Enseigner la géométrie en 202... : quelle place pour l'algèbre linéaire ?

Dom

« Ce n'est pas moi qui le dis, c'est un physicien »

Est-ce une blague ?
Tu n’en as trouvé qu’un. Et même s’ils étaient deux…
Tu pousses un peu le bouchon, mais on a l’habitude. 

Tu as trop de « mentor » et ça te dessert. 

[Utilisateur supprimé]

La blague semble même aller plus loin car j'ai compris une chose bien différente de @stfj. En effet, j'interprète les mots de monsieur Parizot plutôt comme étant : "la physique et les physiciens n'ont pas encore réussi à dégager une théorie expliquant le fonctionnement et les propriétés (physique) de l'espace (physique)" ; et non pas "Personne n'a la moindre idée de ce qu'est l'espace" (sous entendu mathématique).

Dom

Oui c’est ce que je voulais dire aussi. 

Pour le mathématicien, l’espace c’est $\R^3$ et ça on sait ce que c’est. Un ensemble de triplets de réels. 

Pour le physicien, l’espace, c’est autre chose. 

Vassillia

Je suis d'accord qu'il ne faut pas confondre point et vecteur mais pas besoin d'en faire toute une histoire encore moins pour le lycée :
Un sous ensemble est affine si on peut y jouer avec des barycentres : à partir de plusieurs points pondérés par un coefficient, on peut trouver un point d'équilibre (c'est effectivement bien utile en physique)
Un sous ensemble est vectoriel si on peut y jouer avec des combinaisons linéaires : additionner plusieurs vecteurs multipliés par un scalaire redonne un vecteur
Si on a un espace affine, alors on obtient un espace vectoriel en soustrayant tous les couples d'éléments
Si on a un espace vectoriel, alors il suffit de lui ajouter n'importe quel élément pour obtenir un espace affine
C'est informel mais il y a plus ou moins l'idée derrière et on en arrive à $\vec{u}=B-A$ ou $B=A+\vec{u}$ et cela ne devrait faire aucun scandale. Après évidemment, si on se lance dans des définitions à n'en plus finir, personne ne va rien comprendre et on n'aura même pas le temps de passer aux exercices (c'est dommage quand même).

Héhéhé

Il y a plein d'élèves qui ont du mal à comprendre qu'on peut avoir $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ même si $A \neq C$ et $B \neq D$. Je ne suis vraiment pas convaincu qu'entretenir une confusion entre point et vecteur aide pour cette (réelle) difficulté. 

rakam

@Vassillia En prenant ton "Un sous ensemble est affine si on peut y jouer avec des barycentres " dans l'autre sens je me permets de rappeler ce lien
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/1750958/espaces-barycentriques

Malheureusement c'était dans l'ancien forum et je ne sais pas comment retrouver le document qui était joint. Si quelqu'un est intéressé je peux de nouveau le joindre.

Dom

Ce que dit Héhéhé ressemble étrangement au fait que certains ont du mal à comprendre que $\frac{2}{3}=\frac{a}{b}$ ne signifie pas forcément que $a=2$ et $b=3$ (malgré des règles sur les fractions parfois connues...) 
C'est la même chose : une histoire de classe.

biguine_equation

Bonjour,
regardez dans ce document tiré de l’ouvrage « algèbre géométrique » comment l’auteur assimile un vecteur à un point.

Vassillia

Je suis convaincue que si $B-A=D-C$ et si les élèves ont assimilés que cela permet de caractériser un vecteur, il devrait pouvoir en déduire $\vec{AB}=\vec{CD}$ peu importe où se trouve les 4 points. La difficulté vient, à mon avis, justement du fait que ce n'est pas assimilé.
Je ne dis pas pour autant qu'il faut entretenir une confusion entre vecteur (la manière pour se déplacer d'un point à un autre) et point (un objet fixe) dans la représentation qu'ils s'en font. On continuera à mettre des petites flèches pour les distinguer et on fera des exercices pour les habituer à jouer avec ces différentes représentations.
Par contre, ce qu'il faut, c'est séparer l'image mentale qu'on se fait d'un objet de la manière dont on va le représenter pour faire des calculs et là, c'est effectivement la même pour les points et les vecteurs donc uniquement $\mathbb{R^2}$ ou $\mathbb{R^3}$ au lycée.

Je me trompe peut-être mais je ne pense pas que ce soit si dérangeant, il y a plein de mots qui ont des sens différents en fonction du contexte, tout le monde y est habitué, il suffira de bien préciser le contexte.

Bien sûr que c'est une histoire de classe d'équivalence et justement une fois qu'on a les fractions, les vecteurs, on peut leur dire : "regardez ce concept et bien les mathématiques l'ont formalisé" et cela aura du sens. On ne peut pas commencer par classe d'équivalence pour la grande majorité des élèves pour qui le concept sera trop abstrait sans avoir été manipulé avant.

stfj

@Vassillia : je te signale que si $A$ et $B$ désignent deux points de l'espace affine euclidien* $(\mathcal E,E,v)=(\mathbb R,\mathbb R,v)$, avec $v:\mathcal E\times \mathcal E\to E, (M,N)\mapsto v(M,N)=\vec{MN}:=N-M$, alors $\vec{AB}=B-A$. Par exemple, exercice qui plaît bien aux élèves de 5è, César étant né en $A=-100$ et mort en $B=-50$, quel âge avait-il quand il est mort ? Eh bien, comme l'on s'en doute, il est mort à l'âge $d(A,B)=\|\vec{AB}\|=|B-A|=|A-B|$, qui est égal, au choix, à $$|-50-(-100)|$$ ou encore à $$|-100-(-50)|$$ Les préventions contre l'écriture $$\vec{AB}=B-A$$sont d'un point de vue mathématique ni plus ni moins que celles qu'on peut émettre contre l'enseignement bien plus que centenaire de la soustraction sous la forme qu'on pourra retrouver** dans les Lebossé-Hémery ou plus loin dans les livres de 6è/5è d'Anna et Elie Cartan, ou jusqu'en 2023 dans n'importe quel cours digne de ce nom de la classe de 5è sous la forme $$B-A\text{désigne le nombre } C \text{tel que }A+C=B$$ou$$\text{Grand nombre-petit nombre=différence}$$$$\text{Petitnombre+différence=grandnombre}$$(J.Dumarqué,L. Renaud, Cours moyen, p.22)

Personnellement, j'ignorais qu'il existât de telles préventions. Et il n'est guère surprenant qu'Artin ne s'en soucie guère, ni son élève Lang, ni un admirateur de Algèbre géométrique tel que Jean Dieudonné, qui tentera de le vulgariser dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, ni.... En gros tout le monde même n'importe quel professeur de collège.

________________________________

* En classe de seconde, je pense qu'on enseigne toujours que $$\forall A\in \mathbb R,|A|=\sqrt{<A,A>}$$** J'ai même sous les yeux un livre de classe ayant appartenu à mon oncle qui l'utilisa donc dans les années 30, écrit par J. Dumarquédont je suis un grand fan(ma compagne enseigne dans le même lycée...), et L.Renaud, inspecteur de l'Enseignement Primaire, destiné aux Cours Moyen (Certificat d'études) que je pourrais conseiller à un étudiant ayant du mal avec $B-A$.

stfj

@Héhéhé : bonjour et merci pour la vidéo d'Etienne Parizot; à partir de 1:47:00, celui-ci explique l'importance de disposer d'outils tels que les vecteurs pour exprimer les lois de la physique de façon indépendante des systèmes de coordonnées choisis (vecteur force $\vec f $, vecteur vitesse $\vec v$ , vecteur champ électromagnétique $\vec E$,...) C'est effectivement très pertinent. Et j'ai déjà commencé le #2 de Parizot sur la relativité restreinte

biguine_equation

J’aime bien cet extrait de $\textbf{Algèbre géométrique}$ d’Emil Artin. Emporté par son enthousiasme pour la découverte d’un isomorphisme, la communauté éducative a remplacé l’intuition géométrique par le calcul matriciel. L’auteur semblait partager avec Hilbert, une certaine aversion pour les matrices.
Comme d’autres avant lui, Artin propose de partir de la source géométrique et prend l’exemple des vecteurs et valeurs propres. Certains groupes finis ont aussi une origine géométrique. Les structures algébriques paraîtraient moins rebutantes et « hors-sols«  si on s’était habitué dès le collège (mais en douceur) à les voir à travers les transformations géométriques.  

Sa description du pauvre étudiant qui doit ingurgiter toute une procédure formelle devant aboutir à une matrice diagonale est éloquente. Le tout sans la moindre représentation spatiale pouvant éventuellement motiver cette opération…
On a l’impression qu’une poignée de décideurs (un peu esthètes) a voulu imposer au tout-venant sa passion quasi-lubrique des structures, cette abstraction suffisamment belle en soi pour ne pas avoir à chercher ailleurs sa justification.
Personnellement, je n’ai aucun problème avec ça mais je peux comprendre que ce passage en force du ministère ait pu être mal vécu par les profs et leurs élèves. 
Maintenant, stfj doit avoir une idée plus précise que moi du type d’enseignement qui convient le mieux à ses classes et il doit s’adapter aux difficultés du quotidien (qui ont l’air sacrément balèzes si j’en crois ses messages) mais je suis persuadé que ce texte d’Artin montre la voie. 

C’est marrant parce que quand je l’avais feuilleté, je l’avais rapidement reposé sur les rayonnages de la BU en me disant: c’est trop abstrait et il n’y a pas de géométrie là-dedans. En réalité, il est très pédagogique et si ce n’est pas à proprement parlé un livre de géométrie, elle y est omniprésente.

stfj

Voici une vidéo francophone comme il en fleurit pas mal dans le monde anglosaxon où le plan est systématiquement pris égal à $\mathbb R^2$ : il y est question avec beaucoup d'illustrations de translations, d'homothéties, de dilatations, de transvections, ... ( les exemples que j'ai pris au cours de ce fil sont repris). Il me semblait bien qu'au moins dans le monde anglosaxon, cela devenait affaire courante.

Dom

Plusieurs questions : 
1) de quel niveau on parle dans ces escapades anglaises ?
2) dire à nouveau « plan c’est $\mathbb R^2$ ne veut rien dire 
3) as-tu autre chose qu’une vidéo pour en déduire « Il me semblait bien qu'au moins dans le monde anglosaxon, cela devenait affaire courante » ?
c’est fou cet autruchisme !

stfj

1) Ces escapades sont ouvertes à tous; en ce qui concerne le niveau de celle-ci, vu que les deux auteurs partent des fonctions linéaires et affines$$ax, ax+b$$et restent à un niveau toujours élémentaire, je dirais : à partir de la troisième ou de la seconde.

2) Nous sommes tous familiers avec la géométrie analytique où un point dans le plan est décrit par un couple $(x,y)$ de nombres réels, une ligne droite par une équation linéaire, une conique par une équation quadratique. La géométrie analytique nous permet de réduire n'importe quel problème géométrique élémentaire à un simple problème algébrique.

3) J'ai pas mal fréquenté un site anglosaxon de matheux où j'ai pu échanger avec des étudiants et des enseignants anglosaxons. Une application affine de $\mathbb R^2$ sous la forme $$\begin{cases} x'=ax+by+c \\ y'=dx+ey+f \end{cases}$$ est souvent un préalable, là où la définition $$\overline{f(O)f(M)}=\vec{f}(\vec{OM})$$n'est pas forcément sue des étudiants, par exemple. Je ne sais plus ce qu'on fait en France mais il me semblait que c'était plutôt l'inverse.

PetitLutinMalicieux

En 1996, on étudiait les similitudes en terminale S, en cours de spécialité math uniquement. Les transformations étaient donc toutes celles résumables par $z'=re^{i\Theta}(z-z_0)+z_0$. On retrouve donc les translations, rotations, homothéties. Mais on n'a pas de cisaillement ou projection.

stfj

J'ai illustré un "cisaillement" que je fais avec mes collégiens dès la classe de 6è. C'est le même que celui proposé par les deux youtubeurs. Par ailleurs, leur volet n°3 commence par la présentation de $\mathbb R^3$, qui est actuellement du programme de 3è en France : ils y introduisent par exemple la notion de triplet formé d'une abscisse, d'une ordonnée et d'une cote à laquelle est associé chaque point de l'espace. Enfin, si la notion de "surface extrudée" présentée par les youtubeurs n'est pas du programme de collège, on n'hésite pas dès la classe de 5è à parler de cône ou encore de génératrice d'un cône, ou encore de surface de révolution... Combien de fois n'ai-je pas tenté maladroitement de faire tourner une équerre pour générer un cône devant les élèves: les illustrations proposées sont bien plus parlantes pour parler de cône de révolution.

Ericpasloggue

stfj a dit :

J'ai réfléchi récemment à démontrer que si $M$ est dans le demi-plan défini par la médiatrice de $[AB]$ du côté de $A$, alors $MA<MB$ : vous pouvez faire l'essai : un véritable défi pour le présenter à des élèves de 5è avec disons l'inégalité triangulaire.

Je l'ai fait en 5e cette année et j'ai aussi fait la réciproque. Je n'ai pas trop vu le défi (les élèves peut-être un peu plus). Quant à l'inégalité triangulaire, je l'ai démontrée en 4e (somme toute que de la géométrie euclidienne... dans le sens où il ne s'agit ni plus ni  moins que de refaire la démonstration d'Euclide, ce qui n'est pas un défi insurmontable).

Ericpasloggue

stfj a dit :

1. Il me semble déraisonnable de demander à des enseignants de suivre une voie, en substance la voie d' Euclide , alors que la seule chose qu'ils en connaissent est ce qu'ils ont pu penser en retenir de leurs propres études secondaires avant d'abandonner cette voie dans le supérieur;

Est-il déraisonnable de demander à un enseignant de s’instruire ? Tu sembles penser que c'est le cas.

stfj

@Ericpasloggue : bonjour, 

Tu viens de réactiver un vieux fil d'un an .

Peux-tu montrer, s'il te plaît, ta démonstration du résultat : 

Soit $A$ et $B$ deux points du plan. Soit $d$ la médiatrice de $[AB]$. Soit $M$ dans le demi-plan associé à $d$ contenant $A$. Alors $$MA<MB$$

Cordialement,
Stéphane Jaouen.
_________________________________
P.S. : pour l'instant, je me moque comme de l'an 40, qu'elle soit compréhensible ou non par un élève de 5è. Disons que je demande à un collègue d'expliquer à un autre collègue (moi en l'occurrence) comment faire cette démonstration en dehors de l'Algèbre linéaire. Je ne connais rien à la géométrie d'Euclide, ni à celle de 2000 ans, ni à celle complétée par Hilbert. Donc il va falloir être patient et bien m'expliquer. Sur le site, il en est qui évaluent mon niveau à celui d'un élève plutôt médiocre de 4è. Je répète qu'il va falloir être patient...

Ericpasloggue

Soit $H$ le point d'intersection de $(MB)$ et $d$. On a (en supposant $M$, $A$ et $B$ non alignés, cas particulier à traiter à part)

\begin{align*}
   MB&=MH+HB  \\
   &=MH+HA
\end{align*}

en utilisant la propriété caractéristique de la médiatrice. Un coup d'inégalité triangulaire dans le triangle $MHA$ règle la question. On peut ensuite exprimer la contraposée, qui donne...

Reste donc à démontrer l'inégalité triangulaire et la caractérisation de la médiatrice, ce qui se fait très bien avec le programme de 4e (j'ai du mettre il y a quelques temps dans un fil de ce forum une feuille d'exercice de 4è qui proposait ces deux propriétés).

stfj

stfj

Ma démonstration est la même : tu dois aussi démontrer que $[MB]\cap d\neq \emptyset$, n'est-ce pas ? Dès la première ligne, la "démonstration" souffre d'un manque de rigueur. D'où sort l'existence de $H$ à part d'un coup d'oeil sur la figure. Bref, on regarde et on voit le $H$. Donc on affirme péremptoirement son existence :" Soit $H$ le point d'intersection de $d$ et de $[MB]$ ..."

Peut-on encore parler de démonstration ? 

stfj

En outre, vu que tu parles de la droite $(MB)$,  ton affirmation $$MB=MH+HB$$ est potentiellement fausse. A nouveau, tu as regardé sur ta figure, en prétendant jouer avec les verres de bière d'Hilbert.

Ce n'est pas une démonstration au sens mathématique du mot, c'est , désolé d'être sévère, du pipeau.

__________________________________________
« On doit toujours pouvoir remplacer « points, droites, plans » par « tables, chaises, verres de bière »

stfj

La difficulté de démontrer des évidences comme ici, a été pointée du doigt par Henri Poincaré. Il déconseillait fortement de le faire.

 A quoi bon démontrer que M est plus proche de A que de B, s'il faut en outre démontrer que 

Si deux points sont dans deux demi-plans définis par la même droite, alors tout segment les joignant intersecte la droite en un unique point.

A quoi bon ? Je crois même que Poincaré explicait les réticences des jeunes à l'égard des mathématiques à cause de telles pipeauteries.

stfj

Est-il déraisonnable de demander à un enseignant de s’instruire ? Non. Mais s'instruire, assimiler de nouvelles connaissances, est chose exigeante. Pour ma part, vu combien je suis payé, faut vraiment que le sujet me passionne pour que je me lance dans une telle entreprise. Et l'algèbre linéaire est pour moi chose passionnante.

Ericpasloggue

Bien sûr, on peut s'amuser à remonter la chaine des propositions jusqu'aux axiomes. Nul doute que lorsque tu vas exposer l'algèbre linéaire sur le corps $\mathbb{R}$ au collège (ou seulement au lycée), tu vas à chaque fois que tu prétends démontrer quoi que ce soit refaire la construction de $\mathbb{R}$... tu as une préférence pour la construction ?

Hormis cela, un axiome dans l'axiomatique de Hilbert (axiome de Pasch) dit que si une droite coupe un côté d'un triangle et ne passe par aucun des sommets, alors elle coupe un des deux autres côtés.

Au passage, tu auras aussi besoin de Pasch pour démontrer l'inégalité triangulaire (il est nécessaire dans la démonstration du théorème de l'angle extérieur, je te laisse voir comment... ou bien je t'explique).

stfj

Je reprends ta "démonstration". Tu définis $H $ comme le point d'intersection de la droite $(MB)$ et de $d$, n'est-ce pas ?

stfj

En ce qui concerne la fameuse "propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment", mes 28 ans et 9 mois d'ancienneté ne me permettent toujours pas de la démontrer pour les élèves: pour moi c'est un axiome. Je sais la démontrer dans le cadre de l'algèbre linéaire mais comme l'enseignement secondaire est toujours aux mains d'un mandarinat(j'ai récemment eu affaire à un inspecteur presqu' ému aux larmes en me vantant les beautés de la géométrie d'Euclide) dénoncé dès les années 1960, pour les élèves, ce sera un axiome.

Ils attendront la seconde pour ne pas comprendre qu'avec un produit scalaire défini n'importe comment par $$"<\vec u,\vec v>:=||u||.||v||\cos(\vec u,\vec v)"\text{[sic]}$$ on démontre le plus simplement du monde que $$MA=MB\iff MA^2=MB^2\iff <\vec{MI}, \vec{AB}>=0$$

Ericpasloggue

La droite $d$ coupe $[AB]$ en son milieu (définition de la médiatrice), donc elle coupe un autre côté de $ABM$, $[AM]$ ou $[BM]$ (c'est l'axiome de Pasch), en un point $H$. $A$ et $M$ se trouvant du même côté de $d$ par hypothèse, $d$ coupe $[MB]$. Si après ça, tu arrives encore  placer $M$ entre $H$ et $B$, je te conseille d'arrêter les maths. Quant à a relation $MB=MH+HB$, elle est aussi axiomatique (voir par exemple Foundations of Geometry, de Borsuk et Szmielew, aux alentours de la page 167 dans l'édition Dover).

stfj

Je ne fais pas de maths (je ne risque donc pas de les commencer et encore moins de les arrêter puisque je ne les ai jamais vraiment même commencées) : je suis enseignant de mathématiques

stfj

Pourquoi un demi-plan est-il convexe ? (axiome de Jaouen?)

stfj

1.- Pourquoi un demi-plan serait -il nécessairement convexe? 
2.- Qu'est-ce qu'un demi-plan, au fait ? Bien gentil de parler d'objets mathématiques, mais tant qu'ils ne sont pas définis, on parle dans le vide, et ça, malgré mon peu de pratique de la mathématique, je le sais, CE N'EST PAS de la mathématique;
3.- Comme tu t'en es vite aperçu, je ne suis vraiment pas doué en mathématiques. J'aime beaucoup la mathématique, mais, elle, elle ne m'aime pas. Et si on travaillait dans $\Z/2\times \Z/2$ pour simplifier pour qu'avec mes petits moyens mathématiques j'y arrive quand même. C'est bien un plan, au fait? Au fait, qu'est-ce qu'un plan ? Qu'est-ce qu'un point ? Qu'est-ce qu'une droite ? Un segment? ... Le milieu d'un segment? Qu'est-ce que ça veut dire que deux droites sont perpendiculaires ? En particulier dans $\Z/2\times \Z/2$, s'il s'agit bien d'un plan . 

________________________________________________
Toute blague mise à part, questions fort profondes sur lesquelles se sont penchés les plus grands mathématiciens et les plus grandes mathématiciennes. Je peux pas te dire à quelle page, mais je le sais. SCIO.

stfj

"[...]Quant à la géométrie de synthèse, quelle blague!  Euclide faisait de la géométrie, point barre. Il n'y en avait pas d'autre  à l'époque. Et puis, au fil des siècles,  les idées exposées dans le bouquin d'Artin ont fini par émerger les unes après les autres. Et l'on est arrivé à la géométrie projective sur un corps de nombres. C'est la géométrie naturelle. 

Le principal concept novateur a été celui d'orientation. Quand on écrit: $$a^2=b^2+c^2−2bc\cos A$$ on a besoin de remarquer l'existence des triangles obtus, ce qui conduit à utiliser des cosinus éventuellement négatifs et donc à cesser de définir le cosinus par adjacent sur hypoténuse. Quand on regarde les prétendues démonstrations produites par les tenants de la géométrie de synthèse, on doit dépenser une énergie considérable pour contrôler les choix addition/soustraction... et on constate le plus souvent qu'ils ont été faits "en regardant sur la figure". Ce n'est pas un hasard. La méthode algébrique est de loin la plus efficace  pour gérer ce type de problème. 

En résumé, la prétendue géométrie de synthèse, loin d'être une école du raisonnement, est trop souvent une école pour les "preuves par intimidation"."(voir un peu plus haut dans le fil pour juger par soi-même de la pertinence ou non de rappeler cet extrait ici.)

JLapin

Je signale en passant que ça n'a jamais posé le moindre problème à de très nombreux médaillés aux IMO qui sont devenus ensuite des mathématiciens professionnels de très haut niveau de résoudre des exos de géométrie dite "de synthèse".

Vassillia

Certes mais est-ce qu'ils seraient devenu des mathématiciens de très haut niveau sans résoudre des exos de géométrie dite "de synthèse" ? A priori oui, ils ont développé leur talent avec cela mais ils auraient pu le développer avec autre chose en mathématique. D'autant plus que pas grand monde ne fait de la géométrie de synthèse au niveau recherche à ma connaissance.

Est-ce que cela aide tous les futurs non mathématiciens de très haut niveau, qui de fait constituent la quasi, pour ne pas dire l'intégralité des élèves que vous aurez ? Pas convaincue, vous me direz que trouver autre chose qui puisse les aider n'est pas facile non plus mais ce n'est pas une raison pour ne pas essayer.

S'instruire quand on est enseignant, bien sûr, mais comme on ne peut pas tout savoir, il faut prioriser. A vous de voir quoi prioriser selon vos envies mais prétendre que sans la géométrie de synthèse, point de salut, c'est juste être complétement déconnecté de la réalité en 2024 il me semble.

stfj

Bonjour,

L'exercice suivant à destination des enseignants de mathématiques est-il bien formulé ?
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Exercice : dans le plan $\mathcal P$, soit $d$ une droite et soit $S\mathcal P_d$ l'un des demi-plans ouverts de frontière $d$. Soit $A,B\in S\mathcal P_d$. Prouver que $[AB]$, le segment d'extrémités $A$ et $B$, est entièrement contenu dans $S\mathcal P_d$.
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1.- Je sais le résoudre dans le cadre de l'algèbre linéaire mais pas autrement; en particulier, je dois le faire admettre à mes élèves de collège, ce qui ne pose évidemment aucun problème aux élèves de cet âge.
1.1- Peut-on proposer néanmoins une démonstration satisfaisante pour un enseignant autre que dans le cadre de l'algèbre linéaire?
1.2.- Peut-on adapter éventuellement cette démonstration pour la rendre accessible à un élève de collège ?

2.- Dans la démonstration proposée plus haut dont je cite un extrait : 

"[...]La droite d coupe [AB] en son milieu (définition de la médiatrice), donc elle coupe un autre côté de ABM, [AM] ou [BM](c'est l'axiome de Pasch des axiomes de Hilbert), en un point H. A et M se trouvant du même côté de d par hypothèse, d coupe [MB][...]"

La démonstration faite en 1) est-elle nécessaire ?

Cordialement,
Stéphane.

Héhéhé

Comment définis-tu la notion de demi-plan dans ce cadre (sans algèbre linéaire) ?

stfj

@Héhéhé : bonjour,

Je n'en sais rien; je ne sais pas définir la notion de demi-plan hors du cadre de l'Algèbre linéaire.

Dans l'usine à gaz des axiomes d'Hilbert, je ne vois même pas comment le wikipédien qui se prend pour David définit les angles s'il les définit; il les introduit dans les axiomes de congruences (III.4) mais je ne vois pas où il les a définis.

Cordialement,
Stéphane.

stfj

Ni même la notion de triangle d'ailleurs. J'ai l'impression que l'article wikipédia.fr consacré aux axiomes d'Hilbert est vraiment écrit par de (piètres) amateurs. Dans l'article wp.en (anglophone), il y a au moins des liens vers les articles triangles, angles .
____________________
P.S. : Après consultation des auteurs de l'article wikipédia objectivement de piètre qualité, je ne suis pas très surpris des manques béants qu'on y trouve. C'est le même wikipédien qui a supprimé nombre de mes contributions du type $$2+2=4$$sous prétexte qu'il les ignorait  et il demandait donc qu'elles fussent sourcées par des sources Universitaires mar plij ("mar plij" veut dire "s'il vous plaît" en breton bigouden).

stfj

Pour reprendre le début d'une démonstration donnée ailleurs au fait que la médiatrice $[AB]$ d'un segment du plan $\mathcal P$ partitionne le plan en trois régions aisément caractérisables pour des élèves de collège, soit $$f:\mathcal P\to \mathbb R$$$$M\mapsto MA^2-MB^2$$. Alors $\forall M\in \mathcal P$, $f(M)-f(A)=MA^2-MB^2-(-AB^2)=\vec{BA}.[\vec{MA}+\vec{MA}+\vec{AB}]=2\vec{MA}.\vec{BA}$. Donc $f$ est affine...

Chaurien

Je suis très heureux que @stfj ait réactivé ce fil très riche, et je me demande pourquoi je n'y ai pas participé dès janvier 2023. Pour moi, l'enseignement de la géométrie au premier cycle secondaire (« collège ») doit porter évidemment sur les notions euclidiennes familières de base, points, distance, droites, parallèles, perpendiculaires, angles, cercles, etc. Ce que certains appellent « géométrie synthétique » si j'ai bien suivi. Et je ne vois pas en quoi le gadget du papier quadrillé apporte quoi que ce soit à cette étude. Pour introduire ces notions, il faut une axiomatique raisonnable, et c'est possible. 

J'ai  suggéré, pour démarrer la réflexion à ce sujet, de regarder la suite des manuels de Lebossé-Hémery d'avant 1968, parce qu'on y voit une bonne progression, mais je n'ai pas d'actions dans la maison Fernand Nathan, et on peut citer d'autres collections, Lespinard-Pernet, Maillard-Millet, Roux-Mielloux, Cagnac-Thiberge, ou autres, et de plus anciennes comme Brachet-Dumarqué, Anna et Élie Cartan, etc. Si l'on ne rechigne pas devant l'étude, on peut regarder Rouché-Comberousse, Hadamard, Blanchet, Legendre, Clairaut, pourquoi pas ? Le tout, c'est que nous n'imaginions pas que le monde n'existait pas avant notre naissance.

J'ai noté dans ce fil  les messages signés [Utilisateur supprimé], par exemple : «  j'en suis venu à la conclusion que le contenu des Lebossé-Hémery sont (à deux trois ajustement près pour tenir compte des nouvelles technos) ce qui peut se faire de mieux au collège et que la Mathématique Moderne est ce qui peut se faire de mieux au lycée pour ceux qui se destinent à faire des sciences. Ainsi, selon moi, faire de l'algèbre linéaire oui, mais au lycée, après avoir vu "géométriquement" comment ça se passe au collège. » J'ignore pourquoi il a été « supprimé », mais il avait des vues très saines.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

JLT

D'une manière générale on ne supprime les utilisateurs qu'à leur demande.

stfj

Bonjour,

Je suis un fan de Brachet-Dumarqué et Anna et Élie Cartan. Je possède, conserve précieusement, et lis à l'occasion Précis de géométrie plane, classe de Seconde, Géométrie dans l'espace, Première, Précis de Géométrie, classe de Mathématiques et Arithmétique, 6è et 5è, Arithmétique et Géométrie, 1è année, Arithmétique 4è-3è

Quant au papier quadrillé, il correspond aux attendus des programmes actuels : "savoir se repérer". Par exemple, en 5è, se repérer dans $\mathbb Z\times \mathbb Z$. De là à l'étude des $\mathbb Z-$modules et plus tard à celle des espaces vectoriels réels tels que $\mathbb R^2$, il n'y a qu'un (petit) pas. Quelques mois d'expériences sur le papier quadrillé préparent l'élève à admettre sans hésitation que l'on fonde l'édifice algébrico-géométrique sur des propriétés dont il lui est facile de vérifier l'exactitude expérimentale. Dès lors, inutile de surcharger sa mémoire de soi-disant "axiomes" qu'il lui faudra s'empresser d'oublier. Le papier quadrillé de Descartes et de Pierre de Fermat n'est pas un "gadget".

Prenons maintenant par exemple la limitation des instruments de dessin à la règle et au compas. Certains commentateurs attribuent sans preuve convaincante cette mauvaise plaisanterie à Platon. C'est en réfléchissant à des problèmes de construction "à la règle et au compas" que d'illustres mathématiciens(comme Gauss) ont été mis sur la voie de très importantes découvertes. Mais ils savent fort bien trouver ces problèmes tout seuls. Et, l'Enseignement secondaire n'a pas pour mission de former des mathématiciennes.

Cordialement, 
Stéphane.
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PS : je soumets à nouveau l'exercice posé plus haut : prouver qu'un demi-plan est convexe. La réponse, je ne l'ai pas trouvée dans les Brachet-Dumarqué. Je ne suis même pas sûr qu'ils définissent la notion élémentaire de demi-plan.

Chaurien

Je rappelle l'étonnant ouvrage de Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann 1964. Partir des objets spécifiquement géométriques, points, droites, etc., satisfaisant à un certain nombre d'axiomes, Dieudonné comparait ceci à monter un échafaudage destiné à construire un édifice qui était l'Algèbre Linéaire, et il l'appelait  « méthode de l'échafaudage préalable ». $~~$ Pour lui l’important c'était l’algèbre linéaire, et il préconisait donc de se passer du dit $~~~~$ « échafaudage préalable » et de présenter directement l'algèbre linéaire.

Malin, l'éditeur Hermann publiait simultanément dans la même collection l'ouvrage de Gustave Choquet, L’enseignement de la géométrie, qui proposait une telle axiomatique « préalable ». Il est bon de prendre connaissance des deux livres, même soixante ans après.

Jean Dieudonné (1906-1992) était un mathématicien hors pair et un homme impressionnant, une force de la nature. Je conseille de lire : Pierre Dugac, Jean Dieudonné, mathématicien complet, Éditions Jacques Gabay, 1995. C'était un homme entier dans ses jugements, notamment ce choix symbolisé par son cri « À  bas Euclide !  À bas le triangle ! » rappelé dans des messages de ce fil.

Malgré tout son génie mathématique, je pense qu'il avait tort sur ce point. On ne voit pas comment enseigner les espaces vectoriels au premier cycle secondaire (« collège »), même restreint aux espaces vectoriels réels de dimensions 2 et 3, même sans inclure  toute l'algèbre des structures, groupes, anneaux, corps. Et même dans un vrai premier cycle secondaire restauré dont on peur rêver,  enfin débarrassé du désastreux « collège unique ». Les expériences  math-modernistes des années post-1968 se sont soldées par des échecs, et il en est résulté une terrible régression.

Pour moi il faut revenir à un enseignement de la géométrie partant des objets géométriques, avec axiomes et théorèmes, et en dégager progressivement la structure vectorielle. Ces axiomes comprennent ces  « propriétés dont il (...) est facile de vérifier l'exactitude expérimentale  » dont parle @stfj, et d'autres aussi. Axiomes et théorèmes, autant d'assertions vraies qu'il vaut mieux ne pas « oublier » si l'on veut faire des démonstrations, ce qui est quand même le but de l'enseignement mathématique, non ?

Alors, quelle axiomatique ? J'ai suggéré de regarder ce qui se faisait avant la folie math-moderniste, en procédant aux améliorations qui s'imposent, mais il y a d'autres possibilités, ce que proposait Choquet, ou d'autres dont nous pourrons reparler.

Je reviendrai tantôt sur la question de @stfj :  convexité d'un demi-plan, qui est une très bonne question, avec réponses dépendant justement de l'axiomatique choisie.

Bonne journée.

Fr. Ch.

Vassillia

Aucune axiomatique pour moi et je l'ai oublié d'autant plus facilement que je ne l'ai jamais apprise, je parierai bien que pas beaucoup d'enfants ne l'apprendront dans l'avenir. En tout cas, je n'en veux pas pour les miens même si on part sur de la sélection à outrance, je suis sûre qu'ils s'en sortiront mieux sans.
Les maths ne servent pas qu'à faire des démonstrations sinon vous deviendrez un prof de maths se plaignant du manque de reconnaissance de la société sur les forums et puis c'est tout, aucun patron ne vous payera pour cette compétence inutile. Ce qui ne veut pas dire qu'il ne faut pas en faire comme cela peut être formateur pour l'esprit ssi c'est bien amené, on peut faire des choses sympas en arithmétique avec peu de connaissances par exemple.
Team algèbre linéaire pour moi sans pour autant sabrer quelques bases de géométrie synthétique mais parlez-en si vous voulez entre personnes n'enseignant plus et n'ayant heureusement aucune influence, je ne vous dérangerai pas pour si peu.

Cyrano

Attention, certains "patrons" veulent des gens capables de faire des démonstrations.
Par exemple, les très bons "bio-informaticiens" (débouché très en vogue actuellement pour un matheux) font des démonstrations.

Vassillia

Il faut de la géométrie synthétique axiomatique pour faire des démonstrations en bio-informatique ? J'ai quelques doutes.
Mais oui, enseignons quelques prérequis pour ce genre de métier, je signe tout de suite.

stfj

stfj a dit :

Pour reprendre le début d'une démonstration donnée ailleurs au fait que la médiatrice $[AB]$ d'un segment du plan $\mathcal P$ partitionne le plan en trois régions aisément caractérisables pour des élèves de collège, soit $$f:\mathcal P\to \mathbb R$$$$M\mapsto MA^2-MB^2$$. Alors $\forall M\in \mathcal P$, $f(M)-f(A)=MA^2-MB^2-(-AB^2)=\vec{BA}.[\vec{MA}+\vec{MA}+\vec{AB}]=2\vec{MA}.\vec{BA}$. Donc $f$ est affine...

Reprenons : en algèbre linéaire, on démontre ainsi le partitionnement du plan en $\{f<0\},\{f=0\},\{f>0\}.$ Par ailleurs, la convexité d'un demi-plan en découle très simplement.$\blacksquare$
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Comment faire dans une autre axiomatique ?

gai requin

@Vassillia : J’enseigne et je pense qu’il faudrait faire de l’algèbre linéaire sur $\R$ le plus tôt possible en l’illustrant systématiquement dans le plan et dans l’espace (affines puis euclidiens). Pas de géométrie projective dans le secondaire. Mais pour cela, il faudrait réduire la trop grande part prise par les probas et l’algorithmique, ce qui n’est pas la tendance actuelle bien au contraire !