Enseigner la géométrie en 202... : quelle place pour l'algèbre linéaire ?

stfj

@dp : j'arrête.

Vassillia

Arf, je suis d'accord que l'insistance de @stfj n'est pas raisonnable et je comprends que cela finisse par lasser mais dire que la géométrie synthétique ne sert à rien n'est pas une insulte envers ceux qui la pratiquent.
On a parfaitement le droit de faire des choses qui ne servent à rien mais qu'on trouve jolies et encore heureux, je respecte cette attitude (ma thèse en maths pures ne sert à rien pourtant c'est 3 ans de boulot). En revanche, on a aussi le droit de privilégier des apprentissages utiles pour ses élèves, c'est une opinion qui se respecte tout autant.
Dire que les espaces affines seront utiles à certains élèves du supérieur est sûrement vrai mais cela ne donne aucune indication sur la pertinence ou non de les présenter au secondaire ni même sur le fait que ce soit un problème d’assimiler le plan à $\mathbb{R^2}$ sans trop dire ni pourquoi ni comment car c'est juste cela qui est proposé.
Le jour où ils auront besoin des subtilités des espaces affines (ou plutôt s'ils ont un jour besoin) et bien leurs profs leurs apprendront ce concept qui de toute façon n'est pas vraiment vu dans le secondaire à ce jour.

gerard0

Je ne sais pas ce qu'est la géométrie synthétique (Stfj)

Voilà pourquoi tant d'insistance sur son inutilité (Ce que je ne connais pas n'a pas d'intérêt).

Quel gâchis, ce fil

nicolas.patrois

stfj a dit :

Je ne sais pas ce qu'est la géométrie synthétique.

La géométrie (de secondaire) qui n’est pas analytique.

C’est celle d’Euclide, si tu préfères.

biguine_equation

La géométrie synthétique, c’est, en gros, celle qui peut se faire sans quadrillage.

Vassillia

Pour stfj peut-être, je ne me prononce pas pour lui mais pour moi, cela n'a rien à voir avec ce que je connais ou pas. Mon critère de choix est simple : quelle est la méthode de résolution de problèmes de géométrie la plus efficace ? J'apprends les connaissances nécessaires (même si je ne les connais pas d'origine) et c'est ce que j'enseigne où du moins les ammorces en fonction du niveau des élèves. Entre la géométrie synthétique et la géométrie analytique il n'y a pas photo sur l'efficacité, demandez à n'importe qui pratiquant réellement la géométrie. 

Foys

Ces  considérations sur ce qui sert ou non sont un peu vaines (malgré leur récurrence dans les débats autour des mathématiques: il n'y a pas d'autres disciplines où on inflige ça) dans la mesure où les mêmes choses ne servent pas aux mêmes personnes.

biguine_equation

Les débats en question me font toujours penser à cette citation de Baudelaire: « Être un homme utile m’a toujours paru quelque chose de bien hideux. »
Pardon d’étaler ma culture niveau bac de Français (mais en l’absence de LaTeX, c’est peut-être le moment ou jamais !)

nicolas.patrois

Vassillia a dit :

Entre la géométrie synthétique et la géométrie analytique il n'y a pas photo sur l'efficacité, demandez à n'importe qui pratiquant réellement la géométrie. 

Mon frère, soudeur, utilise majoritairement la géométrie synthétique.

Ce qui sert vraiment c’est manger, boire et dormir (se reproduire éventuellement), comme un sanglier dans la forêt. Gruik.

biguine_equation

Chaque corporation a ses besoins: j’imagine qu’un concepteur de jeux vidéos va plutôt recourir à la géométrie projective. Moi, je suis ma propre corporation et ces questions me dépassent.

Vassillia

De quoi se sert-il ? Je connais mal ce métier, si c'est Thalès, Pythagore et 2 ou 3 trucs qu'on apprend au collège, comme je suis pour les laisser, ce n'est pas trop grave. S'il y a des spécificités liées à son métier, j'imagine qu'elles ont été apprises dans sa formation au même titre que Héhéhé apprendra les espaces affines à ses étudiants qui se spécialisent en maths.
Après, je ne vais pas te mentir, travaillant dans le privé donc pour des milieux aisés, le public que je connais est formé de nettement plus de futurs cadres ingénieurs que de futurs ouvriers (ceci dit sans aucun manque de respect) donc cela biaise sans doute mes choix. Dans d'autres circonstances, il faut peut-etre faire d'autres choix, on fait aussi avec le public qu'on a évidemment.
Tu ne crois pas si bien dire biguine_equation, c'est bien pour cela que je me suis motivée à comprendre ce que pouvait bien fabriquer pldx1 avec ses calculs systématiques en géométrie projective (on ne me dira pas que c'est lié avec ce que je connais car je n'y connaissais rien), justement car l'utilisation me paraît évidente et pour pouvoir éventuellement l'introduire plus tard dans une moindre mesure. Mais je pensais aussi à l'imagerie médicale (déformation professionnelle oblige).

biguine_equation

Vassillia: par curiosité, je suis allé voir sur internet. Je me doutais un peu de ce que j’allais y trouver. Une formation poussée en techniques de soudage, c’est bac+5. Il y a du calcul d’assemblage, de la résistance des matériaux entre autres. C’est de l’ingénierie quoi ! Ça dépasse les « 2 ou 3 trucs appris au collège. »
Dans une autre vie, j’avais un collègue soudeur aéronautique. Si je lui avais dis que ses compétences se résumaient à « Thalès, Pythagore et 2, 3 trucs comme ça », j’aurais été reçu !
Enfin ton précédent message à des petits relents de mépris de classe. Faite excuses si je me trompe.

Vassillia

Tu te trompes sur le mépris de classe, je reconnais volontiers que beaucoup d'ouvriers sont plus utiles que les cadres (mais ce n'est pas la question).
J'avais regardé aussi et les premières formations pour soudeurs sont en fait des CAP même si je ne doute pas qu'il y ait des spécialisations beaucoup plus élevées.
Je pense que, dans tous les cas, les connaissances de géométrie synthétique nécessaires ne dépassent pas Thalès, Pythagore et 2 ou 3 autres trucs mais nicolas.patrois va peut-être me détromper puisque je lui ai posé la question.
Je suis persuadée que les ingénieurs dont tu parles ne se servent que du calcul et c'est d'ailleurs bien les compétences que tu cites, cela tombe bien car c'est cela que je veux développer. Il est évident que les compétences ne se limitent pas à la géométrie, je n'ai jamais pensé cela.

gerard0

Bonjour Vassilia.

Je ne connais pas les formations de soudeur, mais tu aurais sans doute du mal avec le CAP chaudronnerie, qui nécessite une intuition géométrique que n'apporte aucun calcul.

J'ai l'impression d'entendre ceux qui disent qu'il ne sert à rien d'apprendre à calculer, puisque les logiciels le font mieux que nous. Il ne sert à rien d'apprendre la géométrie euclidienne puisqu'on traite par l’algèbre linéaire. Quelle idée absurde !!
Cordialement.

Vassillia

Bonjour gerard0
Dire que les idées des autres sont absurdes n'est pas vraiment un argument. Je pense qu'on peut avoir une intuition géométrique par l'utilisation de logiciel de géométrie dynamique et donc se contenter du minimum de géométrie d'Euclide. Je pense aussi qu'etre un virtuose du calcul ne sert à rien en effet car les logiciels le font mieux que nous. Mais cela ne veut pas dire qu'il n'est pas utile de savoir faire les calculs ne serait-ce que pour l'algorithme derrière et surtout pour la concentration que cela développe. J'assume mes idées absurdes et tu peux être en désaccord avec moi sans que je trouve cela absurde 

Barjovrille

Bonjour @Vassillia , quand tu parles de privilégier des apprentissages "utiles" pour tes élèves. On peut poser la question utile selon quels critères? 
Dans les exercices, on peut résumer la géométrie analytique en  : on traduit l'énoncé en équation puis on fait les calculs. Et la géométrie synthétique on part de définitions abstraites (un cercle c'est un ensemble de points équidistants à un point, médiatrice c'est un ensemble de points équidistants à 2 points ...) en combinant les définitions on peut résoudre l'exercice (on peut aussi s'aider d'un dessin et la il y a alors une autre compétence qui rentre en jeu). Les compétences mise en jeu par les deux types d'exercices ne sont pas les mêmes. Ainsi didactiquement parlant si on fait l'impasse sur un des deux exercices l'élève loupe un gain de compétence. On peut dire que la géométrie analytique développe la modélisation d'un problème sous forme d'équations puis la résolution de ces dernières. La géométrie synthétique développe la capacité à raisonner et a faire des démonstrations en manipulant des définitions abstraites. Il s'avère que les deux compétences sont utiles. Pour faire les maths du supérieur on a crucialement besoin de la compétence faire des démonstration... puis pour les sciences en générale on ne peut pas faire l'impasse sur la modélisation.
Est ce qu'on peut acquérir la compétence "raisonner et faire des démonstrations en manipulant des définitions abstraites par un autre moyen ? Oui bien sûr mais la géométrie à l'avantage de faire manipuler des objets intuitifs. Tout le monde sait à quoi un cercle ressemble. Tout le monde a une idée intuitive de distance... Or démontrer qu'une intersection de tribu est une tribu ça a priori il n'y a pas d'intuition.
Donc si on demande l'utilité il faut préciser selon quels critères. Si on veut l'utilité selon le critère "besoins en entreprise" on peut remplacer les cours de philo, histoire, maths du lycée par excel powerpoint word mail.
Même histoire pour ta thèse de maths pure tu dis que ça ne sert à rien dans le sens où il n'y a pas d'application pour la vie quotidienne (encore que : on ne sait jamais, la mécanique quantique à la base c'était de la physique théorique perché jusqu'à ce que ça se retrouve dans tous les objets électroniques de maintenant). Mais toi ça ta permis de savoir que tu peux mener un projet de longue durée quasiment toute seule jusqu'à la fin. Ca t'as permis d'apprendre à chercher des informations aux bons endroits, et avoir un avis critique sur ce que tu lis....
Voici les raisons pour lesquelles je trouve que la géométrie synthétique est "utile".(Sans mentionner l'aspect satisfaction/divertissement que ça apporte aux pratiquants).

Vassillia

Intéressant ton point de vue, en fait je suis plutôt d'accord sur ton argument sur les 2 compétences différentes que sont manipuler des définitions et modéliser. Mais quand même quitte à travailler la première compétence, autant que ce soit avec quelque chose qui leur reservira s'ils font des études supérieures en maths (ce qui déjà ne représente pas une majorité des collégiens et lycéens) et ce n'est pas vraiment le cas de la géométrie synthétique. Si on doit vraiment le faire et je suis pour le faire, il faut trouver mieux de mon point de vue.
Pour moi utile, c'est un mélange de réutilisation dans la vie future (études, pro, perso) et de développement intellectuel. Le curseur peut bouger un peu entre les 2 mais j'ai vraiment du mal à me convaincre de ne faire qu'un des critères. Je culpabilise en me disant que je leur fais perdre leur temps alors qu'ils sont là pour que je les prépare à réussir mais c'est personnel, chacun ses convictions encore une fois.

pldx1

Bonjour, 

"Je ne connais pas les formations de soudeur, mais j'en cause d'autant mieux".

Si vous voulez vraiment apprendre à souder, commencez donc par vous persuader que les pieds, les mains, les oreilles, etc. sont fragiles tandis que les yeux sont particulièrement fragiles.  Non seulement ils ne repoussent pas, mais on ne sait pas vraiment les recoudre et encore moins les débrûler.

Ensuite de quoi, souder cela consiste à créer une solution solide métallique. Il faut donc, là où il faut, atteindre une temperature suffisante et en même temps, il ne faut pas, là où il ne faudrait pas, atteindre une température désastreuse. Et en plus, il faut maintenir une ambiance réductrice là où une ambiance oxydante serait nocive.

Et maintenant, un petit exercice. On a deux tubes de même diamètre dont les âmes sont à 90°. On pourrait les raccorder selon un plan bissecteur. On pourrait aussi les raccorder par un tube à 45°, selon des plans à 135°. Comparer les différents cordons de soudure.

Que les diverses écoles présentent leurs solutions ! 

Evidemment, décrire comment chaudronner une pièce de forme ne serait pas mal non plus.

Cordialement, Pierre.

Dom

Sans quadrillage ? Tu n’y penses pas !!! Mais les élèves vont les dessiner sans problèmes les petits cubes. Et seulement après, on verra ce que l’on peut faire. Pourvu que la soudure arrive sur les noeuds du réseau… croisons les doigts. 

gerard0

Vassilia : "Dire que les idées des autres sont absurdes n'est pas vraiment un argument."

Donc tu confirmes bien que c'est ton idée et celle de Stfj ?

Dans ce cas, je ne retire surtout pas le mot "absurde". Et mon opinion vaut la tienne, même plus puisque j'ai appris les deux géométries et surtout à jouer entre les deux suivant les problèmes.

Vassillia

Je ne me permets pas de confirmer les idées de stfj mais je confirme celles que j'ai exprimées dans ce fil que tu les trouves absurdes ou non. Mais ne vous en faites pas, le temps que j'aurais gagné sur la géométrie synthétique (enfin façon de parler car de toute façon il n'y en a plus vraiment au sens évoqué par Barjovrille pour le secondaire), je l'utiliserai pour leur apprendre autre chose qui me paraît être plus pertinent pour leur futur (du moins pour mon public). Bref, j'abandonne, cela vire au combat de coq avec "mon opinion vaut plus". Faites comme vous voulez, je ferai de même, je ne cherche pas à imposer mon opinion.

Rescassol

Bonjour,

Vous n'avez pas parlé de la géométrie analytique complexe et de ce brave Morley.

Cordialement,
Rescassol

Vassillia

Bien d'accord Rescassol, dans le même genre, on a la méthode de Wu qui permet des démonstrations automatiques en géométrie par une approche analytique https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/AAA/AAA99024/AAA99024.pdf
En fait, il y a plein de choses intéressantes à voir en jouant sur la manière de paramétrer puis de conduire les calculs (quitte à se servir d'un logiciel de calcul formel).
La question étant quand et comment l'introduire et là dessus, je ne suis pas encore au clair mais il y a vraiment des perspectives intéressantes pour préparer les supports pédagogiques pour ceux qui souhaitent et peuvent prendre cette direction.

pldx1

Bonjour

Barjovrille a dit : (résumé)

La géométrie analytique : on traduit l'énoncé en équation puis on fait les calculs.
La géométrie analytique développe la modélisation d'un problème sous forme d'équations puis la résolution de ces dernières.

La géométrie synthétique on part de définitions abstraites et on les combine
La géométrie synthétique développe la capacité à raisonner et à faire des démonstrations en manipulant des définitions abstraites.

Désolé, mais c'est du pur pipeau. Dans la vraie vie, "on traduit l’énoncé  en équations"... et on constate que le système obtenu refuse de se résoudre. Tandis que "on part de définitions abstraites"... et on constate que l'on ne voit pas comment les combiner. 

Quand on veut faire de la géométrie et pas seulement en causer, on fait une figure. Puis on en fait une autre. Puis on se demande quelle figure un adversaire pourrait bien tracer. Évidemment, on peut aussi utiliser un logiciel de géométrie dynamique et agiter le tout: un polynôme qui s'annule "trop souvent" est identiquement nul. Et pendant ce temps, votre œil exercé cherche à repérer quel est le meilleur poste d'observation, c'est à dire celui qui permettra d'obtenir un modèle que l'on pourra résoudre à moindre frais.

Quant à la géométrie de synthèse, quelle blague!  Euclide faisait de la géométrie, point barre. Il n'y en avait pas d'autre  à l'époque. Et puis, au fil des siècles,  les idées exposées dans le bouquin d'Artin ont fini par émerger les unes après les autres. Et l'on est arrivé à la géométrie projective sur un corps de nombres. C'est la géométrie naturelle. 

Le principal concept novateur a été celui d'orientation. Quand on écrit: $a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$, on a besoin de remarquer l'existence des triangles obtus, ce qui conduit à utiliser des cosinus éventuellement négatifs et donc à cesser de définir le cosinus par adjacent sur hypoténuse. Quand on regarde les prétendues démonstrations produites par les tenants de la géométrie de synthèse, on doit dépenser une énergie considérable pour contrôler les choix addition/soustraction... et on constate le plus souvent qu'ils ont été faits "en regardant sur la figure". Ce n'est pas un hasard. La méthode algébrique est de loin la plus efficace  pour gérer ce type de problème. 

En résumé, la prétendue géométrie de synthèse, loin d'être une école du raisonnement, est trop souvent une école pour les "preuves par intimidation".
Cordialement, Pierre

Barjovrille

Bonjour, @pldx1
Tu as dit "Dans la vraie vie, "on traduit l'enoncé  en équations"... et on constate que le système obtenu refuse de se résoudre" et moi j'ai commencé ma phrase par
"Dans les exercices" .
 Tu as dit ""on part de définitions abstraites"... et on constate que l'on ne voit pas comment les combiner". Tu pourrais écrire cette phrase pour toutes les maths où on construit des objets à partir d'axiomes et on les fait interagir entre eux pour construire d'autre objets ou découvrir des propriétés. Et moi je te réponds si l'exercice est bien posé il y a un moyen de combiner les définitions (je n'ai jamais dit que c'était facile).

"Quand on veut faire de la géométrie et pas seulement en causer, on fait une figure." Oui et pour trouver des mesures d'angles ou des points équidistants ou.. sur la figure que tu as dessinée. Tu utilises bien les définitions ou les propriétés des objets géométriques que tu as dessinés non ?
Je ne prône pas la géométrie synthétique comme la matière à imposer dans les écoles. Je répondais à l'affirmation " la géométrie synthétique ne sert à rien". Et ma réponse était : on peut en tirer des bénéfices intellectuels.

J'ai fait la distinction entre géométrie analytique et synthétique parce que les deux étaient mises en opposition dans ce fil.

nicolas.patrois

pldx1 a dit :

Quant à la géométrie de synthèse, quelle blague!  Euclide faisait de la géométrie, point barre. Il n'y en avait pas d'autre  à l'époque.

À son époque, oui, mais j’utilisais le vocabulaire d’aujourd’hui pour distinguer la géométrie analytique de Descartes et la géométrie synthétique d’Euclide qu’on apprend avant à l’école.

Dom

Il faut bien donner des noms !

stfj

Quelqu'un sait-il où et dans quel contexte Hermann Weyl a écrit :"l'introduction des nombres comme coordonnées est un acte de violence" qu'on trouve au début de cette vidéo? Et ce qu'il entendait par là ?

biguine_equation

 
stfj: je ne suis pas sûr mais je crois qu’il l’a écrit dans « Time relations in the cosmos (…) de 1927.

stfj

merci

biguine_equation

Je pense qu’il voulait dire par là qu’un système de coordonnées est un mal nécessaire car c’est la seule manière objective de capter le message des lois naturelles au milieu de la confusion des événements. 

Si c’est vraiment ce qu’il voulait dire: je suis d’accord !😀

biguine_equation

Je poste cet ouvrage « Space-time-matter » par Hermann Weyl. Le chapitre I est un cours d’algèbre linéaire de première année… mais donné par Hermann Weyl. Sa conception scientifique et parfois philosophique des vecteurs et des points et leurs rôles dans la représentation du monde devraient intéresser stfj.

stfj

Un cours de 1ère année avec des tenseurs au §5. Chouette, je vais pouvoir me remettre à niveau [évidemment que cela m'intéresse, merci.] Ce genre de bouquin, cela me fait penser à Espaces topologiques de Claude Berge, où l'auteur, introduisant les espaces vectoriels réels, donne l'exemple de l'espace hilbertien réel $l^2(\mathbb R)$ en page 2.

Barjovrille

Pour la citation de Hermann Weyl : https://math.stackexchange.com/questions/1493341/what-exactly-did-hermann-weyl-mean 

stfj

@Barjovrille : la réponse proposée ne m'a pas paru très intéressante.

Soit par ailleurs $u,v \in \mathbb R^3$ euclidien. On définit simplement le produit vectoriel $u\times v$ de $u$ et de $v$ par $$u\times v:=(yz'-zy',\ldots,\ldots)$$On vérifie alors simplement les différentes propriétés du produit vectoriel, en particulier $\|u\times v\|=\|u\|.\|v\|.|\sin(u,v)|$

C'est en tout cas ce que fait Serge Lang dès la page 32 de Linear algebra I, livre destiné aux débutants en algèbre linéaire. Il n'a alors toujours pas défini la notion d'espace vectoriel.

C'est la même démarche dans Analyse de Earl W. Swokowski, p.710; ou encore Mutivariable calculus de Gerald Bradley et Karl J. Smith, p.657. Quand j'avais découvert cette approche simple, pragmatique qui semble être utilisée en Amérique du nord, j'avoue avoir été séduit. Je dois reconnaître néanmoins ne pas trop savoir comment ils procèdent à partir de 9/10 ans pour la géométrie.

Barjovrille

Bonjour, il ne se place pas dans ce contexte la.
Il parle de variété différentielle, et de diviser la droite réelle en 2 partie puis de diviser les 2 sous-parties en 2 sous-sous-parties puis de recommencer (indéfiniment ? ) comme une dichotomie. Il introduit la notion de squelette topologique d'une variété. Je n'ai pas les notions nécessaires pour comprendre ce qu'il dit.

Je te mets le lien (qui apparaît dans la discussion math stack) où il y a les phrases avant la citation et après si ça t'intéresse. 
lien : https://books.google.fr/books?id=565kXGJPkiYC&pg=PA90&lpg=PA90&dq=The+introduction+of+numbers+as+coordinates+is+an+act+of+violence.&source=bl&ots=WktIJr2n2J&sig=cUaI9FhqasH55InkvnXDvHmNPPU&hl=en&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=The introduction of numbers as coordinates is an act of violence.&f=false

stfj

J'ai trouvé cet article, qui me semble intéressant.

Malgame

Je suis retraité, mais je participe à la formation et à l'animation de clubs de maths. En France, pas loin de chez moi, dans un lycée de Digne-les-bains, et aussi très loin de chez moi, à Douala (Cameroun) et à Kinshasa (RDC) sous le patronage de l'association "Animath".

L'avantage des "clubs" de maths c'est qu'on y fait... ce qu'on veut, avec l'accord des participants (élèves et parfois profs). Pour ce qui me concerne, je pense qu'il faut absolument renoncer à se soucier des bases "axiomatiques". L'important, en effet, c'est de faire des démonstrations, en disant ce qu'on admet. Il y a un bouquin assez étonnant --je pense que c'était une IREM belge-- appelé "Archipel des isométries". C'est fou tout ce qu'on peut démontrer SANS vecteurs ! Mais on peut aussi partir du bouquin de Dieudonné "algèbre linéaire et géométrie" qui, dès la classe de seconde, base tout sur les vecteurs. C'est le contraire. J'ai fait cours à partir de ce bouquin durant quelques années, à la profonde sidération de mon inspecteur...

Mais aujourd'hui, j'aime mieux la géométrie ... géométrique. J'ai fait des bouquins chez Cassini ("l'appel des maths, 1 et 2, le troisième, sur l'Inversion, est paru). On peut admettre les cas d'égalité des triangles et des triangles semblables... ensuite il y a cent bijoux à envisager. Troisième point de vue : les transformations. Whatever works...

stfj

J'ai cité à plusieurs reprises les livres de François Liret et Dominique Martinais pour le DEUG. J'espère être resté pertinent en les citant, tant j'admire leur travail. Leur livre Algèbre et géométrie 2è année se conclut ainsi :

"étudiées depuis l'antiquité grecque, les propriétés géométriques du plan et de l'espace ont trouvé une formulation naturelle dans le cadre de l'algèbre linéaire ou bilinéaire [...] En retour, l'intuition géométrique a marqué profondément certains domaines de l'algèbre, jusque dans leurs développements les plus modernes. Mais cette véritable algébrisation de la géométrie n'a diminué en rien l'intérêt des raisonnements et des constructions purement géométriques : le caractère synthétique de ceux-ci leur assure en effet élégance et efficacité."

stfj

Sans vouloir relancer des débats qui ont pu apparaître vains à certains, j'aimerais focaliser l'attention sur l'utilisation d'espaces affines de dimension deux ou trois au lycée. Je dois bien avouer que j'ai un vieux contentieux avec cette notion, qui m'a toujours paru malcommode. Quand j'étais lycéen, élève de Terminale, j'obtenais haut la main les meilleurs résultats en mathématiques. Et cependant, je n'ai jamais été à l'aise avec les fameux vecteurs fléchés. Leur utilisation en sciences physiques ne me les rendaient guère plus familiers puisque je n'ai jamais été intéressé par les sciences physiques. Quand un peu plus tard, j'ai lu Jean Dieudonné qui écrit quelque part qu'il ne s'agit par rapport aux espaces vectoriels que de "traductions faciles [ndlr: ou immédiates, je ne retrouve plus l'extrait]", j'avoue avoir pris la tangente, encouragé en cela par Jean Frenkel qui, tout en leur consacrant un livre entier, se range à l'avis de Georges Glaeser, pour qui "cette notion n'existe pas vraiment mathématiquement". Par ailleurs, Frenkel parle de "ce monstre qu'on appelle espace affine"(pour le lecteur et le mathématicien professionnel). Plus tard, j'ai lu Jacques Dixmier qui écrit dans son cours du premier cycle que "cette notion est peu utile pour la suite." J'ai vu comment Serge Lang limitait leur emploi à l'emploi rapide de $\vec{AB}$ immédiatement remplacé par $B-A$. Idem plus récemment dans les cours de DEUG de François Liret et Dominique Martinais.

Alors certes, il faut nuancer et Frenkel s'explique fort bien sur la pertinence selon lui de les enseigner au lycée. Choix qui a été fait en France.

Mais tout de même, je me permets d'énoncer un doute sur cette pertinence a priori peu remise en cause par mes collègues de lycée. D'une part, même un élève brillant de lycée pourra la trouver malcommode; tout comme un enseignant de collège aguerri décidé à reprendre cette notion à bras le corps. Du coup, je me dis que cet usage dont on pourrait se passer pourrait bien constituer un frein insurmontable pour bien des élèves vers ce qu'il prétend favoriser, ie un accès simplifié à la géométrie et à l'algèbre linéaire. Or, "la démocratie de demain n'a certes pas besoin que tous soient mathématiciens; mais elle ne peut souffrir que les mathématiques apparaissent à quiconque comme un domaine interdit."

______________________________________

Remarques :

1. Je sais que certains ont déjà répondu à certaines de mes objections concernant les espaces affines. Mais il me faut beaucoup de temps pour assimiler des points de vue différents du mien et j'avoue ne toujours pas être convaincu par les arguments avancés.

2. Quant aux arguments concernant par exemple l'utilisation des cas d'égalité de triangles au collège, là, je suis pleinement dorénavant convaincu de la pertinence de cette utilisation.

3. Quant à la géométrie synthétique au collège, c'est la géométrie qui m'a fait aimer les mathématiques et en faire mon métier; je me suis donc peut-être mal fait comprendre mais évidemment que je la trouve pertinente au collège.

4. Bref, à part l'utilisation des espaces affines au lycée, comme je l'ai écrit, les programmes de mathématiques français m'ont toujours paru fort bien construits et, grâce au principe de la liberté pédagogique laissant pas mal de latitude aux enseignants, des bases très solides sur lesquelles bâtir mes cours.

Foys

En fait il y a une distinction à faire entre "Les espaces affines n'existent pas (ne sont pas une notion mathématique etc)" (c'est faux) et "les espaces affines ne sont quasiment jamais utilisés en mathématiques" (ça c'est vrai par contre).

De plus l'emploi pratique de la géométrie en coordonnées force au préalable à fixer un repère et une origine du plan ou de l'espace et ce choix est arbitraire et ne découle pas forcément des propriétés naturelles des objets auxquels on applique les théories.

Dom

Je ne sais toujours pas ce que signifie concrètement « utiliser les espaces affines ». Ni dans quel cas ce serait « mieux » que ce qui est fait au lycée. 

J’entends surtout qu’il s’agit de dire « moi ça m’a ouvert les yeux alors tout le monde doit passer par là ». 

stfj

@Foys : je suis pleinement d'accord avec ce que tu écris. Par exemple, Analyse II de Laurent Schwarz s'ouvre par la définition d'un espace affine. Donc pour les polytechniciens auxquels le contenu de ce livre était originalement destiné, pourquoi pas ? Mais rien n'interdit au lycée de se limiter pendant les cours de mathématiques à des situations où le choix d'une origine s'imposerait. De toute façon, comme certains l'ont écrit dans ce fil, on ne fait malheureusement quasiment plus de géométrie au lycée.

Je trouve donc que c'est un prix fort cher à payer pour le soucis de rigueur qui, d'après ce que je comprends de ce que tu écris, impose qu'on impose l'usage des espaces affines à n'importe quel élève rentrant en seconde.

Même Serge Lang ne l'envisageait pas pour les débutants en mathématique auxquels il pensait en écrivant Calculus ou Linear algebra I traduit chez interéditions. Et pour Calculus, c'était, écrit-il, ce qu'il avait appris d'Artin.

Bref, il fallait bien sûr réagir aux excès ridicules de la réforme des maths modernes. Mais qu'a-t-on véritablement jeté ? L'eau du bain ou le bébé ?

Héhéhé

En mécanique newtonienne ou en relativité restreinte, l'espace-temps est un espace affine, pas un espace vectoriel. Il n'y a aucune raison de privilégier un point comme origine plutôt qu'un autre. 

Je répète ce que j'ai déjà dit, ce n'est pas parce que les points et les vecteurs peuvent tous les deux se représenter avec $\mathbb R^n$ que ce sont les mêmes objets. En physique classique une position et une vitesse ce n'est pas la même chose (ça n'a même pas les mêmes unités).

Certes d'un point de vue purement formel le passage espace vectoriel / espace affine est quasi-trivial ce qui fait qu'on n'utilise quasiment jamais les espaces affines en mathématiques (mais d'un point de vue conceptuel, il est indispensable de faire la différence).

Je vous conseille ce cours de relativité restreinte

où c'est bien expliqué que le concept fondamental est la distance entre deux points, pas la position d'un point (qui nécessite l'introduction d'un repère tout-à-fait arbitraire). 

En géométrie différentielle, on distingue bien les points d'une variété avec les vecteurs des espaces tangents. Dans la tête des étudiants qui mélangent depuis toujours vecteurs et points parce que c'est des trucs dans $\mathbb R^n$ donc c'est pareil se retrouvent en difficulté.

[Utilisateur supprimé]

Héhéhé a dit :

En mécanique newtonienne ou en relativité restreinte, l'espace-temps est un espace affine, pas un espace vectoriel. Il n'y a aucune raison de privilégier un point comme origine plutôt qu'un autre.

Ce n'est d'ailleurs sans doute pas un hasard si c'est la théorie des espaces affines qui fut choisie pour être enseignée dès le secondaire durant la période de La Mathématique Moderne ; surtout quand on sait qu'André Lichnerowicz, président de la commission portant son nom, faisait de la physique mathématique et ayant produit, entre autres, des travaux en mécanique relativiste (restreinte et générale), sur la gravitation et l’électromagnétisme, etc.

stfj

Je n'avais jamais entendu parler d'Etienne Parizot. Mais je ne parviens plus à me décrocher de son brillant exposé. Je note à partir de 25:00

"Personne n'a la moindre idée de ce qu'est l'espace[...] La physique n'est pas parvenue à comprendre réellement l'espace." Si je voulais entretenir les polémiques, je dirais : les enseignants de mathématique de lycée y sont parvenus; mais loin de moi l'idée d'entretenir la polémique .

stfj

Entre 30:00 et 40:00, Parizot explique que la notion première est la distance entre deux "choses"; et que de cette notion première a découlé peu à peu notre conception de l'espace comme un ensemble de points (il évoque Descartes en parlant de notre vision post cartésienne.) Mais justement son exposé commence par dire que c'est la vision commune des choses; c'est un bien commun dorénavant. Dit trop rapidement, une fois choisie une origine, l'espace est décrit par $\mathbb R^3$. Et que si l'on ajoute la dimension temporelle, à chaque instant $t$ va correspondre une réalité décrite dans $\mathbb R^3$.

Le but de son exposé est de déconstruire cette vision commune du monde, de modéliser le monde autrement. Mais du point de vue du mathématicien, les objets mathématiques demeurent, indépendamment des réalités qu'ils décrivent pour le physicien.

Le fait qu'un physicien change la conception du monde n'a strictement aucune influence sur la validité des objets mathématiques pour décrire tel ou tel modèle.

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De façon plus terre à terre, hors l'exposé brillant de Parizot, qu'un objet mathématique tel que $(1,1,1)$ décrive pour le physicien un point dans une situation physique donnée; et que $(1,2,3)$ décrive un vecteur force par exemple n'a strictement aucune influence sur le fait que ce sont d'un point de vue strictement mathématique deux éléments d'un même ensemble, en l'occurrence l'ensemble sous-jacent à l'espace vectoriel réel $\mathbb R^3$.

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Bref même si l'exposé de Parizot entre 30:00 et 40:00 est captivant, je ne vois pas le rapport avec la pertinence oui ou non d'utiliser des espaces affines $(\mathcal E,E,v)$ au lycée en cours de mathématique en dehors des espaces affines $(E,E,v)$, où $E $ est un espace vectoriel réel.

JLapin

Tu convoques vraiment beaucoup trop de mathématiciens avec leur prénom pour juste quelques heures de cours où les élèves tracent des vecteurs entre deux points et apprennent la relation de Chasles.

Mathurin

On en revient à ce que je disais : le physicien, l'ingénieur ont un besoin ontologique de distinguer le point du vecteur. Une origine, cela se choisit et se change.

Maintenant il est vrai que la théorie des espaces affines est absconse et, peut-être, on n'est pas obligé de l'expliquer en détail (ce que l'on faisait à mon époque, mais pas aujourd'hui, il me semble).

Le mathématicien doit au lycée s'incliner devant les besoins des physiciens et des ingénieurs. (Au lycée général)

Ensuite, il faut prendre en compte les besoins propres des sections techniques des lycées technologiques.

Je reste cependant partisan, au lycée général d'une introduction des résultats principaux des ev (sev, famille libre et génératrice) dans des classes adaptées et en plus, et non à la place d'une présentation classique de la géométrie.
Il n'y a en résumé pas de situation idéale sans une augmentation de horaire de maths au lycée et sans une segmentation des cours selon le niveau des élèves.

stfj

@JLapin : s'ils font cela, ils ne font aucune mathématique. Ce n'est pas moi qui le dis, c'est un physicien, personne ne sait ce qu'est l'espace ; donc personne ne sait ce qu'est un plan; donc personne ne sait ce qu'est un point ; et encore moins une classe d'équipollence de bipoints. Donc des élèves de lycée peuvent tracer des traits sur des cahiers pendant des heures, des mois, des années. Ils n'auront fait aucune mathématique tant qu'on ne leur aura pas dit qu'ils travaillent juste avec un espace vectoriel de dimension deux ou si tu préfères un espace affine. Ils n'apprennent rien, ils ânonnent, c'est du psittacisme. Pourtant, c'est effectivement ce qui se passe dans l'indifférence la plus totale et vu le nombre d'enseignants qui se plient à ce jeu et qui le valident, il me faut bien convoquer quelques noms connus pour montrer que eux, ils proposaient de faire autrement, de façon plus rationnelle selon moi.

Quand j'étais à la communale on faisait des problèmes de train et de robinets. Quand je suis arrivé au collège au début des années 80, j'étais plié de rire tellement c'était ridiculement facile. Avec le recul, je trouve cela bien moins drôle.

Mais bref, j'arrête. Je ne contribuerai plus à ce fil que j'ai ouvert.