Enseigner la géométrie en 202... : quelle place pour l'algèbre linéaire ?

Mathurin

@Vassillia ,

Tu n’es pas convaincue sur le fait que la géométrie pure « plairait aux élèves ».

J’ai rencontré pourtant beaucoup de personnes d’un certain âge, qui sans avoir fait des études scientifiques, ont gardé un souvenir passionné et enchanté de la géométrie pure qu’elles avaient apprise avant la réforme des années 70.

Dom

On observait au lycée des élèves plutôt faibles en maths mais qui se trouvaient une nouvelle compétence avec la géométrie pure dans l’espace. 

Faut-il aussi dire qu’il ne faudrait plus l’avoir dans les programmes (où en est-on ?), notamment parce que certains profs de maths, si agrégés soient-ils, n’y comprennent rien ?

Vassillia

Je veux bien te croire Mathurin et je vois bien que cela plait à un certain nombre de membres de ce forum.

Mais d'une part, je ne suis pas sûre que les goûts des enfants nés dans les années après 2010 soient les mêmes que ceux des enfants nés dans les années avant 1960. Il y a quand même plus de 50ans d'écart et désormais on nait tous avec l'utilisation du numérique comme base pour tout. Se servir d'un compas et d'une règle non graduée pour faire de la géométrie pure, je trouvais cela ridicule au collège et mes copains et copines aussi.

D'autre part, ce que je voulais dire, c'est que pour moi, le fait que les notions plaisent ou pas est de toute façon secondaire même si évidemment je fais au mieux pour rendre l'apprentissage intéressant. Dans l'immense majorité des cas, les enfants n'aiment de toute façon pas étudier quoi que ce soit. Par contre s'ils réussissent, ils aimeront ou en tout cas, ils ne détesteront pas trop. Moi, la première, toute ma scolarité a été dictée par ce qu'il fallait apprendre pour réussir à avoir tel diplôme ou tel poste, pas par plaisir, ce qui ne m’empêche pas d'avoir des goûts personnels bien sûr.

Je pense que le rôle d'un prof est de former au mieux ses élèves à performer dans le monde de demain tout en développant leur esprit pour en faire des individus capables de changer ce monde de demain. Évidemment, je parle d'un idéal, je suis réaliste sur le fait que je fais ce que je peux en étant limitée par mes propres capacités et par les leurs. Par contre, le retour à un passé fantasmé ne m’intéresse pas, les besoins pros et persos ne sont plus les mêmes donc la formation ne doit plus être la même. C'est en tout cas ma vision des choses, on peut bien sûr en avoir une autre, ceci dit je suis dans un contexte très particulier avec des enfants issus de milieux favorisés donc je peux sans doute me permettre des choses qu'on ne peut pas se permettre partout.

PS : Tu es pénible Dom avec tes sous-entendus, ce n'est pas parce que je n'y comprends rien (c'est effectivement plus ou moins le cas mais je l'apprendrai si je trouvais cela utile) ni parce que mes élèves n'ont pas le matériel (je n'aurais vraisemblablement pas ce genre de problème) mais parce que je pense que c'est mieux même si évidemment cela ne me donne pas forcément raison.

Dom

« les besoins pros et persos ne sont plus les mêmes »

Je m’étonne à chaque fois que je lis ce discours-là. Les programmes de l’école et le collège n’ont JAMAIS été rédigés pour des « besoin pros ou persos », et c’est assez vrai même pour le lycée. 

Personne n’a jamais eu besoin du théorème du toit, ni en pro ni en perso. 

Idem pour l’argument du numérique d’ailleurs. Il est étrange de laisser entendre « avant le numérique, c’est normal d’apprendre avec compas et règle mais aujourd’hui comme on a des tablettes c’est normal d’arrêter compas et règle ». 

Je triche cela assez inouï. 

Je suis par contre d’accord avec un passage : que cela plaise ou pas est complètement secondaire. J’ajoute même que ça ne rentre pas du tout en ligne de compte.  

Foys

Vassillia a dit :

Mais d'une part, je ne suis pas sûre que les goûts des enfants nés dans les années après 2010 soient les mêmes que ceux des enfants nés dans les années avant 1960.

Vassillia a dit :

évidemment je fais au mieux pour rendre l'apprentissage intéressant. Dans l'immense majorité des cas, les enfants n'aiment de toute façon pas étudier quoi que ce soit.

Alors autant leur faire faire ce qui va être intellectuellement formateur.

Vassillia

Et bien ils auraient du être rédigés pour tenir compte de ce besoin pro et perso à mon avis et comme j'ai la chance d'avoir le choix, je forme mes élèves en priorité en fonction de ces besoins, j'ai bien dit en priorité, cela ne veut pas dire uniquement si j'ai le temps de faire autre chose.

Je suis d'accord Foys, autant leur faire faire ce qui va être intellectuellement formateur ET utile, il y a suffisamment à faire sans partir dans de l'intellectuellement formateur ET inutile. Mais si on avait l'éternité devant soi, on pourrait sûrement tout faire, malheureusement, on ne l'a pas.

nicolas.patrois

Vassillia a dit :

Eh bien ils auraient du être rédigés pour tenir compte de ce besoin pro

Parce que tu les connais ?

Parce que tu sais en seconde (voire en terminale) quels vont être les besoins mathématiques de ton métier ?

biguine_equation

Cette carte postale éditée à l’occasion de l’Exposition Universelle de Paris (1889) imagine les élèves « performer dans le monde de demain ». Des livres sont broyés dans un entonnoir et leurs contenus transmis aux jeunes cerveaux via des sortes d’électrodes. 
Il y avait aussi des « bus-baleines »: une nacelle fixée sous une baleine permet aux voyageurs de visiter les fonds marins.

Mathurin

Que cela plaise, me parait au moins un indice dans l’appartenance à la culture générale potentielle.

Pour moi en gros, au collège on fait de la culture générale en vue de besoins citoyens, au lycée de la culture spécialisée éventuellement en vue de besoins professionnels.

Vassillia

@nicolas.patrois Non, en effet, c'est pour cela qu'il faut essayer de prendre l'intersection commune en tenant compte de ce qui développe le plus les capacités de l'apprenant. Et de ce point de vue, la géométrie pure (hors théorème basique de Pythagore, Thalès et 2 ou 3 autres trucs) ne me parait pas le choix le plus pertinent vu qu'elle ne sert littéralement nulle part même chez ceux qui feront par la suite des études de maths. Par contre, cela va faire plaisir à Foys, je ne suis pas contre mettre un peu plus de logique car au final, on s'en sert indirectement un peu partout et comme approche du raisonnement et de la programmation, c'est pas mal.

@biguine_equation Tu caricatures mon propos, il ne s'agit pas de bruler le passé et les livres restent un merveilleux moyen de se cultiver mais oui, j'utilise des petites vidéos pour mes étudiants qui sont majeurs, ils peuvent les regarder dans le métro avant de venir en cours et ils apprécient. Je me sers de tous les outils à ma disposition pour favoriser leur apprentissage.

Mathurin

Je n'ai jamais dit, @Vassillia , que pour le public auquel tu t'adresses, il fallait que tu leur fasses de la géométrie pure. A ce moment de leur formation, l'algèbre linéaire et la logique sont en effet indiquées.

biguine_equation

Vassillia: je ne me permettrai pas de juger la façon dont tu fais ton métier.
Simplement, quand tu dis: «Je ne suis pas contre mettre un peu plus de logique car au final on s’en sert indirectement un peu partout », j’ai envie de rajouter qu’on se sert tout autant de la représentation mentale de l’espace. On se donne des outils intellectuels pour conceptualiser l’espace sensible. Ce n’est pas rien pour un enfant. 

Vassillia

Ah mais du coup je suis entièrement d'accord avec vous, il faut absolument se forger une représentation mentale, c'est bien pour cela que j'avais émis des réserves sur préserver le "voir les choses". Comment l'obtenir ? Par des exercices et exemples conçus pour développer cette représentation mentale qui sera propre à chacun. Ce n'est pas une définition ni même une liste d'axiomes qui permet de se créer cette représentation mentale. C'est uniquement la pratique donc autant privilégier les outils les plus efficaces tout en montrant évidemment l'aspect plus visuel.

nicolas.patrois

Vassillia a dit :

Et de ce point de vue, la géométrie pure (hors théorème basique de Pythagore, Thalès et 2 ou 3 autres trucs) ne me parait pas le choix le plus pertinent vu qu'elle ne sert littéralement nulle part même chez ceux qui feront par la suite des études de maths.

Ces théorèmes sans la géométrie pure ne font grand chose.

Vassillia

Ils introduisent quand même des notions utiles : pour Pythagore, la distance entre 2 points à partir de coordonnées cartésiennes et pour Thalès, la notion de pente d'une droite revient à l'égalité des rapports qui vont bien. A part ça, je suis plutôt d'accord qu'ils ne font pas grand chose. Disons que c'est quand même suffisant pour les garder.

nicolas.patrois

Tu m’as mal compris : j’écris que sans notions de géométrie de base, Thalès et Pythagore sont faciles à utiliser n’importe comment (déjà qu’avec…)

Ericpasloggue

stfj a dit :

@Mathurin : De toutes façons, les cas d'égalité des triangles sont des conséquences des axiomes de l'algèbre linéaire euclidienne.

J'avais laissé passé celle-là qui explique le commentaire insinuant que ma démonstration d'une propriété de la médiatrice ne valait pas tripette.

Le problème est que tu ignores tout des fondements de la géométrie. Tu as décrété qu'il n'y a qu'une approche authentique et tu ne t'es pas donné la peine de regarder les fondements. Du coup, tu ne leur accordes pas grande valeur. Il se trouve que chez Hilbert, le cas d'égalité C-A-C est un axiome. Et un axiome qui arrive avant l'axiome des parallèles (la géométrie neutre, chez Hilbert, c'est tous les axiomes jusqu’à l'axiome C-A-C). Chez Tarski, il n'y a pas de droites (pas sûr que ce soit une très bonne idée d'un point de vue pédagogique), du coup il remplace l'axiome C-A-C par l'axiome des cinq segments (voir https://proofwiki.org/wiki/Axiom:Five-Segment_Axiom ou https://citeseerx.ist.psu.edu/doc/10.1.1.27.9012). Encore un autre point de vue (et semble-t-il intéressant pour utiliser un logiciel de vérification de preuves).

Si maintenant tu choisis de fonder la géométrie sur l'algèbre linéaire, le cas d'égalité C-A-c n'est plus qu'un théorème. Mais bien du courage pour démontrer ça uniquement dans ce cadre au niveau de la classe de seconde... définir les angles dans ce cadre ne va pas être une partie de plaisir (pas que ça une partie de plaisir de prouver que le plan est orientable dans le cadre de Hilbert, bien au contraire, et c'est peut être à cela que Dieudonné fait référence quant il parle de tour de force). Comment vas-tu définir la fonction $\cos$ ? A coup de série entière ?

Mon point : il faut voir plusieurs points de vue et ne pas se limiter à un seul et, si possible (mais ce n'est pas toujours facile), faire des allers-retours entre les différents points de vue.

Mathurin

Il existe un très bon livre en Français sur l'axiomatique classique de la géométrie : les fondements de la géométrie de J Lelong-Ferrand
On peut consulter aussi sur l'axiomatique de Bachmann, l'atlas des mathématiques traduit de l'allemand.
Le linéaire est UNE vision, efficace certes mais qui a ses défauts aussi.

stfj

@Ericpasloggue : bonjour . Il est vrai que j'ignore tout des fondements de la géométrie. Et pour cause, on ne me les a jamais enseignés. Je pense que nous sommes de nombreux enseignants de mathématique dans ce cas, pour ne pas dire l'immense majorité(voir le constat p.5 ici). Je ne me suis en outre pas donné la peine de regarder les fondements. C'est ma liberté. Je ne suis qu'un petit salarié de l'Etat. S'il faut que j'acquière une formation supplémentaire, soit l'Etat me la fournit; soit je procède autrement, avec les seules connaissances qu'on m'a fournies quand on m'a embauché.
Or il se trouve que c'est tout à fait possible :
(1) Jean Dieudonné a exposé dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, de nombreuses connaissances géométriques largement suffisantes pour nos élèves, collégiens et lycéens. Ce livre, il l'a écrit pour des enseignants de lycée et il reste tout à fait exploitable aujourd'hui par les enseignants de lycée. Par exemple, la notion de transvection que Daniel Perrin utilise pour le premier cas d'égalité des triangles y est exposée.
(2) Au début de Linear algebra I, Serge Lang synthétise les quelques connaissances géométriques acquises au lycée dont il aura besoin pour mener n'importe qui jusqu'au seuil de la recherche, y compris sur les travaux d'Hilbert si le chercheur le souhaite.
(3)En 1997, les livres de Dominique Martinais et François Liret pour le DEUG préfacés par Michel Zisman, perpétuent une longue tradition française de formation des futurs enseignants de mathématique français en algèbre linéaire, en privilégiant l'approche de l'algèbre d'abord par l'algèbre linéaire orientée géométrie élémentaire et en renvoyant les structures plus abstraites telles que groupes, anneaux, corps après l'étude de l'algèbre linéaire, tout comme le préconisaient Dieudonné et Lang. Aux Etats-Unis, c'est la norme.
(4)Aujourd'hui, un brillant youtubeur, Alexander Thomas, introduit en moins de 10 min l'algèbre linéaire en exploitant les connaissances souhaitables des personnes qui le regardent sur $\mathbb R^2,\mathbb R^3,..., \mathbb R^n$. Peu importe que ces connaissances élémentaires n'aient même pas été fournies par 3 longues années de lycée où on se demande bien ce que les élèves ont fait, il suffit à Alexander Thomas de quelques minutes pour pallier aux insuffisances de l'instruction publique.
(5)Dans son livre de $400$ pages sur la Géométrie, traduit en anglais chez Springer, Michèle Audin accorde $1$ page à la voie d'Euclide-Hilbert, tout en écrivant que "cette méthode est utilisée actuellement dans l'enseignement secondaire français"(pas par moi en tout cas . Plus sérieusement, le rapport $\frac{1}{400}$ ne semble choquer aucun des commentateurs anglo-saxons élogieux.)
(6)Quand j'étais élève-professeur(j'ai 52 ans), je ne disposais que de Géométrie pour l'élève-professeur de Jean Frenkel, directeur de l'IREM de Strasbourg. Ce livre très exigeant m'avait déjà frappé à vie. Quand j'ai vu que Michèle Audin en reprenait les notations, en simplifiait le contenu pour le rendre plus accessible, j'ai immédiatement accroché : il y a un prix à payer, c'est un peu d'abstraction pour définir tout cela, mais ça en vaut la peine.
(7)La commission Kahane (rapport sur la géométrie, p.25) proposait de s'appuyer sur les connaissances des enseignants en algèbre linéaire, non pas de les orienter vers les travaux d'Hilbert.

Je n'ai donc pas décrété qu'il y a une approche authentique; je me contente de suivre les boulevards tracés par mes aînés et que tout le monde emprunte.
(pour les angles, la proposition de Dieudonné est inexploitable avec des lycéens; mais Lang explique comment faire en utilisant les connaissances acquises par un collégien.)

JLapin

@stfj

Tu devrais regarder les programmes du lycée : il y a déjà plein de mentions des coordonnées, des traductions usuelles de la distance, de la colinéarité, de l'orthogonalité, des équations de droites, de plans, etc.

Sans oublier les nombres complexes et un peu de calcul matriciel pour ceux qui suivent l'option maths expertes.

stfj

@JLapin : les programmes de collège sont très bien faits. Nul doute que les programmes de lycée le soient également. La meilleure preuve est que nous continuons de former des médailles Fields et que la France reste très attractive pour les mathématiciens du monde entier. A mon petit niveau, j'ai vu au cours de 25 ans de carrière défiler dans mes classes un nombre de jeunes brillants en mathématiques non négligeable (ma compagne a même eu comme élève un major à l'entrée à l'ENS.)
Donc, en dépit des chiens qui aboient de plus en plus fort, la caravane continue à passer.
Comme tu le relèves, c'est d'autant plus simple que les espaces vectoriels étant l'une des structures les plus élémentaires des mathématiques(pas nécessairement besoin de Lichnerowicz pour le rappeler), il n'est pas difficile pour l'enseignant de lycée, en faisant par exemple mention des coordonnées, des traductions usuelles de la distance, de la colinéarité, de l'orthogonalité, des équations de droites, de plans, des nombres complexes, des matrices, de la représentation graphique des fonctions dans $\mathbb R^2$, etc; il n'est pas difficile d'avoir recours à cette structure. 
Mais pourquoi diable les programmes n'entérinent -ils pas cette situation par au moins un chapitre au moins en Terminale maths experte et surchargent la tache du professeur de math sup? J'ai un avis sur la question : il y  a des connaissances pour l'école du peuple et il y a des connaissances pour l'école du notable. Quand les connaissances commencent à servir à quelque chose, attention chasse gardée.

stfj

Par exemple, prenons l'exercice classique de 2nde: déduire le graphe $G$ de $g:x\mapsto(x+5)^2$ de $F$, celui de la fonction $f:=carré$. 

$G:=\{(x,(x+5)^2)\mid x\in\mathbb R\}=\{(y-5,y^2)\mid y\in\mathbb R\}=t_u(F)$, avec $u=(-5,0)$

Oups : toutes les niaiseries racontées au collège sur le lien entre translations et parallélogrammes ne servent à rien. Pire, elles font que le pauvre élève de seconde, à part peut-être quelques Duminil-Copin (et encore ce n'est pas sûr), est embrouillé. C'est ballot.

Vassillia

Je ne pense pas que ce soit une sorte de complot contre le peuple de la part des notables mais il y a une certaine culture en mathématiques qui tend à privilégier ce qui utilise le moins d'outil car ce serait plus joli. Peu importe que ce soit efficace ou utile, j'oserais même dire en caricaturant (mais pas tant que ça) :

- si c'est inutile, tant mieux car on est vraiment dans l'abstraction et on ne va quand même pas s'abaisser à s'intéresser à des problèmes concrets rencontrés dans la vie professionnelle.

- si ce n'est pas efficace, tant mieux car il faut trouver une nouvelle astuce à chaque problème et cela montre qu'on est plus intelligent que les autres pour trouver cette nouvelle astuce.

La réforme des maths modernes, sans doute bien intentionnée est, pour moi, tombée dans ce travers en rajoutant celui de la non préparation du corps enseignant. Depuis, ils ont voulu faire machine arrière sans garder ce qui aurait pu l'être, c'est dommage mais à leur décharge, le curseur est difficile à placer. Ce n'est pas le tout d'avoir le programme idéal à supposer qu'il existe, encore faut-il réussir à convaincre les profs de se l'approprier.

Par contre, là où je te rejoins, c'est que dans les faits, les notables auront accès plus facilement à des profs qui assument de préparer leurs élèves à faire carrière donc donnent les connaissances qui servent à quelque chose. Il y a donc bel et bien une différence entre peuple et notable mais je ne pense pas qu'elle soit voulue, c'est juste une conséquence malheureuse d'une certaine idéologie mais qui vient plutôt du corps enseignant.

stfj

@Vassillia : la mathématique est par essence efficace. Renoncer à écrire dès la seconde $$G:=\{(x,(x+5)^2)\mid x\in\mathbb R\}=\{(y-5,y^2)\mid  y\in\mathbb R\}=t_u(F)$$avec $u=(-5,0)$, c'est risquer de vite perdre tout crédit devant des élèves tels que Cédric Villani, Hugo Duminil-Copin, Cécile Gachet, Laurent Lafforgue, Alexander Thomas, ... Je ne cite pas ceux que j'ai formés (certains et certaines d'entre eux ne tarderont pas à faire parler d'eux), ils sont légions.

stfj

Un autre exemple : j'ai cité à plusieurs reprises l'utilisation que je fais depuis la classe de 6è de la symétrie orthogonale $s$ par rapport à la première bissectrice $$(x,y)\mapsto (y,x)$$
Soit $f:\mathbb R\to \mathbb R$ bijective. Soit $F$ son graphe et $G$ celui de $f^{-1}$. Alors de l'équivalence $y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)$, il découle très simplement que $$G=s(F)$$Mon avis est que le manque de connaissances élémentaires en algèbre linéaire, par exemple la décomposition d'un espace vectoriel en somme directe de sous-espaces vectoriels supplémentaires, empêchent le lycéen de comprendre pleinement le fait élémentaire que $G=s(F)$, ce qui est d'autant plus embêtant que cela apparaît clairement sur des dessins tels que les graphes de $x^2$ et $\sqrt{x}$, ou encore ceux de $\log x$ et de $e^x$.

Barjovrille

Bonjour @stfj, donc si j'ai compris ton point de vue tu dis que dans cette feuille http://maths.desfontaines.free.fr/IMG/pdf/espace_correction_exo_18.pdf , en particulier la démonstration partie A, ne sert à rien à l'élève lambda, élève lambda qu'on peut retrouver aussi bien en terminale scientifique (ou l'équivalent d'aujourd'hui), ou même en classe préparatoire d'après toi.
Je ne suis pas d'accord, à force de tout ramener sur un cadrillage et le calcul de coordonnées on perd une des grosses force des mathématiques, l'abstraction.
De plus la démonstration partie A, c'est exactement le type de démonstration qu'on peut retrouver en topologie, théorie de la mesure, ou même algèbre générale et algèbre linéaire... (cf montrer qu'une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit à $0$). Dans le sens où on part de définitions abstraites (plan médiateur, médiane, médiatrice), et on ne fait que des déductions à partir de ces définitions, ça apprend à avoir un bon raisonnement. Et c'est une des compétences les plus importante (même peut être la plus importante) si on veut réussir des études avec des composantes mathématiques. C'est un bon niveau intermédiaire parce qu'on peut s'aider d'un dessin si on a du mal (contrairement à certains cas où on ne peut plus dessiner). Autrement dit si un élève en sortie de lycée arrive à sortir un raisonnement comme la partie $A$, je peux affirmer sans prendre de risque qu'il est bien armé pour continuer plus tard (parce que ça veut dire qu'il arrive a décortiquer les définitions sans surinterprétation, et les combiner pour atteindre l'objectif fixé, ce qui est une compétence assez générale pour être applicable dans de nombreuses situations).

xax

"les programmes de collège sont très bien faits. Nul doute que les programmes de lycée le soient également. La meilleure preuve est que nous continuons de former des médailles Fields "

Tu te prépares au concours à la cooptation d'IPR stfj ?

Pour info, les récipiendaires de la médaille et le système éducatif français (actuellement en faillite) n'ont strictement rien à voir. Ce n'est pas nouveau, on a eu dans le passé d’excellents mathématiciens avec une population à 95% analphabète.

Dans les faits on a un système pousse seringue qui sélectionne 4 ou 5 types par ans pour les promouvoir avec une machine d'une redoutable efficacité, centrée sur l'Ulm. C'est la seule raison qui fait que des jeunes assez moyens (au niveau des comparatifs internationaux style Olympiades)  deviennent en quelques années de vrais cadors.

Pour en savoir plus :
https://www.cairn.info/revue-actes-de-la-recherche-en-sciences-sociales-2017-5-page-68.htm
https://www.cairn.info/revue-francaise-d-economie-2020-2-page-155.htm

stfj

bonjour @Barjovrille. Je viens de relire la démo partie A, et je ne vois pas du tout en quoi c'est "  le type de démonstration qu'on peut retrouver en topologie, théorie de la mesure, ou même algèbre générale et algèbre linéaire... " Pour ma part, j'ai du mal à suivre cette soi-disant "démonstration".

Vassillia

@stfj Je suis d'accord avec ta définition de translation mais même si c'est très bien pour la mathématique comme tu dis, je pense qu'ils ont fait une erreur à l'époque de se lancer dans les relations d'équivalence pour définir les vecteurs par des bipoints équipollents au secondaire. C'est un peu déconnant comme degré d'abstraction même s'il n'est pas inutile de visualiser plus ou moins ce que cela veut dire graphiquement en plus de savoir les calculer via les coordonnées.

stfj

Rappel : "La France[NDRL: avec ou sans ULM, ce bastion masculin de l’élitisme scolaire ] est très bonne en mathématiques"(0:46 Lichnérowicz) Et il n'y parle pas de 4 ou 5 normaliens, il y parle de créateurs de logiciels.

Par ailleurs, ayant passé un peu de temps récemment sur mathstackexchange, j'ai pu me rendre compte à quel point le niveau des étudiants internationaux dans les premières années universitaires n'est en rien comparable à celui attendu des étudiants français.

xax

"j'ai pu me rendre compte à quel point le niveau des étudiants internationaux dans les premières années universitaires n'est en rien comparable à celui attendu des étudiants français. " je veux bien te croire, il n'y a qu'à regarder les classements aux olympiades pour avoir une idée du niveau réel en France ainsi que les appréciations des profs du supérieur (sur ce forum par exemple).

P.S. il y a une vidéo rigolote où JP Serre parle de "Lichné" et de son niveau réel en maths. Ce n'est pas un hasard qu'il ait fini commissionnaire.

[Utilisateur supprimé]

stfj a dit :

Rappel : "La France[NDRL: avec ou sans ULM, ce bastion masculin de l’élitisme scolaire ] est très bonne en mathématiques"(0:46 Lichnérowicz) Et il n'y parle pas de 4 ou 5 normaliens, il y parle de créateurs de logiciels.

Je me ré-incruste furtivement dans cette conversation pour te faire remarquer qu’avec tout le respect que j’ai pour Monsieur Lichnerowicz, ce dernier étant décédé en 1998, il parait évident qu’il est impossible d’extrapoler ses dires à la France de 2023 ni mêmes aux acteurs actuels du marché; ceux-ci ayant majoritairement fait leur scolarité depuis son décès. Note que je continue de lire cette conversation depuis que je l’ai quittée et plus elle avance, plus j’ai la sensation que tu t’enfonces dans le « j’ai décidé que ça serait comme ça », cherrypicking à l’appui. Sur ce, je repars aussi furtivement que je me suis ré-incrusté.

@xax parle de cette vidéo, voir à la toute fin de cette dernière pour entendre Jean-Pierre Serre lyncher Lichnerowicz.

stfj

@xax : je ne vois pas bien où tu veux m'entraîner. L'outil Education Nationale qui a fait par exemple l'excellence française en mathématiques dont s'enorgueillissait avec raison Lichnerowicz puisqu'il y avait grandement contribué est peu ou prou le même. Les enseignants continuent à y être formés de la même façon, en mieux même (par exemple, les licences professionnelles qu'a évoquées @dp sont celles que mes professeurs d'université appelaient de leurs voeux dès 1990; comme je l'ai dit plus haut, quand je ne disposais que de Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel, les étudiantes disposent aujourd'hui du remarquable Géométrie de Michèle Audin; j'ai également cité le travail que je trouve remarquable de Martinais et Liret.) Il faut se méfier des hurlements des loups qui veulent faire des économies sur le dos de l'Education Nationale. Quand on veut abattre son chien, on dit qu'il a la rage. Quand on veut rendre inopérant un système performant, on surcharge les classes à 38; 32 en collège à Carnot,... Je ne serai pas le relais des loups que je combats. Comme dirait B.A.(03:40), je soutiens l'institution socialo-marxiste qu'est l'Education Nationale. En période de tempête, il faut savoir garder la tête froide contre l'adversité qui multiplie les coups bas.

Barjovrille

Ca ne te rappelle pas le type de raisonnement mathématique ou tu pars d'une définition et par un enchainement logique de phrases tu arrives à conclure la propriété souhaitée ? Si tu veux prouver qu'un espace vectoriel est un espace convexe, avec la définition d'un segment, et celle d'un espace vectoriel tu peux conclure (même sans quantifier juste avec des mots selon le niveau du cours et ce que tu admets). Dans le polycopié avec la définition de plan médiateur, tu arrives à trouver une médiane qui est en fait une médiatrice..., c'est exactement l'art de la démonstration, enchainer dans un bon ordre les bons arguments.

stfj

1:24:24 je ne vois pas de "lynchage" de Lichnérowicz par André Weil; et vu mon niveau en mathématiques, je ne suis pas à même de juger de tels jugements entre pairs, qui ne sont que des bisbilles, comme le relève Jacques Dixmier.

Dom

dp résume assez bien ce que je pense : « plus elle avance [la discussion], plus j’ai la sensation que tu t’enfonces dans le « j’ai décidé que ça serait comme ça » ». 

Il n’est pire aveugle que celui qui ne veut pas voir. 

Il n’est pire sourd que celui qui ne veut pas entendre. 

biguine_equation

Xax: « (…) on a eu dans le passé d’excellents mathématiciens avec une population à 95% analphabète. » 

Je suis en train de lire un ouvrage sur l’histoire de l’instruction publique en France de 1830 à 1937. C’est incroyable de voir à quel point cette histoire se ramène à un énorme et incessant combat pour augmenter le taux de fréquentation des élèves à l’école primaire. Combat contre la réticence ou l’inertie des ruraux, contre les intempéries (une cause majeure d’absentéisme était l’enneigement des sentiers !), contre les coûts de scolarité (assez élevés avant les lois Jules Ferry), contre l’analphabétisme qui touchait des régions entières. Est-ce que toutes ces contingences pouvaient affecter la trajectoire intellectuelle d’un Poincaré par exemple ? Bien sûr que non ou si peu. L’élite culturelle et sociale s’élève aussi par le mérite mais au final, entre 1815 et 1900, il n’y aura jamais plus de 1% d’élèves issus des milieux populaires présents dans les plus prestigieuses écoles de l’Etat. C’est un système clos. Il l’a toujours été et il l’est encore aujourd’hui.

Et pourtant, cela ne doit pas faire oublier les efforts considérables qui ont été fait en France en faveur de l’instruction publique ‘et privée dans une moindre mesure): à partir de 1880, tous les départements français enregistrent un taux très élevé d’inscription à l’école publique, ce qui signifie « une scolarisation d’au moins 5 ans pour tous les enfants d’âge scolaire et plus de 7 ans pour les trois quarts d’entre eux » ! 

stfj

Comme quelques critiques récentes me l'ont fait remarquer, j'avoue être un peu dépassé actuellement par l'enthousiasme de l'étude de la géométrie projective. Comme un espace projectif est construit à partir d'un espace vectoriel, comment ne pas s'enthousiasmer et voir dans l'algèbre linéaire l'alpha et l'oméga de la géométrie, et le but de notre enseignement à atteindre pour nos élèves? 

Dom

Sois plus précis : quel est le contenu d’un cours que tu souhaites ajouter ? Précise aussi le niveau. Tu adores utiliser les mots « algèbres linéaires » ou « espaces vectoriels » mais finalement, que mets-tu derrière ?
Je demande car si tu parles de savoir faire des additions de couples et des multiplications de couples par des scalaires, et bien… c’est fait !

stfj

Pour les élèves jusqu'en Terminale, les espaces vectoriels réels de dimension deux et trois, isomorphes à $(\mathbb R^2,+,.)$ et $(\mathbb R^3,+,.)$. Ce n'est pas fait. Ce qui est fait consiste à mettre la charrue avant les boeufs et à travailler dans un espace affine décrété intuitif par je ne sais quel cuistre... alors qu'il a fallu des millénaires pour que se dégagent les vecteurs si chers aux physiciens. Le contenu du cours qui s'impose selon moi est celui proposé par Serge Lang au début de Linear algebra I, qu'il faudrait évidemment développer puisque Lang ne pensait pas au public qu'on reçoit actuellement dans les classes de seconde. Quant au collège, rien à changer : on fait ce qu'on veut et ce qu'on peut avec ce qu'on a.

JLapin

A mon avis, il est prématuré d'axiomatiser les espaces vectoriels, les notions de bases et d'isomorphisme dès la seconde et je ne trouve absolument pas choquant que ce ne soit fait qu'en première année après le bac.

stfj

J'ai un avis différent. L'éveil mathématique s'effectue à 15 ans. Nous avons potentiellement en tant qu'enseignants de lycée devant nous des élèves bien plus doués en mathématique que nous ne le serons jamais. Pascal a découvert l'hexagramme mystique à 16 ans. Impossible dès lors de bluffer devant les élèves sous risque de perdre tout crédit. Il faut jouer cartes sur table et leur transmettre des connaissances telles que nous les avons. Qu'est-ce qu'un point? En géométrie, tout se résume finalement à cette question. En ce qui me concerne, comme je méconnais le point de vue d'Hilbert sur la question, c'est un élément de l'ensemble $\mathcal E$ de espace affine $(\mathcal E,E,v)$ grâce auquel je modélise dans un espace proche l'espace physique; comme c'est hors de question d'introduire la notion d'espace affine à un élève de lycée, une possibilité consiste à lui définir un point comme un élément de $E$, une fois choisie une origine dans $\mathcal E$. Bref, à un isomorphisme près, un point d'un plan est un élément de $\mathbb R^2$, ie tout simplement un couple de nombres tel que vu dès la classe de 5è. Le reste, Serge Lang l'a exposé dès 1976 je crois, dans Linear algebra I. Dans Calculus où il reprend certains de ces points de vue, il écrivait qu'il l'avait appris d'Artin. Difficile d'imaginer mieux. Même de la part de nos grands penseurs en didactique de la mathématique.

Mathurin

@stfj , tu proposes en gros de revenir à la présentation (éventuellement allégée des espaces affines) des espaces vectoriels en seconde telle qu'elle se faisait dans les années 70. Peut-être d'une façon moins axiomatique et plus géométrique.

A l'époque cela a causé beaucoup de problèmes pour de nombreux élèves ( @gerard0 t'en parlera). D'autres en ont nettement profité. La seule solution, il me semble, serait de proposer des parcours différenciés dès la classe de seconde, certains faisant des ev, d'autres pas.

Ci-joint les programmes en question et la table des matières d'un ouvrage (l'ouvrage débute ensuite par une leçon sur la logique, non prévue au programme. Source : Monge, Hautcoeur et Tardieu, ed Belin)

stfj

Je ne propose de revenir à rien. Je fais. Tout le long de ce fil, j'ai essayé de montrer ce que je fais depuis 25 ans. Par pragmatisme, par nécessité, par goût personnel aussi il faut bien l'avouer. Dans une classe surchargée de 26 élèves, une bonne dizaine d'élèves n'a pas de compas ou fait semblant de ne pas en avoir pour éviter de se mettre au travail. Qu'à cela ne tienne, je leur fais placer $$(5,0), (4,3), (3,4), (0,5) $$dans un repère et les autres points par symétrie. Au moins, ils ont la trace d'un cercle $\mathcal C$ dans $\mathbb Z^2$. Oh tiens, c'est marrant, je peux en profiter pour leur faire faire une affinité $aff:(x,y)\mapsto (2x,y)$ : ils obtiennent ainsi une ellipse. Cela tombe bien, je dois faire un cours aux troisièmes sur la sphère et la boule : j'ai mon cours babar près. Ne me restera plus qu'à leur caser les parallèles et les méridiens et à leur filer le procédé mnémotechnique : laPAR de meLON, que j'ai appris en CM1 je crois. Un mélange de cynisme, de mal-être au travail, de nécessité de tenir la barre malgré tout pour moi et pour mes élèves.

Mais finalement, ça marche. Et je vais très loin ainsi. Je peux montrer à mes sixièmes la relation entre l'angle au centre et les angles inscrits (voir plus haut). Ou alors un truc qui leur plaît beaucoup et qui leur fait comprendre l'intérêt d'apprendre la définition points alignés : le théorème de Pappus. On peut même aller très loin et toujours avec $\mathcal C$ ou même $aff(\mathcal C)$, l'hexagramme mystique de Pascal dans un cercle et dans une conique. Les gosses commencent à s'éclater, ça parle à la maison. Le prof est breton, bourru mais il leur fait des maths, et pas seulement les exercices répétitifs et peu enthousiasmants nécessaires à l'apprentissage, mais aussi de la belle mathématique : des transvections, des rotations , des similitudes directes et indirectes; en 3è, je leur montre $z\mapsto z^2$ qui transforme un triangle en une parabole; aucune limite (comme Jimmy Dillies l'a montré, tu peux parler de dualité projective en collège(voir plus haut)). Et Dillies n'est pas un prof de collège dont c'est le métier de s'adresser à des jeunes entre 11 et 14 ans.

Je ne propose de revenir à rien. Je revendique le recours exclusif à l'algèbre linéaire pour préparer mes cours de géométrie depuis 25 ans. C'est jouable, je l'ai joué pendant 25 ans. Je suis un peu arrivé par hasard dans ce boulot. Quand j'ai préparé le CAPES, les cours proposés m'ont vite gavé. En gros, j'ai passé mon année de prépa au CAPES à lire Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel et deux livres de Jean Dieudonné dont Algèbre linéaire et géométrie élémentaire. Et je t'avoue, @Mathurin, que je ne reconnais rien des propositions du directeur de l'IREM de Strasbourg ou du maître d'Alexandre Grothendieck dans les livres d'enseignement secondaire des années 70. Par contre, récemment, j'ai découvert Compléments de géométrie algébrique, le tome 3 du cours de sup/spé de Doneddu, 1972. Et là l'influence de Dieudonné est criante. C'est de la mathématique vivante, c'est rigoureux, c'est voler dans les airs au-dessus du marais. Michèle Audin cite le livre de Frenkel dans sa bibliographie à Géométrie. Quand j'ai préparé l'agrégation à Jussieu, les professeurs partageaient mon admiration pour le travail  de Dominique Martinais et François Liret pour le DEUG.

Je lis avec intérêt les remarques des uns et des autres : cela me fournit d'autres outils intéressants pour mes cours, d'autres approches que la mienne, intéressantes pour mes élèves (Sur un site de profs de maths, tu dis que tu fais faire des transvections à des 6è, on te prend pour un fou, on t'insulte; j'ai tenu $\frac12-$journée.)

Dom

C’est bien ce que je disais. Tu veux TE convaincre que tu as bien fait de prendre telle ou telle décision. Et tu cherches un appui. Comme je l’ai dit : à l’impossible, nul n’est tenu. Ainsi, dans une situation que tu décris très bien (pas de compas, pas de volonté de travailler, aucun moyen de coercition…), tu en as déduit TA pratique. Mais enseigner, c’est très personnel. Ainsi, d’autres sont (ou ont été) dans exactement la même situation que toi mais ont trouvé autre chose. LEURS pratiques. Chacun la sienne.
Ainsi, tu crois démontrer ce qu’il faut faire partout mais c’est un péché d’orgueil. Tu ne pourras pas convaincre car tu n’es pas dans une analyse objective. Tu es dans l’analyse de TOI, et TA pratique. 

C’est difficile de se battre pour que les élèves apportent leur matériel. 

C’est difficile de se battre pour « forcer » tous les élèves à travailler. 

Je ne critique pas cet « abandon » (à l’impossible…).
Mais en devenir donneur de leçon « moi, je sais désormais ce qu’il faut que tout le monde fasse », c’est vain, naïf, et… prétentieux. 

Je reste cependant convaincu que les exercices proposés qui jouent (ce n’est pas péjoratif) avec les coordonnées sont très pertinents. 

stfj

@Dom : tu as raison. Donc pour le collège, c'est réglé; reste le lycée. Je me mets à rêver. Exercice : on se place dans $E:=\mathbb R^2$ euclidien. On désigne par $K(E)$ l'ensemble des compacts de $E$. On admet que la distance h de Hausdorff entre deux compacts est bien une distance. Soit $T$ un triangle avec son intérieur, et soit $T':=Fr(T)$ sa frontière. Déterminer $h(T,T')$. On pourra imaginer un exercice similaire avec le rectangle.

stfj

Je poursuis ma lecture de la postface du livre de géométrie de Daniel Perrin. L'humour et les connaissances encyclopédiques de  l'auteur y sont d'une redoutable efficacité.
Déjà Frenkel écrivait en 1973: "la "géométrie élémentaire"-au sens où on l'entendait dans l'enseignement secondaire avant la dernière guerre mondiale- a mauvaise presse. Ignorée de l'enseignement universitaire, elle disparaît de l'enseignement secondaire. C'est à la fois heureux et déplorable.
Heureux car les méthodes d'exposition se sont améliorées depuis les Grecs, déplorable car l'intuition géométrique est d'un précieux secours dans toutes les branches des mathématiques. 
Ce cours est destiné aux professeurs de l'enseignement secondaire. Leur tâche est difficile, car le rôle joué par les mathématiques, la nature de cette science, sont mal perçus du grand public, donc des enfants, en grande partie précisément à cause de l'enseignement traditionnel de la géométrie."(l'aveugle et le paralytique)

stfj

Chez nos amis allemands de wikipédia, voici ce qu'on peut lire : (§8 de l'article Géométrie analytique)
"La géométrie analytique a été fondée par le mathématicien et philosophe français René Descartes . Des extensions importantes sont dues à Leonhard Euler , qui s'est notamment occupé des courbes et des surfaces du second ordre. Le développement du calcul vectoriel (par Hermann Graßmann, entre autres ) a permis la notation vectorielle qui est courante aujourd'hui.

David Hilbert a prouvé que la géométrie analytique tridimensionnelle est pleinement équivalente à la géométrie euclidienne (synthétique) sous la forme qu'il a spécifiée . En termes pratiques, il est de loin supérieur à cela. Dans la première moitié du XXe siècle, on a donc estimé que la géométrie telle qu'elle avait été enseignée depuis Euclide n'avait qu'un intérêt historique.

Le collectif d'auteurs Nicolas Bourbaki est même allé plus loin : il s'est complètement débarrassé des concepts géométriques tels que point, droite, etc. et a considéré tout ce qu'il fallait dire avec le traitement de l'algèbre linéaire . Ce faisant, bien sûr – comme toujours chez Bourbaki – les besoins des mathématiques appliquées sont complètement ignorés."

Ils écrivent par ailleurs(§2) : " l'utilisation de vecteurs dans les systèmes de coordonnées cartésiens semble si naturelle que "l'algèbre linéaire et géométrie analytique » sont généralement enseignées comme un seul cours au niveau secondaire supérieur et dans les études de premier cycle mathématiques-physiques-techniques."

JLapin

C'est très bien la géométrique analytique et c'est couramment pratiqué à partir de la classe de 4e et bien davantage à partir de la seconde. Qu'est-ce que qu'il te faut de plus en fait ?

biguine_equation

Bonjour, 
j’en reviens à mon obsession du raisonnement dans l’espace. 

Voici des exemples d’exercices qu’on donnait à ce que l’on appelait autrefois les PREMIÈRE S.
On peut évidemment les traiter par l’algèbre linéaire avec équations de droites et de plans mais le bénéfice intellectuel qu’on en retire à le traiter sans est tout aussi intéressant. Avant de se jeter comme un affamé sur l’algèbre linéaire, on essaie, avec candeur, de se représenter mentalement un plan flottant dans l’espace et des droites le traversant, ou encore des plans se coupant etc…