'EST. Alors, la géométrie d'Euclide, complétée ou pas par Hilbert, c'est juste une vaste hypocrisie pour un grand nombre d'élèves. Par contre, comme je l'ai écrit dans mon post initial, en début de 6è, je leur fais placer $A=(0,0), B=(8,0), C=(0,6)$ et $I=(2,2)$ puis $ABC$ puis le cercle de centre $I$ et de rayon $2$; et quasiment tous les élèves dessinent le cercle inscrit dans le triangle $ABC$ avec ses 3 bissectrices. Voilà , c'est tout, je suis juste un prof qui constate : Euclide non, $[[0,10]]^2$ oui, ça marche. Et en plus ils apprennent ainsi à compter jusqu'à dix .

Vassillia

Anecdote rigolote : au collège, on nous demandait de tracer la parallèle passant par un point sur feuille blanche et comme je trouvais que c'était une perte de temps incroyable de jouer avec une équerre, je me servais de mon cahier par transparence où je comptais les carreaux. J'avais donné l'astuce à tous mes copains qui se sont mis à faire de même (avantage, on ne se faisait pas rouspéter en ayant oublié son équerre). Et oui, les coordonnées, c'est intuitif, il ne faut pas prendre les élèves pour des idiots. Bon, je n'avais pas encore compris que je pouvais faire pareil pour une perpendiculaire donc je tournais la feuille...

[Utilisateur supprimé]

stfj a dit :

[…] Ce que je sais, c'est que quand j'envoie des élèves au tableau tracer l'unique droite passant par deux points A et B, beaucoup de mes élèves tracent le segment [AB]. Et pourtant ce n'est pas faute de leur répéter.

Oui mais algèbre linéaire ou pas, ça ne changerait rien… c’est juste un problème d’apprentissage des définitions (ils n’ont pas envie d’apprendre ça car ça leur parait nul et inutile) et de conceptualisation.

stfj a dit :

[…] Alors, la géométrie d'Euclide, complétée ou pas par Hilbert, c'est juste une vaste hypocrisie pour un grand nombre d'élèves.

Que dire alors de l’algèbre linéaire qui passait au-dessus de la tête de la majorité des élèves dans les années 70 ?

stfj a dit :

[…] Par contre, comme je l'ai écrit dans mon post initial, en début de 6è, je leur fais placer A=(0,0), B=(8,0), C=(0,6) et I=(2,2) puis ABC puis le cercle de centre I et de rayon 2; et quasiment tous les élèves dessinent le cercle inscrit dans le triangle ABC avec ses 3 bissectrices. Voilà , c'est tout, je suis juste un prof qui constate : Euclide non, $[[0,10]]^2$ oui, ça marche. Et en plus ils apprennent ainsi à compter jusqu'à dix .

Ils ne font que du repérage de points qu’ils relient entre eux… Peut-on vraiment parler de géométrie ? Je ne serais pas aussi catégorique. De mon point de vue, on pourrait dire qu’ils font de la géométrie s’ils connaissaient les définitions d’un triangle, d’un cercle, d’un cercle inscrit et des bissectrices et s’ils étaient en mesure de conceptualiser tout ceci afin de réaliser l'exercice sans ton aide : sans que tu donnes les points initiaux (selon moi, tu leur mâches le travail).

Dom

« Les coordonnées, c’est intuitif » : c’est très subjectif. Et je ne vois pas en quoi ou qui prend les élèves pour des idiots. C’est justement affirmer « c’est intuitif » qui risque de prendre certains élèves pour qui ça ne le serait pas « pour des idiots ». 

Quant à utiliser les carreaux par transparence, c’est insuffisant me semble-t-il car les profs attendent tout de même les deux angles droits codés sur ladite figure. 

stfj

@Vassillia : c'est très profond, n'est-ce pas ? L'espace au voisinage d'un point est assimilable avec une bonne approximation à un espace affine réel euclidien de dimension trois, une fois une unité de longueur choisie. La structure algébrique modélise notre environnement proche, les procédés algébriques traduisent les propriétés géométriques avec une bonne approximation. La géométrie élémentaire est de l'algèbre linéaire. 

Vassillia

Désolée Dom mais se spatialiser avec nord, sud, est, ouest, c'est du niveau primaire et c'est juste ça les coordonnées.
Sinon, ne t’inquiète pas pour moi, je traçais des "faux traits de construction" pour faire plaisir à mon prof qui tenait absolument à ce qu'on joue avec un compas et une équerre sur une feuille blanche mais je trouvais ce genre d'exercice inintéressant et ma méthode meilleure donc je faisais autrement quand c'était possible. Tout ça pour dire que plus tôt, on passe en coordonnées pour faire de la géométrie analytique, mieux c'est

stfj

@dp : je parle d'élèves de 6è. Tu conviendras qu'avant d'apprendre la définition d'un cercle inscrit dans un triangle, encore faut-il qu'ils aient rencontré au moins un cercle inscrit dans un triangle donné. C'est le but de mon activité. Ensuite, je me range à ce que tu écris : il faut qu'ils apprennent les définitions; sans quoi nulle mathématique envisageable autre que la "géométrie de perception" de l'école primaire.

[Utilisateur supprimé]

Tirés du Lebossé-Héméry de Sixième

Tirés de celui de cinquième:

Est-il donc vraiment nécessaire de recourir à l'algèbre linéaire pour faire tout ceci ? Je n'ai pas l'impression. Certes cette dernière permet de synthétiser tout ceci dans une belle théorie unifiée, très utile à partir du lycée, mais elle retire tout l'aspect conceptuel et pratique selon moi encore indispensable au collège, de la géométrie; ce même aspect qui m'a fait défaut et qui m'a fait me pencher dessus comme je l'ai déjà dit au début de cette discussion.

JLapin

stfj a dit :et quasiment tous les élèves dessinent le cercle inscrit dans le triangle $ABC$ avec ses 3 bissectrices.

 Mais ils n'ont pas utilisé le compas pour tracer les trois bissectrices puisque tu as donné directement les coordonnées du point de concours :  c'est quand même dommage de vouloir priver des collégiens de la géométrie sur une feuille blanche je trouve. Ce sont des choses qui marquent un peu (la beauté des droites concourantes à partir de construction à la règle et au compas, peu importe l'emplacement des sommets du triangle).

Dom

Bof. Les élèves qui pensent mieux faire que ce que le prof demande, il en existe à la pelle (jusqu’en L2, voire au-delà).
Justement c’est le fond qui est intéressant et non la forme quand on utilise « deux droites perpendiculaires à la même troisième ». Mais tu ne l’avais pas compris à l’époque, c’est tout. 

Quitte à tricher, la méthode est d’utiliser les deux bords parallèles de la règle. M’enfin, l’esprit de contradiction lié à l’adolescence, faut-il le considérer comme pertinent ?

stfj

@JLapin : c'est juste une courte activité de début de 6è: le but est de les amener progressivement à l'envie de réaliser par eux-mêmes, comme l'explique @dp, ces belles constructions sur feuille blanche. Le travail avec les coordonnées n'est d'abord qu'un support de plus pour aider l'élève, comme le calque pour les symétries. J'ai évidemment envie de leur enseigner comme les pages du Lebossé-Hémery publiées, ce sont les maths que j'aime et que j'ai envie de transmettre. Tout en sachant que derrière elles, le véritable moteur, c'est la structure d'espace affine euclidien. Et, comme le dit @Vassillia, ce n'est pas tricher que d'utiliser cette structure par transparence via un quadrillage. 

Dom

« Ce n’est pas tricher ». 

Ben, un peu quand même… quand on file une feuille blanche c’est pour ne pas utiliser un quadrillage. 

Bref. Là c’est vraiment « forcer à quadriller » coûte que coûte. 

Vassillia

Euh comment tu fais avec les 2 bords de la règle ?
Autant repérer le coefficient directeur de la droite par son abscisse et son ordonnée puis bouger la feuille pour que le nouveau point tombe sur une intersection et reproduire le coefficient directeur de la droite, je vois bien.
Par contre, si la distance entre les bords de la règle n'est pas la bonne, c'est foutu. Est-ce que c'est tricher ? Oui, dans un sens mais j'avais parfaitement compris le principe et je persiste à trouver (même aujourd'hui) que c'est dommage de ne pas utiliser la méthode la plus efficace pour résoudre un problème. C'est ce que j'enseigne, bon tu n'as pas tort sur l'esprit de contradiction mais j'essaye de le faire intelligemment et si ce qu'on me propose est mieux, je change.

Dom

« je persiste à trouver (même aujourd'hui) que c'est dommage de ne pas utiliser la méthode la plus efficace pour résoudre un problème »
Justement… les contraintes matériels font partie du problème !

Ceci dit, bonne nuit à tout le monde. 

Vassillia

Je comprends ton point de vue mais mon point de vue est de changer les contraintes matérielles avant de résoudre le problème tant que ce n'est pas interdit. Je pense d'ailleurs qu'il vaut toujours mieux encourager à réfléchir sur comment s'y prendre pour résoudre un problème plutôt que de forcer systématiquement la résolution attendue mais je suis très biaisée à ce sujet par mes gouts personnels.
Bonne nuit également.

Alain24

Je suis à la retraite et au lycée j'ai étudié les coniques définies  par une équation du deuxième degré à deux variables, nous apprenions à réduire les équations et à les ramener à 3 "genres" par changement de repère orthonormé, ensuite nous passions à l'étude géométrique des ellipses et hyperboles, les étudie-t-on encore ? Combien d'élèves de terminale savent-ils qu'un cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus. Combien d'élèves de terminale savent qu'on peut définir les ellipses par foyers et directrices, par section d'un cône, comme lieu des points dont la somme des distances au foyer est constante et  combien d'élèves de collèges ou lycées connaissent les lois de Kepler ?

Dom

Aucun, ou quasiment aucun… mais comme ce n’est plus enseigné, c’est normal. 

En 1980, combien savaient écrire un script en Scratch qui demande un nombre à l’utilisateur et qui le fait dire par le lutin ? Aucun.

stfj

Pour en revenir à mon exercice avec la ménélienne (transversale de $ABC$), je ne suis pas sûr qu'on puisse trouver plus court comme rédaction que $$\frac{QC}{QB}=\frac{PA}{PB}\times\frac{RC}{RA}\text{(mesures algébriques)}$$Il y a en effet deux paramètres : la position de $P $ sur $(AB)$ et celle de $R$ sur $(AC)$. Il ne s'agit pas juste de trouver l'intersection de deux droites sécantes quelconques en classe de seconde par exemple. Réflexion faite, je me demande si l'intervention du théorème de Ménélaüs ici est si artificielle, à la vue des deux exemples proposés : exemple 1 : $(P=5i, R=20)$; et exemple 2: $(P=5i, R=10)$.

Dom

Vassillia,
dans ce cas, nul besoin de rien : à vue de nez, si on sait ce qu’est le parallélisme, on oriente la règle comme il le faut et ça passe. Sans quadrillage, sans équerre ni mesure aucune. 

stfj,
Ménélaüs, c’est un gadget en 2023… ça ne fait plaisir qu’au prof. Même en tant que culture générale, je reste sceptique. 

Thalès, ça se comprend avec la proportionnalité. 

Ménélaüs ou Céva, qu’est-ce que ça dit ? Comment ça s’interprète ?
Ce produit de module 1, qu’est-ce que ça dit ?
Pour deux facteurs, ça dit qu’ils sont inverses (au signe près), mais quand ils sont trois ?

Julia Paule

Je n'ai lu ce fil qu'en diagonale, mais je pense que c'est une erreur de présenter la géométrie à des élèves du collège via l'algèbre linéaire. En effet, les élèves de cet âge ne voient que des points, les vecteurs c'est déjà plus difficile, mais alors raisonner sur des vecteurs après avoir fixé un point pour faire de la géométrie, cela demande un niveau d'abstraction qu'à mon avis ils ne possèdent pas. D'ailleurs l'algèbre linéaire n'a émergé que très lentement à partir du 18ème siècle : https://antoniogarciaa.pagesperso-orange.fr/histoires demaths/HLINALG.pdf, et par le fait de mathématiciens confirmés. Alors des élèves du collège ... @stfj tu veux te faire plaisir.

Vassillia

C'est pas faux Dom mais j'avais peur de ne pas être assez précise, pour moi s'il y a un bien truc qui ne fait plaisir qu'au prof, c'est le dessin sur feuille blanche. Qui utilise une équerre ou un compas dans sa vie perso ou pro ? Personne, le dessin technique se fait sur ordinateur et le dessin artistique ne se fait pas à coup de géométrie sauf peut-être quelques notions de perspective (le truc qui n'est pas enseigné). De qui se moque ton ? Par contre, je suis plutôt d'accord pour Thalès avec la notion de proportionnalité.

Dom

La question « qui utilise … dans sa vie perso ou pro ? » n’a pas lieu d’être pour moi. Je comprends ce « pragmatisme utilitariste », c’est une vision de l’enseignement mais ce n’est pas la mienne. 

Si on va dans ce sens, on peut supprimer des tonnes de choses, et en France, même les langues vivantes, et l’histoire… n’en parlons même plus, et l’EPS, qui fait du sport (quelle proportion de la population) ?
Hum… ce « à-quoi-ça-sertisme »…

Vassillia

Je trouve qu'il y a suffisamment de choses utiles et intéressantes à enseigner sans continuer d'enseigner des choses inutiles même si elles sont intéressantes. 
Connaitre notre histoire est utile pour comprendre notre civilisation actuelle
Faire du sport est utile pour la santé 
Connaitre des langues étrangères est utile pour communiquer avec son prochain.
Se servir d'une règle à calcul est devenu inutile, je ne l'ai jamais appris, cela a disparu. Il y a de fortes chances qu'il en soit de même du compas et de l’équerre dès que les générations ayant vécues sans ordinateur auront disparues. Ce n'est pas grave, ce sera remplacé par quelque chose d'intéressant et d'utile, il reste à se demander quoi.

Dom

Savoir dessiner sur papier non quadrillé me semble aussi utile que tout le reste. 

Discussion sans fin. Donc j’arrête 😆

Foys

Les constructions à la règle et au compas sont fantastiques pour initier les enfants à la géométrie à l'école primaire. Elles permettent de faire comprendre à l'enfant qu'il manipule des phénomènes physiques qu'il peut s'approprier, au lieu d'admirer les images construites arbitrairement par le fabricant d'une sorte de jeu vidéo  (les lobbies qui introduisent ces logiciels à l'école n'aimeront pas mes propos. Geogebra et consorts sont surtout utiles pour le prof pour produire ses polycopiés plus vite).  Quand j'étais écolier c'est ce qu'on faisait : la géométrie à l'école primaire ce sont des travaux pratiques. Après tout dépend de ce que vous voulez faire : former des individus pensants capables de s'approprier le monde ou des esclaves dépendants.

La règle à calcul permet de s'initier aux logarithmes.

Vassillia

Je veux former des individus pensants capables de s'approprier le monde donc pour cela d'utiliser les meilleurs outils à leur disposition en toutes circonstances mais je comprends l'attachement nostalgique du "j'ai appris comme ça quand j'étais petit" même si ce n'est pas forcément étayé par un réel besoin ni pour la formation intellectuelle de l'enfant ni pour la société.

[Utilisateur supprimé]

D’un autre côté, prends Monsieur Tout-le-Monde qui arrête les mathématiques en troisième (soit parce qu’il arrête l’école, soit parce qu’il va en CAP, soit parce qu’il ne prend pas l’option au lycée) et qui veut, disons, paver son jardin. Crois-tu réellement qu’il va donner des coordonnées à des points fictifs dans sa tête ? Personnellement, j’en doute. Il va simplement utiliser les longueurs et peut-être les angles entre les différents points de son jardin. Elle est là, selon moi, la grande force de la géométrie d’Euclide : elle s’affranchit de tout contexte et est applicable en toute circonstance.

Vassillia

N’exagérons rien, je n'ai jamais dit qu'il ne fallait pas apprendre l'aire d'un rectangle ou d'un disque car en effet cela peut servir à tout le monde. Et d'ailleurs, c'est ce qu'on fait en pratique, on approxime par la forme parfaite la plus proche pour avoir un ordre de grandeur de la surface et acheter le bon nombre de sac de pavés. Il est sans doute pertinent de donner des figures toutes faites aux élèves pour qu'ils se débrouillent pour mesurer le périmètre et l'aire avec leur règle (et quelques calculs).