Enseigner la géométrie en 202... : quelle place pour l'algèbre linéaire ?
Réponses
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@JLapin: j'ai expliqué plus haut (message du 20 février) ce qui me semble problèmatique. Comment un élève de seconde démontre en 2023 que le graphe de $x\mapsto (x+5)^2$ se déduit de la parabole $y=x^2$ par une translation de vecteur $(-5,0)$? Oublions les cancres de 2nde qui en seront bien incapables, oublions même les élèves besogneux qui ont bien appris leur cours au collège et qui relient donc la translation au parallélogramme. Prenons l'élève le plus brillant qui soit, un Villani, un Duminil-Copin, un Lafforgue, un Wendelin Werner... Je ne remonte pas plus loin, je pense savoir comment Jean-Christophe Yoccoz aurait traité quand il était en seconde cette facile question. Pour les autres, je m'interroge. Quant à Artur Avila, comme il a fait sa scolarité au Brésil et que Dieudonné était passé par le Brésil je crois, je ne me fais pas trop d'inquiétudes. Remarque équivalente pour Ngô Bao Châu, dont au passage je viens de découvrir l'existence
. Concernant Lafforgue, vue la virulence de ses critiques à l'égard de l'enseignement secondaire, je ne pense pas qu'il considère que nous vivions en terme de géométrie analytique dans le meilleur des mondes possibles. À mon modeste niveau, ce n'est pas non plus mon point de vue. Mais si tu arrives à me résoudre de façon fluide et pas trop longue ce trivial exercice en te plaçant du point de vue d'un brillant élève de seconde, j'arrête immédiatement de contribuer à ce fil. -
Que des noms bien éloignés de la réalité de l’élève français moyen… je pensais pourtant naïvement que depuis les années 90 l’enseignement était adapté au niveau de la populace et non plus à celui des élites qui iront de toute manière dans des lycées qui leur sont quasi dédiés…
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@dp : le problème n'est pas là. Si une seule de ces personnes risque d'être gênée pour résoudre l'exercice élémentaire proposé, alors que craindre pour l' "élève français moyen" ? Le pire. Un tel enseignement ne serait donc pas "adapté au niveau de la populace". Les "élites", peu me chaut.
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Ce n’est pas ce que je cherche à te dire. Non, je trouve moi aussi regrettable cette baisse de niveau et ça se ressent dans toutes mes interventions y étant rapportées. Ce que j’essaie de te dire c’est plutôt que, parmi les arguments que tu avances depuis le début de cette conversation, il y a cet argument d’appel à l’autorité qui revient sans cesse et me dérange. Combien de fois as-tu sorti les noms de Lang, Dieudonné, Villani (qui n'ont rien demandé en plus, les pauvres) et autres pour tenter de justifier tes idées ; en oubliant que le péquin moyen n’est et ne sera jamais aucun d’eux ? Très sérieusement, n’oublie pas que sur les 300 000 élèves qui passent chaque année leur bac, moins d’un petit millier feront des mathématiques tout au long de leurs carrières. Les autres, soit ils arrêteront enfin cet enseignement du diable, soit ils se contenteront de faire des mathématiques appliquées plus ou moins avancées (généralement moins… même chez les ingénieurs).
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@dp : sans fausse modestie, je crois que je suis loin d'être un manche en maths. Je suis en train d'essayer de démontrer que le graphe de $(x+5)^2$ se déduit de celui de $x^2$ en essayant de me placer dans la tête d'un de mes meilleurs élèves de 3è arrivé en 2nde[ par exemple, une élève hyper brillante que j'avais il y a deux ans et qui surpassait l'année dernière en 2nde de 5 points la moyenne de sa classe au lycée Henri IV ; j'en ai à peu près un ou deux tous les ans comme ça dans mon collège en réseau d'éducation prioritaire.] Et je n'y arrive pas. C'est la raison pour laquelle j'ai demandé à @JLapin de me la faire. Quitte à me montrer que j'ai à peine le niveau de 2nde (qui sait ?), je t'invite donc à me faire la démonstration.
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Du coup, cela m'inquiète. Et pas seulement pour l'élève (je vais l'appeler R)que je viens d'évoquer. Mais pour tous mes élèves. Évidemment, il y en a qui sont tellement désagréables qu'on finit par être cynique. Mais il y en a plein de sympas. Pas forcément très doués, mais travailleurs, méritants. Si R n'y arrive pas de façon fluide, les autres vont au massacre. Et ça, certainement pas. Quitte à envoyer balader le programme et tous les inspecteurs. Alors, si tu me prouves que j'ai tort en me faisant la démonstration, tant mieux. Cela me rassurera. À moins, @dp, que tu n'aies pas le niveau de 2nde non plus
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Soit $(a,b)$ un point de la parabole d'équation $y=x^2$ et $(c,d)$ son image par la translation de vecteur $(-5,0)$.
Alors $c=a-5$ et $d=b$.
De la relation $b=a^2$, on déduit la relation $d=(c+5)^2$, ce qui montre que $(c,d)$ appartient à la parabole d'équation $y=(x+5)^2$.
Réciproquement, soit $(c,d)$ un point de la parabole d'équation $y=(x+5)^2$ et $(a,b)=(c+5,d)$.
Alors $(a,b)$ appartient à la parabole d'équation $y=x^2$ et son image par la translation qui va bien est le point $(c,d)$, ce qui achève la démonstration.Coquille corrigée -
1) Il y a une coquille dans ta démo, @JLapin. Avec @dp, on va être trois à ne pas avoir le niveau 2nde
2) Comme tu l'as écrit plus haut, l'élève de 2nde, aussi brillant soit-il, va privilégier la notation $\vec{AB}$ pour les translations car c'est la notation vue au collège et comme tu l'as écrit, reprise au lycée, en 2nde. Or, dans la démonstration que tu proposes, cette notation n'apparaît nulle part. Il me paraît donc fort peu vraisemblable que cette démonstration puisse provenir d'un élève de seconde aussi brillant soit-il (ou soit-elle). A moins, et c'est là tout mon propos, d'être allé chercher des informations ailleurs que dans l'institution scolaire. Or, le rôle de l'instruction publique est de fournir toutes les informations nécessaires. Pas des informations partielles que les futurs membres -essentiellement masculins et d'origine aisée au moins culturellement(voir rapport du cairn cité plus haut pour plus de détails)- des pensionnats de bonne famille vont accueillir [ULM y compris, 17% de filles seulement], peuvent aisément compléter. Par exemple, Cédric n'aura pas manqué de tuyauter Jean lorsqu'il était invité chez Bernard. «Les enfants Arnault sont plusieurs à avoir fait des classes prépas scientifiques donc on a pu parler de formules et de problèmes au cours des repas». [Je trouve toute polémique à ce sujet malsaine, entendons-nous bien; c'est juste à titre d'illustration.] A titre personnel, issu de milieu modeste, ayant participé un temps non négligeable de mon existence à ce système, je regarde rétrospectivement la situation où j'ai servi d'aiguillon pour ces enfants de bonnes familles malouines, rennaises, nantaises, quimpéroises, angevines pour ma part de travail de percheron... avec un tout petit peu d'amertume. -
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@biguine_equation : bonjour. Tu as partiellement raison. Comme Jean Frenkel l'écrivait en 1973 dans sa préface à Géométrie pour l'élève professeur, sans la géométrie, l'algèbre n'est rien. Mais le directeur de l'IREM de Strasbourg ajoutait : sans algèbre, la géométrie n'est rien.
Pour reprendre ses mots exacts, "sans géométrie, l'algèbre est aveugle; sans celle-ci, celle-là est paralytique." -
Il n'y a vraiment rien de hors-programme dans ma réponse mais si tu veux, je peux faire apparaitre des vecteurs avec des flèches.Notons $A=(a,b)$ et $\vec u = (-5,0)$.Notons $B=(c,d)$ le point image de $A$ par la translation de vecteur $\vec u$.Alors on a $\overrightarrow{AB} = \vec u$ et donc $c-a=-5$ et $d-b = 0$ puis $c=a-5$ et $d=b$.Mais honnêtement, ceci est déjà vu en cours donc utilisable directement dans une preuve.
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https://www.snes.edu/IMG/pdf/maths_annexe_2egt_bo.pdf @stfj c'est le programme de seconde regarde la partie manipulation de vecteur.
La démonstration de JLapin suit le programme juste avec les deux lignes suivantes dans la rubrique "capacités attendues"
- expression des coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ en fonction des coordonnées de $A$ et de $B$.
- résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus adaptée des vecteurs.
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@JLapin : si j'adopte cette fois-ci le point de vue d'un inspecteur de l'E.N., je te dirais que le fait d'égaler un point $A$ et un couple de nombres $(a,b)$ ou même un vecteur $\vec u$ avec un couple de nombres $(-5,0)$ risque de perturber la plupart de tes élèves, habitués depuis la classe de 6è, à ce qu'on leur interdise de tels abus de notations*.
Evidemment, en te disant cela, l'inspecteur ne fera que son métier["Les difficultés liées au langage mathématique rencontrées par les élèves sont de natures variées. Elles peuvent notamment relever : d’abus de langage de l’enseignant pour ne pas alourdir le discours (par exemple, la confusion entre plan et repère du plan) ; dans ce cas, c’est le contexte qui permet d’identifier le sens à donner aux mots, mais ce contexte est évidemment très complexe à prendre en compte pour un apprenant ;"], même s'il conviendra, après ta réponse embarrassée, que ce n'est que broutilles.
Néanmoins, ce genre de broutilles subsistent jusqu'en Terminale, où l'on demande de faire via l'utilisation du mot affixe la distinction entre un couple de nombres réels et un point ou un vecteur.
Et là, je commence à te sentir agacé. On sait tous en effet depuis au moins 200 ans et Gauss et Hamilton et Argand, qu'il n'y a aucune différence entre algèbre et géométrie. Et que faire une telle différence, c'est s'entraver et donc entraver nos élèves.
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* Par exemple en 6è, on écrit $A(5)$ et on lit "le point $A$ d'abscisse $5$. Mais on n'écrit jamais à ma connaissance $A=5$ en dehors de mes cours bien sûr. -
Sans doute. Dans ce cas, je propose ceci, qui semble effectivement un peu plus canon.Notons $A(a,b)$ et $\vec u (-5,0)$.Notons $B(c,d)$ le point image de $A$ par la translation de vecteur $\vec u$.Alors on a $\overrightarrow{AB} = \vec u$ et donc $c-a=-5$ et $d-b = 0$ puis $c=a-5$ et $d=b$.
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@Barjovrille : parlons-en du programme de seconde :
"Contenus : Vecteur $\vec{MM'}$ associé à la translation qui transforme $M$ en $M'$. Direction, sens et norme."
Je sais ce qu'est une direction, tu sais ce qu'est une direction. J'avais un jeune collègue de maths qui ne savait pas ce qu'est une relation d'équivalence. Donc il ne savait pas ce qu'est une direction. Mais passons.
Par contre, comment je parle de "direction" à un élève de seconde ? Si je fais comme la plupart des youtubeurs que j'ai visionnés, y compris Yvan Monka, j'agite les bras.
Or, je suis enseignant de mathématique, pas animateur de foire. Donc, si je dois enseigner la notion de direction en seconde, avec en face de moi Hugo Duminil-Copin à 16 ans, je commence nécessairement par enseigner qu'on appelle direction de droites, l'ensemble des droites parallèles à une droite donnée. Les élèves auront besoin de savoir que toute droite a une direction et une seule, autrement dit il sera souhaitable de leur dire que l'ensemble des directions constitue une partition de l'ensemble des droites.
Oups, je m'étonne : où sont les notions même naïves d'ensemble , d'ensemble d'ensembles, de partition d'un ensemble ? Comment se fait-il que toute cette géométrie de collège avec son cinquième postulat vu dès la 6è ne soit pas enfin exploité ici où c'est l'occasion ? -
J'ai trouvé où il est question de la notion d'ensemble dans le programme de seconde : "Le programme de mathématiques définit un ensemble de connaissances et de compétences qui s’appuie sur le programme de collège."
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Les arguments sont tels qu’on en vient à défendre les programmes actuels…
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Je suis un peu mauvaise langue : "Vocabulaire ensembliste et logique L'apprentissage des notations mathématiques et de la logique est transversal à tous les chapitres du programme. Aussi, il importe d'y travailler d’abord dans des contextes où ils se présentent naturellement, puis de prévoir des temps où les concepts et types de raisonnement sont étudiés, après avoir été́ rencontrés plusieurs fois en situation. Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire, et savoir utiliser les symboles de base correspondant : ∈, ⊂, ⋂, ⋃, ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Ils rencontrent également la notion de couple. Pour le complémentaire d’un sous-ensemble A de E, on utilise la notation des probabilités Ā, ou la notation E \ A. Les élèves apprennent en situation : à reconnaître ce qu'est une proposition mathématique, à utiliser des variables pour écrire des propositions mathématiques ; à lire et écrire des propositions contenant les connecteurs « et », « ou » ; à formuler la négation de propositions simples (sans implication ni quantificateurs) ; à mobiliser un contre-exemple pour montrer qu'une proposition est fausse ; à formuler une implication, une équivalence logique, et à les mobiliser dans un raisonnement simple ; à formuler la réciproque d’une implication ; à lire et écrire des propositions contenant une quantification universelle ou existentielle."Il semblerait que les auteurs de programme aient enfin autorisé les enseignants de mathématique à rejoindre le paradis dont on les a trop longtemps chassés.
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Tu as l'air de faire grand cas de faire bonne figure devant un élève excessivement fort en mathématiques. J'aurais tendance à dire qu'il préfèrera avant tout que ta classe soit bien tenue, que ses camarades fassent le programme et comprennent ce que tu racontes et que tu lui mettes quelques exos un peu difficile à la fin des planches d'exos plutôt que de devoir suivre un cours rien que pour lui, cours qui de toutes façon sera de trop bas niveau pour lui.
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@JLapin : tu n'as pas assisté à mes cours. Quand je fais faire des transvections à mes élèves de 6è, je n'ai aucun doute sur le fait que mon cours est de trop bas niveau. Tu négliges l'importance de la formation. Dans la famille Lafforgue, les trois frères sont des mathématiciens. Pourquoi? parce qu'ils ont été formés par des petits profs comme moi.
Je ne fais aucun cas de faire bonne figure devant des élèves excessivement forts en mathématique. Le truc, c'est que si les meilleurs élèves de ma classe ne comprennent pas ce que je raconte, alors personne ne comprend ce que je raconte dans mon réseau d'éducation prioritaire. Et vu où je travaille, ça, c'est pas possible.
Tu prends le problème à l'envers. -
Mes cours sont fatalement de très bas niveau parce que si je leur fais faire autre chose, les élèves finissent sur les tables. J'ai des élèves qui ne savent pas lire (dans une seule classe de 5è, j'en ai deux), des élèves qui ne savent pas mesurer à partir du zéro de leur règle graduée, d'autres qui ne savent pas se poser pour tracer posément une droite (véridique, les troubles associés nécessitent la présence d'un Assistant de Vie Scolaire), la plupart ne connaissent pas leurs tables de multiplication quand un grand nombre hésitent sur les paires (2*3,2*4,2*5,...) vues en Cours Préparatoires *; ... Je peux tenir une heure sans problème à poursuivre... Alors je t'assure que faire bonne figure devant un ou deux gosses dans une classe, c'est vraiment le cadet de mes soucis.
Par contre, quand la classe est bien tenue, les élèves étant habitués à te faire confiance parce qu'ils comprennent tout ce que tu racontes, à la fin de l'année, je glisse un cours ou deux, où je balance quelques notions ensemblistes de base réapparues miraculeusement dans les programmes de seconde, ainsi que la définition mathématique d'une probabilité sur un ensemble $U$ fini, avec force exemples à l'appui(je te rassure(un peu); en fait, je parle d'ensemble à la moindre occasion dès la classe de 6è). Et ça ne bronche pas pendant une semaine alors qu'il n'y a que deux qui ont suivi. C'était nécessaire : l'une à Charlemagne en classe bilangue, l'autre à Henri IV. Je ne m'en veux pas du tout : je m'étais occupé des autres avec mes cours babar pendant deux trimestres et demi.
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*Quand je leur fais faire une homothétie vectorielle de rapport $2$, c'est aussi un moyen d'accrocher tous les élèves en les valorisant quelles que soient leurs difficultés.
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J'avoue n'avoir pas lu les 13 pages en entier, mais confondre espace affine et espace vectoriel, c'est un gros non pour moi.
J'ai enseigné un cours de géométrie différentielle assez modeste (en gros courbes et surfaces) avec le plus possible d'applications physiques, les étudiants qui n'arrivaient pas bien à distinguer les deux étaient en difficulté (typiquement on doit souvent jongler avec le plan tangent affine ou vectoriel en un point selon la situation). -
Une courbe pour toi c'est un ensemble de vecteurs ?
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@Héhéhé : je suis un petit professeur de collège. Les vecteurs ne sont plus au programme de collège. Donc j'ai oublié ce qu'est un vecteur. Mais tu voudras certainement me rappeler ce que c'est. Blague mise à part, si l'on souhaite parler mathématiques, il faudrait savoir mathématiquement de quoi on parle. Et donc tant qu'on n'a pas défini la notion de "courbe", tant qu'on ne s'est pas accordé sur cette notion, il ne me paraît pas raisonnable de rentrer dans des débats vains. Je rappelle tout de même que mathématiquement un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ni plus... ni moins... L'interprétation physique qu'on peut donner d'une telle notion mathématique relève de la liberté de chacun. Par exemple, un élément de l'espace vectoriel réel $\mathbb R^2$ pourra être interprété selon les besoins comme un point sur un plan ou un "vecteur fléché" (ou que sais-je?... ) Nos amis américains enseignant dans les premières années universitaires utilisent pour cela deux notations pour le même objet mathématique. Mais ce n'est pas une tradition française à ma connaissance.
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Je pense vraiment que tu confonds ensemble et structure. On peut munir $\R^2$ d'une structure d'espace vectoriel ou d'une structure d'espace affine. L'ensemble sous-jacent est toujours le même ($\R^2$) mais la structure est différente.
Un élément de $\R^2$ vu comme un espace affine est appelé point, un élément de $\R^2$ vu comme espace vectoriel est appelé vecteur. On ne fait pas les mêmes opérations sur ces objets (et c'est pour ça qu'on les note différemment, même en France contrairement à ce que tu sous-entends).
Alors évidemment dans ce contexte on a un peu l'impression de faire de l'enc***** de mouche puisqu'on peut tout identifier. Par contre, dès qu'on fait des choses un peu plus compliquées, bah on ne peut plus additionner les points d'une courbe abstraite par exemple (par contre on peut additionner les vecteurs dans un espace tangent).
Bref cette confusion des structures liée au fait que dans $\R^2$ tout s'identifie allègrement est assez problématique chez les étudiants qui n'ont jamais vu une distinction claire entre points et vecteurs. -
Je connais les définitions des deux structures et ne confonds pas ensemble et structure. Soit $(\mathcal E, E,v)$ l' espace affine réel défini par $\mathcal E:=\mathbb R^2, E:=\mathbb R^2, v: \mathcal E\times \mathcal E\to E, (a,b)\mapsto b-a$. Ecrire cela est effectivement de la sodomisation de diptère. On définit par exemple directement la notion de droite vectorielle d'un espace vectoriel réel E par $D:=\mathbb R u $, avec $u\in E\setminus\{0\}$ et droite affine $d$ de direction $D$ par $d:=a+D$. Ou encore le milieu d'un segment $ab$ par $\frac12(a+b)$. La structure d'espace affine est un monstre, un marteau pour écraser une mouche. Pauvres mouches ! Cela fait 60 ans qu'on traîne cette structure dans l'enseignement secondaire alors que tout le monde sait qu'elle ne sert à rien en mathématique; Glaeser justifiait même que mathématiquement, elle n'existe pas. Je crois même qu'elle n'existe pas en théorie des catégories. N'écoute pas trop les pleurnicheries de tes étudiants. Ils n'ont qu'à bosser. Celui qui râle trop fort, tu lui dis que Dieudonné avait prévu cela pour des élèves de seconde, ça va le calmer. Mon prof de maths de TC avait voulu abandonner ses études de mathématique. Trop difficile. Son père lui avait dit de venir l'aider à la ferme. Il a tenu une semaine.
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stfj a dit :Cela fait 60 ans qu'on traîne cette structure dans l'enseignement secondaire alors que tout le monde sait qu'elle ne sert à rien en mathématique; Glaeser justifiait même que mathématiquement, elle n'existe pas. Je crois même qu'elle n'existe pas en théorie des catégories."Tout le monde sait ..."Il ne faut pas parler au nom du monde entier comme ça. Soit $E$ un espace vectoriel (sur $\R$ mais on pourrait prendre n'importe quel corps, si le lecteur sait ce dont il s'agit), $l$ une forme linéaire non identiquement nulle sur $E$, $K$ son noyau et $A$ l'ensemble des éléments $x$ de $E$ tels que $l(x) = 1$. Alors l'application $f: (p,q)\in K \times A \mapsto p+q \in A$ fait de $A$ un espace affine sur $K$. Quelle structure d'espace vectoriel $A$ possède-t-il ? Y a-t-il une origine "naturelle" dans $A$ ?Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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stfj a dit :Glaeser justifiait même que mathématiquement, elle n'existe pas. Je crois même qu'elle n'existe pas en théorie des catégories.Que veut dire cette phrase étrange de toute façon...Etant donné un corps K, les espaces affines forment une catégorie sur $K$; les morphismes étant les applications affines (étant donné deux epaces affines $(E, \vec E)$ et $(F,\vec F)$, une application affine est une fonction de $E$ dans $F$ telle qu'il existe une application linéaire $g:\vec E \to \vec F$ telle que $g(\vec{x y}) = \vec{f(x)}{f(y)}$ pour tous $x,y$ dans $E$). Par exemple, lorsque $K=\Z/ 2\Z$, $(\Z/2\Z)^2$ possède une structure d'espace affine naturelle (induite par sa structure de $\Z/2\Z$-espace vectoriel) et dans la catégorie des espaces affines, il y a $24$ isomorphismes de $(\Z/2Z)^2$ dans lui-même. En revanche il n'existe aucun espace vectoriel $X$ sur $\Z/2\Z$ dont l'ensemble des isomorphisme d'espaces vectoriels possède $24$ éléments (pour un corps fini $K$, il y a pour tout $n\in \N$, $\prod_{i=0}^{n-1} (card(K)^n - card(K)^i) $ iomorphismes de $K$-espace vectoriel de $K^n$ dans lui-même). Les catégories des espaces vectoriels sur $\Z/2\Z$ et celle des espaces affines sur ce même corps ne sont donc pas équivalentes.Revenons à nos histoire de construction d'espaces affines. Il est clair que tout intersection de sous-espaces affines d'un espace affine donné est encore un sous-espace affine de celui-ci. Si on est dans $K^4$ par exemple, le plus petit sous-espace affine de $K^4$ contenant deux translatés de droites vectorielles données est un sous-espae affine de dimension au plus 3. Possède-t-il une origine naturelle (c'est en général ce qui distingue les objets pour lesquels le concept d'espace affine est superflu d'autres on va dire)?
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
$K=\Z/ 2\Z$, $(\Z/2\Z)^2$ possède une structure d'espace affine naturelle (induite par sa structure de $\Z/2\Z$-espace vectoriel). Bien sûr. Comme tout $K-$ev possède une structure d'espace affine. Soit en effet $E$ un tel $K-$ev. Alors $(E,E,v)$, avec $v:E\times E\to E, (a,b)\mapsto b-a$ est un espace affine. Mais, comme je l'ai écrit plus haut à @Héhéhé, inutile de le dire pour y définir les droites vectorielles ou affines. D'ailleurs, Dieudonné ne prononce jamais le mot d'espace affine dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire. Tu le sais, @Foys, tu en as fait l'éloge. Dans un autre livre, il dit très rapidement que c'est juste une question de traduction rapide. Vu mon niveau en maths, quand un tel mathématicien écrit cela, je lui fais confiance les yeux fermés; et de toute façon, on le vérifie à la pratique, à chaque fois qu'on choisit une origine dans un exercice adaptée au problème posé.
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Prenons par exemple le cercle : on le transforme vite en $x^2+y^2=1$.
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Pourquoi je cite Glaeser : parce que j'ai la flemme de refaire sa démonstration. J'adopte volontiers une approche de physicien pragmatique : je lui fais confiance. Je suis glaeseriste, cela m'évite de réfléchir. Mais si tu veux absolument qu'on se lance là-dedans, pourquoi pas ?
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Indication: il existe un monde en dehors des exercices de géométrie du secondaire dans le plan euclidien ou l'espace euclidien.
Ce n'est pas parceque le mot espace affine n'apparait pas dans un bouquin élémentaire de Dieudonné que ça sert à rien (et je pense que si tu lui avais sorti ça il se serait bien foutu de ta tronche).
Je t'invite par exemple à réfléchir au fait qu'on parle de variété affine sur un espace affine $k^n$ (où $k^n$ est un corps) et non de "variété vectorielle" sur l'espace vectoriel $k^n$.
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"Un espace affine n'est rien d'autre qu'un hyperplan d'un espace vectoriel ne passant pas par l'origine; les morphismes d'espace affine sont les restrictions aux hyperplans des applications linéaires. Le monde qui nous entoure apparaît homogène parce que son centre n'est pas de ce monde! Telle est la vraie raison -exposée au chapitre III grâce à une astuce d'exposition dont je suis redevable à mon collègue Glaeser - pour laquelle, mathématiquement parlant, les espaces affines "n'existent pas", bien que tout ce cours leur soit consacré." (préface de Géométrie pour l'élève professeur, Jean Frenkel, Hermann, 1973)
(citation non tronquée) -
En introduction au chapitre XII. NOTIONS AFFINES, de son cours de mathématiques du premier cycle, 1ère année, Jacques Dixmier écrit : "l'espace ordinaire de la géométrie ne comporte pas d'origine privilégiée; ce n'est pas un espace vectoriel. On étudie ici diverses notions indépendantes du choix de l'origine. Ce chapitre (et spécialement le paragraphe 12.7 Espaces affines ) est peu important."
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Les nombres complexes n'étant rien d'autre que $\R^2$ muni de lois ad hoc, ils n'existent pas mathématiquement parlant.
Une norme euclidienne n'étant rien d'autre que la racine carrée du produit scalaire d'un vecteur avec lui-même, elle n'existe pas mathématiquement parlant.
Les matrices réelles de taille $n\times p$ n'étant que des tableaux de nombre dans $(\R^n)^p$, elles n'existent pas mathématiquement parlant.
On peut faire cette réflexion débile sur toutes les définitions. -
Dans leur livre d'Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Jaffard et Poitou ne font nulle mention de la catégorie des espaces affines. Pas plus que dans l'article wp: en consacré aux catégories.
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Une réflexion "débile" de la part de Glaeser et Frenkel, directeurs de l'IREM de Strasbourg ? Je te laisse libre de tes propos.
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Quant au passage où Dieudonné écrit que le travail dans un espace affine ne relève que de traductions faciles des résultats dans les espaces vectoriels, je ne le retrouve pas.
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Dans Linear algebra I, Serge Lang ne fait même pas mention des espaces affines. Son livre est pourtant parcouru par de la géométrie élémentaire. Il y donne par exemple une démonstration du théorème de Krein-Milman.
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Au début du §25. Espaces affines, de son cours d'algèbre, Roger Godement écrit : "nous utiliserons les mots "espace", "point", "vecteur", "équipollent", "translation", etc... ; le lecteur devra leur attribuer la même signification qu'en Géométrie élémentaire. Nous n'en donnerons pas de définitions précises, attendu qu'un concept tel que celui d'espace n'est pas à proprement parler un objet mathématique."
Comme je l'ai dit plus haut, en tant qu'enseignant de collège, cela ne me gêne pas de faire de la Géométrie élémentaire; j'ai toujours adoré ça donc je n'ai pas besoin de me forcer.
Mais quid au lycée, au moment où le vocabulaire ensembliste et logique vient d'être réintroduit?
Un point n'est pas un objet mathématique. Mais un couple de nombres en est un! IMHO, Yvan Monka arrêtera rapidement d'agiter les bras dans ses vidéos pour bla-bla-ter sur la direction d'une droite et tout le monde reconnaîtra que, comme l'a dit le patron, il y a autre chose "qu'on pourrait faire en la matière si l'on cherchait à agir de façon rationnelle ."(Jean Dieudonné, fin de la préface d'Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, 1964) -
@stfj Je pourrais comprendre que tu puisse être frustré de la situation actuelle de l'enseignement des maths au collège et lycée. Mais honnêtement tu penses que tu es raisonnable dans ta réflexion ? Tu as écrit des dizaines de pages où tu parles d'ajustement du programme du collège/lycée en citant des pensées de Bourbaki, en parlant des médaille Fields, bon déjà est ce qu'on calibre un cours d'EPS de 4ème avec l'entrainement de Usain Bolt ? Puis en même temps tu te mets à refaire les maths comme si tu savais mieux que tout le monde en commençant par jeter la géométrie synthétique à la poubelle en disant que ça ne sert à rien. Ce qui est une insulte envers tous ceux qui la pratique. Puis tu affirmes que les espaces affines n'existent pas alors que Héhéhé t'as fait un retour d'expérience où c'est compliqué au niveau de la compréhension pour des élèves post bac si ils n'ont pas appris la différence entre espace affine et espace vectoriel. Puis tu continues de bafouiller sur la catégorie des espaces affines alors que Foys t'a donné explicitement un corps sur lequel la catégorie des espaces affines n'est pas équivalente à la catégorie des espaces vectoriel. Tu t'es complètement éloigné du but de départ de ton post, tout en manquant de respect à la géométrie synthétique, la géométrie algébrique (on pourrait même dire toutes les géométries tellement le mot affine apparaît partout), les catégories...
Tu t'aventures sur une pente glissante je te conseille (en toute bienveillance) de te recentrer sur ton but de départ. -
stfj a dit :[…]
Mais si tu arrives à me résoudre de façon fluide et pas trop longue ce trivial exercice en te plaçant du point de vue d'un brillant élève de seconde, j'arrête immédiatement de contribuer à ce fil.
Vu que @JLapin t'a proposé plusieurs démonstrations, pourquoi continuer cette discussion ?stfj a dit :@JLapin : s'il te plaît. Fais la démonstration in extenso. Si ça tient la route, j'arrêterai comme promis immédiatement de contribuer à ce fil, d'autant plus facilement que j'en suis un peu las.
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Bonjour,
Il manque l'avis éclairé de FdP, et même de CC.
Cordialement,
Rescassol
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Et pour filer la comparaison à l'EPS, les professeurs d'éducation physique, eux, n'hésitent pas, et quand il s'agit par exemple de natation, c'est la nage moderne, le "crawl" qu'ils enseignent, parce que plus efficace que les nages anciennes. [Ce n'est pas de moi.]
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