Enseigner la géométrie en 202... : quelle place pour l'algèbre linéaire ?
Réponses
-
Merci stfj pour cette vidéo de Daniel Perrin, très lumineux comme d'habitude.Sur le fond ses arguments pour l'enseignement au collège des cas d'"égalité" des triangles me paraissent convaincants.La gestion des invariants (y compris les rapports d'aires en situation affine) permet d'éviter d'avoir à exhiber systématiquement les transformations en jeu.Au lycée ta proposition, me parait consister à éviter le recours aux points notés par des lettres (structure affine) pour à la place se contenter d'un traitement purement vectoriel et algébrique.
Cela me parait négliger le fait que l'enseignement des mathématiques dans le secondaire n'a pas comme priorité la formation des profs et chercheurs en mathématiques, mais plutôt 5 publics différents :- 1 monsieur et madame tout le monde (les citoyens) au collège- 2 l'armée des techniciens et artisans au collège et aux lycées technologique et professionnel (ils ont besoin de géométrie à l'ancienne)- 3 les physiciens et ingénieurs au lycée général- 4 les informaticiens au lycée général- 5 les statisticiens, économistes et médecins au lycée général
Il faut notamment ne pas négliger les catégories 2 et 3 et ne pas se polariser comme on le fait aujourd'hui sur les 4 et 5.Ces catégories ont besoin, il me semble, d'une géométrie qui distingue les points des vecteurs.Cordialement -
@Mathurin :pour la formation de la catégorie 1 au collège, je pense que ce qui est fait aujourd'hui est cohérent :
* repérage en particulier dans le premier quadrant d'un repère en 6è
* En 5è, repérage dans un repère pour illustrer l'intérêt des nombres relatifs, et introduction des couples tels que $$(5,-3)$$
* étude des symétries orthogonales en 6è,
* symétrie centrale en 5è, éventuellement en lien avec la notion d'opposé d'un nombre relatif et $$\mathcal P\to \mathcal P$$$$(5,-3)\mapsto (-5,3)$$
* homothéties simples, translations, projections, affinités, transvections, similitudes, projection centrale... dès la classe de 6è(voir développements dans ce fil) pour disposer d'un arsenal suffisant pour illustrer les cours de 4è et de 3è
* Chapitre Nature des nombres en 3è qu'on ne résume plus en $$\N\subset \Z\subset\D\subset\Q\subset \mathbb R$$mais cela revient au même
* Chapitre baptisé repérage, en 3è et qui revient essentiellement en l'introduction de $$\mathbb R^3:=\{(x,y,z):z,y,z\in \mathbb R\}$$
Ma proposition ne revient pas à éviter le recours aux points notés par des lettres : par exemple au bout d'un trimestre, plus aucun élève de 6è n'hésite quand il doit placer le point $A=(5,3)$ dans son repère, surtout quand il a vu que $$\mathcal P\to \mathcal P$$$$(5,3)\mapsto (3,5)$$ lui permet de faire de la symétrie par rapport à la première bissectrice aisément. Il est vrai que cela ne lui servira guère dans sa carrière de chauffeur de bus, de coiffeuse, de cuisinier, de secrétaire, de travailleur dans une usine d'armement,... Pas plus que la musique de Mozart étudiée au collège. Mais cela a en tout cas la vertu d'être simple et néanmoins profond.
Une géométrie sans verticale [direction de l'axe $(Oy)$], sans horizontale[direction de l'axe $(Ox)$], sans oblique (direction différente de la direction verticale et de la direction horizontale), sans dessus dessous, sans gauche, sans droite, sans intérieur, extérieur, frontière, distance à une partie, sans point à l'infini (je rappelle que la perspective avec points de fuite est étudiée dès la classe de 5è en Arts plastiques) n'est pas une géométrie adaptée à l'enfant de 10/11/12 ans. Prétendre éduquer nos enfants, en particulier leur apprendre à se repérer d'une part et leur enseigner une géométrie isotrope d'autre part est une contradiction qui ne résiste évidemment pas à la réalité du terrain en collège.
-
Pour illustrer mon propos précédent sur le fait que ne pas disposer le plus tôt possible d'un vocabulaire mathématique tel que demi-plan, intérieur, dessus, dessous,... est impossible dans le cadre de l'enseignement des mathématiques en 6è/5è, je prendrai l'exemple des angles alternes-internes. Cette notion - et la notion associée de bande délimitée par deux droites parallèles -est fondamentale car on l'utilise pour démontrer par exemple en 5è que la somme des angles d'un triangle est 180° ou encore parler de hauteur d'un parallélogramme relative à une base ou hauteur issue d'un sommet dans un triangle. Soit donc $A$ et $B$ deux droites parallèles. On définit la partie interne à $A$ et à $B$ soit en disant que c'est une notion évidente soit en précisant : intersection du demi-plan limité par $A$ contenant $B$ et du demi-plan limité par $B$ contenant $A$. Vient alors la notion classique de sécante $S$ coupant ces deux parallèles. Pour ma part, je n'hésite pas une seule seconde à parler de partie gauche de la sécante $S$ et de partie droite et du haut de la bande $\{A,B\}$ et du bas de la bande, ni de la partie intérieure à la bande. J'y suis contraint par le fait qu'il va falloir expliquer qu'on alterne : "un angle en haut, un angle en bas, un angle à gauche, un angle à droite". Je n'ai jamais eu de la part de mes élèves d'objection d'ordre mathématique mais même si une telle objection intervenait, rien de plus facile que de montrer par exemple les demi-plans $$x\geq 0, x\leq 0, y\geq 0, y\leq 0$$Je ne sais pas si un équivalent aussi simple et adapté à des 11/12 ans existe dans le cadre d'une géométrie telle que la géométrie d'Euclide/Hilbert/Birkhoff. De toute façon, je n'en ai pas besoin : ma formation mathématique à l'université me suffit amplement. [j'ai le Géométrie élémentaire(géométrie plane) à l'usage des classes de 4è et 3è A et B de Ch. Vacquant et A. Macé de Lépinay sous les yeux : sont définis naïvement les notions de demi-droite, segment,... Je vais regarder plus avant pour les demi-plans,...]
-
Après une brève recherche, je constate avec surprise que, sauf erreur de ma part, la notion de demi-plan est absente des livres anciens de mathématiques que je possède : les Brachet-Dumarqué; Arithmétique et géométrie(première année) d'Anna Cartan; Géométrie, classes de 4è et 3è de Vacquant et Macé de Lépinay, cités plus haut; ou encore un manuel de chez LIGEL, 1961, d'une réunion de professeurs, Classes de 5è.
-
Je confirme que le Vacquant et Macé de Lépinay "éléments de géométrie" de 1908 que je possède, s'il parle bien de demi-droite, n'évoque pas les demi-plans. Ils parlent tout au plus de "côté d'une droite".ex : "Par un point O d'une droite AB on peut toujours mener, d'un côté de de cette droite, une demi-droite perpendiculaire à cette droite, et on n'en peut mener qu'une." (p11)
-
Dans le chapitre Structure d'espace vectoriel mis en lien, les connaissances géométriques stricto sensu nécessaires à la compréhension du cours par l'étudiant de 1ère année sont très limitées et l'étudiant pourra à juste titre se demander pourquoi il a fourni tant d'efforts au collège et au lycée en géométrie pour finalement n'utiliser qu'une ou deux connaissances de base. Par contre, une grande familiarité avec les couples, les triplets, les quadruplets de nombres, $\mathbb R^2$, $\mathbb R^3$, des égalités telles que $$(2, 7) = (5,−2) − 3(1,−3)$$des écritures telles que $ F = \{ (x, y) \in \mathbb R^2 | x^2 + x + y^2 = 0 \},\mathcal F = x + F = \{ f + x | f \in F \} $ lui sera d'une aide précieuse. En 1964, on envisageait d'enseigner tout cela dès la seconde, je ne vois pas le problème pour le faire en 2023. Par contre, ne pas le faire, j'y vois un soucis d'égalité puisque quelques cours particuliers devraient pallier sans peine à la dispersion opérée au collège et au lycée. Encore faut-il pouvoir les fournir à l’élève.
-
@stfj , le but des connaissances géométriques acquises dans le secondaire, n'est pas seulement d'introduire à l'algèbre linéaire.Elles possèdent une valeur propre en elles-mêmes, notamment pour la physique et l'ingénierie, mais également en tant que culture générale.Ce n'est pas la faute du lycée s'il y a si peu de géométrie dans l'enseignement supérieur (cf le cours de D Perrin qui décrit ce qui devrait être au programme de licence).La géométrie ne se réduit pas à l'approche linéaire. On peut regarder par exemple la géométrie absolue de Bachmann. (voir aussi ici )A part cela, le bon cours de Christophe Berthault, si on le réduit au type fini, n'est pas très loin de ce qui était enseigné autrefois au lycée. Si on lui ajoute la dualité, il est proche de ce qui était enseigné autrefois en prépa.
-
@Mathurin : dans sa préface de 1964 à Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Jean Dieudonné écrit que derrière "Géométrie pure", "Géométrie analytique", "Trigonométrie", "Géométrie projective", "Géométrie conforme", "Géométrie non-euclidienne", "Théorie des nombres complexes", se cache toujours une seule et même discipline : l'Algèbre linéaire.
Je viens d'étudier Quadrilatère à trois angles droits dans le disque de Poincaré proposé par Yves Martin : c'est pour le moins intéressant pour le professeur de 6è que je suis qui enseigne la propriété selon laquelle un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle. Mais je ne vois aucune contradiction avec l'affirmation de Dieudonné dont j'ai pu vérifier à maintes reprises la pertinence, y compris pour l'orientation que j'ai donnée à mon enseignement au collège.
« Nous souhaitons, au minimum, que tous les programmes de licence destinés aux futurs maîtres fassent une place à une réflexion sur la géométrie. Un tel enseignement pourrait s’appuyer sur les acquis des étudiants en algèbre linéaire et être centré sur les groupes de transformation, dans l’esprit du programme d’Erlangen, avec un regard sur les géométries non euclidiennes. » (Commission Kahane, Rapport d’étape sur la géométrie, p. 25).
Comme le montre Dieudonné, comme le montre Serge Lang, comme le dit le rapport de la commission Kahane, toutes les connaissances solides en géométrie de la plupart des enseignants de mathématiques proviennent de l'algèbre linéaire. Il me semble dès lors paradoxal pour le moins, de s'interdire d'en faire un minimum part aux élèves; et si l'on s'interdit de leur enseigner l'algèbre linéaire, au moins par honnêteté intellectuelle , les renvoyer à ce qui constitue la base scientifique de nos cours. (Je préfère leur apprendre que $$12-4=8.12+4=16$$
Du seul point de vue restreint de l'amateur de fractales, cela paraît insensé. (En illustration, courbe de Lévy obtenue avec deux similitudes dont $(x,y)\mapsto \frac12(x-y,x+y)$) -
@Mathurin : j'ai des avis totalement contraires aux tiens (à l'exact opposé). Le but des connaissances géométriques acquises dans le secondaire est exclusivement d'introduire à l'algèbre linéaire. Elles n'ont aucune valeur propre en elles-mêmes, notamment pour la physique et l'ingénierie où le travail dans l'espace vectoriel réel $\mathbb R^3$ est systématiquement privilégié. Elles n'ont que peu de valeur propre en tant que culture générale(pour citer Bourbaki, "la géométrie classique a fâné, même si l'esprit de géométrie infuse partout dans la mathématique moderne.") De façon plus factuelle, si la géométrie classique n'est plus enseignée à l'université sur toute la planète dans les premières années universitaires, c'est qu'elle ne suscite de travaux que chez quelques mathématiciens spécialisés et n'a aucun intérêt pour la plupart des domaines de recherches actuels en mathématiques. La géométrie se réduit à l'approche linéaire. Déjà Gauss, Argand, Hamilton... l'avaient compris. Il n'y a aucune différence entre algèbre et géométrie(tu demandes à Claire Voisin d'exposer simplement la géométrie projective : elle commence par rappeler que $$k(u+v)=ku+kv$$ Christophe Berthault enseigne conformément au programme ce qui sera utile à ses brillants étudiants et il serait plus que temps de renvoyer quelques notions à enseigner dès la classe de seconde en arrêtant de disperser les lycéens vers des connaissances qui ne leur serviront jamais à rien, comme le chantait Jacques Brel. Depuis 25 ans que j'enseigne, la plupart des collégiens qu'on me confie, n'en ont rien à secouer. Les "besoins en géométrie élémentaire des techniciens" seront pourvus par quelques travaux bien choisis dans $\mathbb Z^2$, qui serviront de support à des travaux aux instruments de dessin(équerre, compas, pantographe,...), de motivation à l'apprentissage des définitions et de quelques raisonnements déductifs comme je l'ai montré tout au long du fil. Bien sûr, je respecte tes avis et la vérité est probablement située quelque part entre les uns et les autres. Là où je te rejoins, c'est sur les orientations conjoncturelles à courte vue données à l'enseignement des mathématiques en France( j'ajouterais "par des politiciens médiocres en particulier en mathématique"). Toute cette longue discussion avec les uns et les autres, je la mène en espérant changer utilement mon point de vue très tranché du départ de la discussion; mais, malgré de la bonne volonté de ma part, plus je la mène, plus mon avis se conforte.
-
Stfj : "Le but des connaissances géométriques acquises dans le secondaire est exclusivement d'introduire à l'algèbre linéaire. Elles n'ont aucune valeur propre en elles-mêmes, notamment pour la physique et l'ingénierie "Absurde !!
Va enseigner dans un lycée sections techniques industrielles.
Ça tourne à la monomanie ... -
On introduit $\mathbb R^3$ en troisième dans le cadre du repérage : c'est la seule connaissance sur l'espace mis à part les calculs triviaux de volume en 6è, 5 è , 4è et 3è. Donc en lycée sections techniques industrielles, les élèves qui arrivent en début de seconde disposent de l'ensemble $\mathbb R^3$. Ils disposent par ailleurs depuis la 5è de $\mathbb Z^2$ et donc en troisième de $\mathbb R^2$. J'imagine qu'on leur enseigne $$xx'+yy'$$ et qu'ils adoptent vite cette définition du produit scalaire de $(x,y)$ et de $(x',y')$. Il me semble que pour des calculs industriels, cela vaudrait mieux que de demander à une machine d'utiliser un rapporteur en bois ou en plastique. (Que cela soit mal introduit aux élèves par des méthodes inadéquates ne rentre pas en ligne de compte.)
-
@stfj : écris un article et adresse-le à une revue "orientée enseignement". Je me permets un conseil : adopte un style plus modéré et interroge-toi sur les réserves exprimées par des collègues.
-
« Les connaissances géométriques (…) n’ont que peu de valeur propre en tant que culture générale. »C’est pas un peu violent et définitif ça aussi ? Même appuyé par une citation de Bourbaki ? À ce propos, les Bourbakistes ont oublié de dire que l’esprit de géométrie a aussi infusé partout dans la physique moderne. Elle est au cœur des réflexions d’Einstein et de Poincaré par exemple. Une culture générale sans géométrie, c’est une voiture sans roues. (Moi aussi, je peux le faire !)
Par contre, je reconnais qu’on ne peut plus décemment parler de ça à un collégien: il va trop avoir le seum. -
@Magnéthorax : tu as raison, je vais essayer de faire un effort.
@biguine_equation : sortie de son contexte , la phrase « Les connaissances géométriques (…) n’ont que peu de valeur propre en tant que culture générale » est évidemment absurde. Tout mon questionnement est : qu'entend-on par "connaissances géométriques acquises par un élève entre 10 et 19 ans "? Ce que j'affirme, c'est que si les connaissances acquises au collège ne sont pas explicitées au lycée par le point de vue de l'algèbre linéaire, cela risque fort d'être des pseudo-connaissances ne méritant pas le nom de "culture générale". Qu'est-ce qu'un point ? un élément d'un espace vectoriel(*). Qu'est-ce qu'un vecteur ? un élément d'un espace vectoriel. Le reste, la géométrie d'Euclide-Hilbert-Birkhoff, qui a nourri les réflexions de Poincaré entre autres, est -nous le savons tous- du domaine du mathématicien spécialiste. Même la notion d'espace affine tant prisée en 2023 dans les lycées, n'est maîtrisée que par l'enseignant et non par l'élève. Les connaissances actuelles en géométrie de tous les élèves français entre 10 et 19 ans ne sont pas de la culture générale, c'est des châteaux de carte, des constructions sur du sable que seuls les tout meilleurs transformeront en connaissances réelles, via l'algèbre linéaire. Ce que je pense est que mieux vaudrait le faire dès la seconde plutôt que d'attendre la L3(**).
________________________________________________________
(*) Même dans le cadre d'un espace affine $(\mathcal E,E,v)$, dès qu'on choisit une origine $O$ adaptée à un exercice donné, le point $M\in \mathcal E$ s'identifie au vecteur $\vec{OM}\in E$ ; un point d'un espace projectif est une droite vectorielle...
(**) Il suffirait d'écrire pour $A=(1,2,3) $ et $B=(4,5,6)$ $$(1,2,3)+(4,5,6)=(5,7,9), 2.A=(2,4,6)$$ $$A.B=4+10+18$$par exemple : même en fin de troisième avec des cancres, aucun problème, alors pourquoi attendre la terminale? C'est ridicule à mon humble avis. Ce n'est pas de la géométrie non euclidienne mais c'est des CONNAISSANCES SOLIDES, c'est de la culture générale scientifique digne de ce nom.
(***) $\forall n>1, B$ est sur la $n-$sphère de diamètre $[-A,A]\iff \|B\|^2=\|A\|^2\iff B-A.B+A=0$. Quelle est la culture générale de nos élèves de 10 à 19 ans sur ce point ? Que sauront-ils jamais du tesseract ? ... Tu prétends apprendre à nager, t'enseignes la brasse... alors qu'il y a le crawl ? Tes élèves vont avoir le seum -
Pour prouver que la géométrie en coordonnées s'applique au monde réel on ne peut pas se baser sur la géométrie en coordonnées. Les papiers quadrillés ne poussent pas sur les arbres. Comment a-t-on pu les construire?
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Foys : ton argument est valable jusqu'en fin de collège. Si en début de lycée, l'élève a suffisamment pratiqué dans un quadrillage depuis l'école maternelle jusqu'en classe de 3è, qu'est-ce qui s'oppose encore à ce qu'on lui introduise $\mathbb R^2$ comme un nec plus ultra pour synthétiser,unifier simplement toutes les connaissances acquises pendant ces nombreuses années passées à l'école, ainsi qu'introduire de nouveaux outils qui lui seront utiles dans ses études post-baccalauréat ?
Je suis par ailleurs tout à fait d'accord avec ton point de vue, la pratique enseignante montrant vite que le recours exclusif à un seul et même support ne rallie pas toute une classe : pour la symétrie axiale par exemple, il faut du pliage, du découpage, du calque, du travail avec les instruments de dessin sur feuille blanche, du travail sur quadrillage [et pourquoi pas $(2,5)\mapsto (5,2)$]... comme préconisé par les programmes d'ailleurs. Bref, il faut prendre son temps et accorder du temps aux collégiens pour s'approprier des connaissances. Mais le lycée a d'autres exigences, n'est-ce pas ?
Grâce à internet, j'ai vu des mathématiciens parler de dualité dans les espaces projectifs à des collégiens, d'autres d'homotopies à des lycéens. Et des enseignants dont c'est le métier ne seraient pas capables d'enseigner l'une des notions les plus simples des mathématiques, la notion d'espace vectoriel à travers un exemple, l'espace vectoriel réel $\mathbb R^2$?
-
stfj: si j’avais un semblant d’influence sur l’enseignement, je ne me servirais pas de la géométrie du secondaire pour préparer le terrain à l’apprentissage de l’algèbre linéaire ! Même si l’inverse me semble plus cohérent, l’idéal serait quand même de faire les deux en même temps (quitte à diviser les connaissances acquises par 2 ou plus).
Par exemple, on peut relier la notion d’espace engendré par un vecteur-colonne à celle de point projectif, puis on montre que ce point projectif est une droite passant par l’origine. Puis on enchaîne avec les droites, les plans projectifs etc… Ainsi, on donnerait corps (c’est le cas de le dire) à des notions abstraites d’algèbre linéaire. Je ne sais pas si c’est jouable au collège… -
@biguine_equation : quand je demande à mes 6è ce qu'est la première bissectrice du repère, ils me répondent actuellement assez fréquemment : "c'est la droite qui passe par $(1,1), (2,2), (3,3),...$" On n'est pas loin de la définition de l'algèbre linéaire : $d=\mathbb R u $, avec $u=(1,1)$, une droite vectorielle de $\mathbb R^2$. J'ai multiplié les exemples tout au long du fil de cette discussion, où l'algèbre linéaire est presque à portée du collégien. Que tout ce matériel du programme de collège ne soit pas utilisé au lycée pour introduire mathématiquement l'espace vectoriel euclidien $\mathbb R^2$, cela m'interpelle.
-
@stfj , quelques points :
- Bourbaki n'a jamais rien dit en matière de pédagogie et la compétence de Dieudonné sur le sujet se limitait à la formation des mathématiciens créateurs.
- si l'on enseigne les maths à l'école, au collège, au lycée et même en licence ce n'est pas dans l'optique de former des mathématiciens, c'est un objectif qui n'apparait qu'en M1.
- l'objectif de l'enseignement des maths durant toute ces années, c'est, je l'ai dit :
1 le citoyen
2 le technicien et l'artisan
3 l'ingénieur, le physicien et l'architecte
4 l'informaticien
5 l'économiste, le statisticien, le médecinLes catégories 2 et 3 ont besoin d'une intuition géométrique, ce que n’est pas l'algèbre linéaire. (et non! en physique on ne travaille pas seulement dans IR^3, entendu parler des torseurs ? etc.)
La catégorie 1 a besoin d'une culture générale en géométrie synthétique (et cela plait beaucoup) qui au-delà du calcul forme au raisonnementEn revanche je suis d'accord avec toi :
- ce qui est enseigné à l'école et au collège en la matière est très insuffisant
- on pourrait tout à fait enseigner l'algèbre linéaire à partir de la seconde dans certaines classes (cela donnerait un second point de vue ce qui est un enrichissement)
- la notion d'espace affine est difficile à manipuler et on pourrait peut-être en faire l'économie (sous réserve des besoins du physicien qui parle du point d'application d'une force). -
Bonjour,Je suis entièrement de l'avis de @Mathurin : l'algèbre linéaire, même si cela représente LE concept unificateur de toute la mathématique, me semble trop abstraite pour le collège ...Bien cordialement, JLB
-
@stfj ,
Qui plus est, tu fais totalement l’impasse sur l’argumentaire de Daniel Perrin, dans ses textes et dans la vidéo que tu mets en lien.
Il milite au collège, pour une axiomatique basée sur « les cas d’égalité des triangles ». Cela a pour avantages :
- D’être en phase avec le programme d’Erlangen (invariants)
- De permettre une initiation à l’argumentaire logique (démonstration)
- D’éviter dans les démonstrations, d’avoir à construire explicitement les transformations, ce qui est très calculatoire et lourd
- A une époque où on parle beaucoup de « donner du sens », de favoriser la compréhension intuitive au lieu du calcul « bête » de la géométrie des coordonnées
- De plaire aux élèves. -
Tiens ! La discussion a continué (j’entends que d’autres l’ont fait sortir du monologue auto-congratulant).stfj a décidé de faire l’impasse sur tous ses contradicteurs, c’est commode.Cette discussion semble servir de se convaincre (difficilement) que ce qu’il fait est ce qu’il faut faire.
-
Il me semble qu'il est déjà convaincu, cette discussion a pour objectif de convaincre les autres de faire comme lui. Est-ce qu'il y arrive ? J'imagine que cela dépend des lecteurs. En ce qui me concerne, c'est plutôt le cas même si j’émets des réserves sur le fait qu'il faut préserver le "voir les choses".
Je ne suis pas convaincue par l'argument culture générale ni par l'introduction au raisonnement que l'on peut faire autrement encore moins sur le fait que cela plairait aux élèves, nettement plus par l'intuition géométrique par contre.Mais on est sur de la pure idéologie concernant ce qui est important à enseigner ou pas, personne n'a raison ou tort, charge à chacun de faire en fonction de ses possibilités et convictions personnelles dans son enseignement (en restant dans le cadre autorisé bien sûr).C'est un débat sans fin et je suis d'accord que l'insistance déraisonnable risque de toute façon d'être plus contre productive qu'autre chose.La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley) -
@Mathurin : les propositions de Daniel Perrin sont extrêmement intéressantes. Utiliser les cas d'égalité des triangles ne me pose aucun problème de méthode sauf dans les cas rares où on les utilise pour démontrer des propriétés strictement affines. De toutes façons, les cas d'égalité des triangles sont des conséquences des axiomes de l'algèbre linéaire euclidienne. Je crois que nous sommes en réalité globalement d'accord, et j'ai lu avec plaisir ton avis sur les espaces affines au lycée.
@jelobreuil : je suis d'accord avec toi, l'algèbre linéaire est trop abstraite pour le collège mais cela n'interdit pas de la préparer [ notion de couple, notion d'application quand on applique à un point donné un procédé donné pour obtenir un autre point, homothéties vectorielles simples, ...] Par contre, au lycée, ne pas l'enseigner comme aujourd'hui en 2023 me paraît déplorable. -
En effet, Vassillia. Il y a de l’idéologie un peu partout et donc ici aussi. Cela me va très bien.J’avais mis le doigt sur « de toute manière ils n’ont pas le matériel » et dès cet instant, d’une part je comprends le pragmatisme (ils n’en ont pas et il faut bien faire « avec » - plutôt « sans » d’ailleurs) mais d’autre part ce n’est plus du tout une question réfléchie en terme de « l’idéal dans l’absolu ce serait ». Et pourtant c’est le discours…
Aussi, affirmer « on pourrait faire ça partout, à tous les élèves, dans tous les établissements quels qu’ils soient », n’est pas idéologique. C’est soit vrai, soit faux. Je dis que dans les conditions de 2023 (le titre du fil), c’est faux.Cependant, le discours était plutôt sur le collège au départ et on a peu à peu (sans se cacher, ce n’est pas une critique !) glissé vers le lycée, voire le supérieur. À cet égard, je suis bien moins réfractaire…
Attention tout de même : quand on ne « voit » plus les figures en géométrie, car on remplace tout par des matrices (disons-le comme ça), je pense qu’on va davantage perdre un public qu’en ramener. Si c’est annoncé, au moins c’est clair. Si c’est un non-dit, cela est alors hypocrite. -
Comme tu l'écris, @Dom, ma réflexion porte sur le lycée, voire le supérieur. Ce qui est fait au collège - je l'ai d'ailleurs déjà écrit - me paraît satisfaisant.
Prenons une connaissance basique d'un lycéen : l'ensemble des points équidistants de deux points distincts $A$ et $B$ est l'hyperplan médiateur de $[AB]$; décliné en dimension $2$ par la médiatrice de $[AB]$, et en dimension $3$ par le plan médiateur de $[AB]$. Pour moi, c'est un résultat algébrique : cela ne m'a jamais intéressé de savoir comment on pouvait le démontrer dans un autre système d'axiomes que celui d'un espace vectoriel euclidien. Tout ce qui est dit et qui n'est pas purement algébrique concernant ce résultat me paraît a priori déplacé. La démonstration de lycée doit être $$\forall M, MA=MB\iff \vec{MA}.\vec{MA}=\vec{MB}.\vec{MB}\iff...$$, ce qui me va très bien. Mon propos consiste à dire que toute autre démonstration non algébrique fait perdre du temps à l'élève lambda et le désoriente. Mais je veux bien qu'on me prouve que j'ai tort par une telle démonstration où je verrais le profit pour des élèves.
Je suis par ailleurs preneur d'un tel point de vue pour justifier que l'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ est la médiatrice de $[AB]$, ce que j'ai toujours fait admettre en partie au moins à mes élèves de collège. (poussé par la curiosité, je viens de consulter un ouvrage pour la classe de 5è par une réunion de professeurs, chez Ligel, 1961 : la démonstration est trivialement fausse !! Sans doute est-ce fait correctement dans le Vacquant-Macé de Lépinay mais à quoi bon ? D'un côté une géométrie que même des enseignants aguerris ne maîtrisent pas, de l'autre une géométrie avec des résultats aussi triviaux et élégants pour un lycéen que $$(A+B)^2=A^2+B^2\iff AB=0$$avec un corps professoral qui, n'ayant été formé qu'à la deuxième, ... -
Bonjour @stfj
tu as dis "ma réflexion porte sur le lycée voire le supérieur", et tu as dit "toute autre démonstration non algébrique fait perdre du temps à l'élève lambda".
Quelle est ta définition de l'élève lambda ? Peut-on encore parler d'élève lambda quand au lycée on commence déjà à ce spécialiser ? (ton premier document est une feuille d'exercice de terminale scientifique). Même question pour le supérieur.
-
bonjour @Barjovrille : ce que j'appelle élève lambda, c'est un élève qui utilise les maths comme un outil et qui n'a besoin que d'explications efficaces pour bien utiliser ses outils. La plupart des élèves de TS sont des élèves lambda. Quand j'étais en classes préparatoires, le meilleur élève de tout le lycée m'avait dit un jour qu'il n'en avait pas grand chose à faire des maths; tout ce qui l'intéressait était de reprendre la banque de son père. Il y a cinq mathématiciennes et mathématiciens créateurs qui naissent en France chaque année. Tout le monde se moque du cercle à neuf points ou du théorème de Dandelin. Par contre, pour en revenir au produit scalaire, mieux vaut en disposer dans le cadre des séries de Fourier par exemple. Et je doute que l'élève qui passe naïvement du temps à lire avec application le document feuille d'exo de TS joint ci-dessus, soit un jour reconnaissant à l'égard de l'enseignant qui lui a fait perdre ainsi son temps, alors que grâce aux cours particuliers qui lui étaient dispensés, le fils du banquier savait que cela ne lui serait d'aucune utilité.
-
stfj a dit: poussé par la curiosité, je viens de consulter un ouvrage pour la classe de 5è par une réunion de professeurs, chez Ligel, 1961 : la démonstration est trivialement fausse !!
La bande à Ligel n'avait pas une réputation de massacreurs. Peut-on avoir une copie de la page en question ? -
Les débutants ne sont pas préparés à la véritable rigueur mathématique; ils n'y verraient que de vaines et fastidieuses subtilités; on perdrait son temps à vouloir trop tôt les rendre trop exigeants; il faut qu'ils refassent rapidement mais sans brûler d'étapes, le chemin qu'ont parcouru lentement les fondateurs de la science. (HP)
-
Le point $O$ est la trace de la bissectrice $Mx$ sur la droite $AB$. So what ?
-
Il n'est nul part dit que $O$ est la trace de la bissectrice $Mx$ sur la droite $AB$. Je suis d'accord que si l'on rajoute cet argument, la justification devient valable pour un élève de 5è. Mais, ce qu'il y a, c'est que l'argument est absent.
-
Par ailleurs, comme l'écrivait Poincaré dans la science et l'hypothèse, ces subtilités n'apparaîtront que comme vaines et fastidieuses à un élève de 12 ans ; et on perd son temps à vouloir leur proposer une telle "démonstration". Mieux vaut leur faire admettre en le leur disant clairement, explicitement et appliquer à des résultats moins évidents et plus intéressants et adaptés à leur âge. N'est-ce pas? Par contre, le lycéen doit disposer d'une démonstration, et -toujours comme l'écrivait Poincaré- il faut que ce soit fait rapidement.
-
La figure le suggère. Et le "traçons OM" dit bien que le point O est placé au départ (sinon ce serait étrange de dire "traçons OM s'il on n'a pas O).
Dans ces conditions on ne peut pas qualifier cela d'une erreur.
Bien entendu, je n'aime pas trop cette façon de faire car elle crée de l'ambiguïté (la preuve !).
Notamment la figure contient un codage d'angle droit... (non admis au départ).
Peut-on avoir la page précédente ?
-
Merci.En effet, ce livre et mal fichu (ou au moins cette partie là). On commence par une définition de la médiatrice et la figure ne contient rien comme information. Je pense que c’est bien maladroit.Par contre, je pense que c’est la manière la plus pertinente de faire en 6e (en corrigeant les implicites, en renseignant proprement les figures ou les hypothèses).La définition empirique de la symétrie (« pliage ») devient mathématique (« médiatrice ») grâce à ces ”preuves”.
Et c’est très faisable en 2023.Certes, on pourrait ergoter que ce ne sont pas des preuves formelles. -
Je me lance sans filet, mais avec les mains (c'est plus pratique pour taper sur le clavier).Il y a deux propositions à démontrer. Dans la suite, on appelle $O$ le milieu de $[AB]$ et l'on note que $O$ se trouve sur la médiatrice de $[AB]$ et à égale distance de $A$ et $B$.Soit $M$ un point de la médiatrice de $[AB]$ distinct de $O$, autrement dit les droites $(OM)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires. On associe les triangles $OAM$ et $OBM$ par$ \begin{aligned}
O&\leftrightarrow O, &
M&\leftrightarrow M, &
A&\leftrightarrow B.
\end{aligned}
$On a $OA=OB$ et $\mathrm{mes}(\widehat{AOM})=\mathrm{mes}(\widehat{BOM})$. Les triangles $OAM$ et $BOM$ vérifient la même condition C-A-C (ils ont le côté $[OM]$ en commun), donc ils sont égaux. Ainsi, $AM=BM$ et $M$ se trouve à égale distance de $A$ et $B$.Soit maintenant $M$ un point à égale distance de $A$ et $B$. On associe les triangles $OAM$ et $OBM$ comme précédemment. Ces triangles ont le côté $[OM]$ en commun. De plus, $AO=OB$ et $AM=BM$. Les triangles $OAM$ et $OBM$ vérifient la même condition C-C-C, donc ils sont égaux. Ainsi, $\mathrm{mes}(\widehat{AOM})=\mathrm{mes}(\widehat{BOM})$. Ces angles sont supplémentaires, donc $\mathrm{mes}(\widehat{AOM})=\mathrm{mes}(\widehat{BOM})=\tfrac{\pi}{2}$. On conclut que $(OM)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires, autrement dit $M$ se trouve sur la médiatrice de $[AB]$.Arrivé là, que ne voit-on pas de nos yeux grands ouverts ? ... Ciel, pas trace d'axiome des parallèles à l'horizon !!! Que de la géométrie neutre. C'est à peine croyable !Ça donne envie de démontrer que la bissectrice d'un angle (des angles plan-plan de quatrième, on ne s'emballe pas) est l'ensemble des points à égale distance des côtés de l'angle. C'est presque aussi simple. Tout est dans le presque... il faut quand même définir au préalable la distance d'un point à une droite (sans utiliser l'axiome des parallèles, on reste en géométrie neutre, juste pour la beauté du geste) et connaître un peu plus que trois cas d'égalité des triangles (disons au moins quatre...). -
@ericpasloggue: les deux démonstrations me conviennent pour mes collégiens. Par contre, je ne sais pas ce que tu appelles "géométrie neutre". Quant à l'axiome des parallèles, selon moi, les cas d'égalité nécessitent d'avoir utilisé de nombreux résultats préalables. S'il s'agit d'une justification acceptable pour des collégiens, je ne pense pas qu'il soit honnête de conserver le mot "démonstration" pour des lycéens.
-
Pour des lycéens, voici ce qui me vient en tête, très (trop?) rapidement mis en forme : on leur introduit $\mathbb R^2$ euclidien puis
\begin{align*}
d(M,A)=d(M,B)&\iff (M-A)^2=(M-B)^2\\
&\iff M^2-2AM+A^2=M^2-2BM+B^2\\
&\iff [M-\frac12(B+A)].(B-A)=0
\end{align*}
valable en dimensions $2, 3, 4, \dots$
-
N'importe quel moteur de recherche te dira ce qu'est la géométrie neutre (mais tu préfères peut-être le vocabulaire de Bolyai fils et parler de géométrie absolue)."Selon moi", les cas d'égalité des triangles sont indépendants de l'axiome des parallèles (et valides en géométrie hyperbolique).
A part cela, il ne me semble pas acceptable que cette démonstration soit qualifiée de "justification acceptable pour des collégiens" et de sous-entendre que ce ne serait qu'une vulgaire escroquerie à deux balles indigne d'un lycéen.À quoi a-t-il servi que Hilbert se décarcassasse voilà plus de cent ans ? -
@Ericpasloggue : je dois te faire confiance. Mais un rapide coup d’œil à mon Vacquant/Macé de Lépinay semble confirmer ce que tu dis, où l'axiome des parallèles apparaît après les cas d'égalité des triangles.
-
Rendons à Euclide ce qui appartient à Euclide.L'axiome des parallèles n'est utilisé dans les Elements qu'à partir de la proposition 29 (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI29.html), les cas d'égalité sont énoncés et "démontrés" aux propositions 4 (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI4.html), 8 (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI8.html) et 26 (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI26.html).Le théorème vraiment important pour démontrer une bonne partie des propriétés de géométrie de collège est celui de l'angle extérieur, proposition 16 d'Euclide (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI16.html), mais Euclide ne se rend pas compte qu'il lui manque un axiome à cet endroit, ce que Pasch corrigera plus tard.
-
Il faut tout de même rappeler que "chacun sait que le tour de force d'Hilbert dépasse de loin le niveau de l'Enseignement secondaire. Par contre, quelques années de collège sur le papier quadrillé devraient suffire pour accoutumer l'élève au maniement de l'addition des vecteurs et de leur multiplication par un réel. Et le prépareraient à admettre sans hésitation que l'on fonde l'édifice algébrico-géométrique sur des propriétés dont il lui est facile de vérifier l'exactitude expérimentale. Dès lors, à quoi bon surcharger sa mémoire de soi-disant "axiomes" qu'il lui faudra s'empresser d'oublier?" Ce texte de 1964 me semble être d'une cruelle actualité. Etant entendu que cet extrait était précédé par : "il ne faut pas manquer une occasion de donner des exemples de déductions logiques; ce qu'il faudrait faire parvenir à assimiler dès que possible, c'est qu'une proposition admise pour un motif quelconque, et dont la provenance n'entre pas en ligne de compte, on peut tirer d'autres propositions par le seul raisonnement." Alors pourquoi pas les cas d'égalité des triangles au collège, à condition de faire de l'algèbre linéaire associée à la géométrie à partir de la seconde, ce qui n'est toujours pas le cas en 2023, où les élèves ne savent même pas qu'ils travaillent en substance dans l'espace vectoriel réel $\R^2$
-
Par exemple, toutes les circumlocutions autour du parallélogramme en 5è, pour introduire la translation en 4è, que j'ai subies étant élève il y a quarante ans, c'est d'un ridicule achevé. Alors que la translation de vecteur $(5,2)$ est l'application qui à $M=(x,y)$ associe $M'$ défini par $$M\mapsto M'=(x+5,y+2)$$Cela me navre car quand j'étais en CE2, la maîtresse me reprochait de ne pas savoir décaler mon poisson de $5$ carreaux vers la droite et de $2$ carreaux vers le haut. A moins que ce soit en maternelle grande section. Véridique. Je trouve cela vraiment médiocre et un incroyable gâchis. C'est la raison pour laquelle je le fais dès le début de la 6è et ils comprennent évidemment fort bien non seulement ce qu'est une translation mais ce qu'est le vecteur $(5,2)$. La mathématique, toute élaborée qu'elle soit, n'est jamais qu'une des nombreuses techniques inventées par le cerveau humain. Une parmi tant d'autres et il ne faudrait pas en surévaluer l'importance. A la lumière de l'algèbre linéaire, la géométrie classique est essentiellement triviale et tant mieux : on peut ainsi faire des activités-éventuellement mathématiques- bien plus intéressantes.(exemple pour illustrer les fractions de dénominateur $2$ avec des 6è:
-
Stéphane, là, je crois que tu vas dans le décor ! Tu te laisses emporter par ton idée fixe !Explique-moi, je suis peut-être obtus, mais je ne vois absolument pas le rapport entre les fractions de dénominateur 2 et une capture d'écran de jeu vidéo guerrier présentée comme une étude des lignes de fuite dans une perspective !
-
Bonjour Jean-Louis.
Je suis trop elliptique et cela me rend parfois impossible à suivre.
Je suis en train de reprendre l'étude des fractions telles que $\frac58$ et $\frac{13}7$ avec mes 6è qu'ils placent sur des demi-droites graduées horizontales et verticales. Puis ils placent des points tels que $(\frac58,\frac{13}7)$. Pour rompre la monotonie de cette étude, je leur ai proposé de réaliser un "E" avec point de fuite en exploitant $$(5,12)\mapsto (\frac{5}{\color{red}2}\color{black},\frac{12}{\color{red}2}\color{black})$$
Je viens par ailleurs de découvrir parmi les ressources geogebra la très intéressante activité( mise à part l'image de guerre) sur la perpective avec point de fuite. Cette activité peut faire le lien entre les travaux en classe et des centres d'intérêt de certains de mes jeunes élèves, en général assez éloignés des mathématiques.
Comme j'évoquais la possibilité grâce au recours aux coordonnées de gagner en temps et en simplicité pour des explications sur la translation par exemple, j'ai fait ces associations d'idées.
Quant à mon idée fixe, comme elle donne l'occasion d'évoquer des travaux de Daniel Perrin, Charles Vacquant et Auguste Macé de Lépinay, Christophe Berthault, une réunion de professeurs chez Ligel en 1961, Henri Poincaré, Bolyai, Hilbert, Euclide, Dieudonné, ma maîtresse de CE2 , la commission Kahane, j'ai la naïveté de croire que c'est une idée fixe partagée par pas mal de monde .
-
@stfj
Pas d’accord avec ta caractérisation de l’élève lambda dans ta réponse à @Barjovrille . Pour toi « un élève moyen de TS » (il n’y en a plus aujourd’hui) « utilise les maths comme un outil » et tu l’opposes au mathématicien créateur.Il y a bien d’autres professionnels qui voient dans les maths autre chose qu’un outil, sans faire partie des quelques rares matheux créateurs. Pour eux, les maths sont d’abord un élément central de la culture scientifique et à ce titre s’investissent dans la démonstration mathématique. J’y mets tous les ingénieurs, informaticiens, physiciens, architectes, médecins, statisticiens, économistes, biologistes et médecins.
Je crois aussi que le citoyen, l’homme (ou la femme) de la rue a besoin au titre de la culture générale d’avoir accès à la démonstration mathématique. Comment le philosophe pourra faire de la philosophie s’il n’en a aucune idée ? Comment lira-t-il E Kant et Platon?
Par ailleurs, comme l’a fait remarquer Dom, il faudrait bien distinguer ce que tu préconises pour le collège (qui est universel dans son public et pas nécessairement dans ses méthodes) et ce que tu envisages pour le lycée (où on peut considérer différents objectifs et parcours).
Enfin tous les auteurs que tu cites n’ont pas les mêmes conceptions sur ce problème.
-
@Mathurin : les maths comme outil et les maths comme art sont tellement intimement liés qu'il est difficile pour moi de nuancer mon propos sur lequel ta critique porte.
Cela me fait penser au début de Symétrie et mathématique moderne d'Hermann Weyl. Il commence par parler de la beauté de la symétrie puis définit mathématiquement la symétrie bilatérale, "un concept strictement géométrique et non vague". "Peut-être aura-t-elle perdu, chemin faisant, son attrait émotionnel, mais elle aura conservé, ou même accru son pouvoir d'unification dans le domaine de la pensée. Enfin, elle sera exacte [NDRL: un outil], et non plus vague."
Malheureusement je n'ai pas le centième du talent d'Hermann Weyl. -
Bonjour Stéphane,Tout d'abord, merci de ne pas avoir pris la mouche suite à mon message un tantinet "border line" !Il est vrai qu'avec tes élèves, tels que tu les as décrits, tu dois sans doute faire preuve d'une grande inventivité pédagogique ...Toutefois, sans rien y connaître, je ne suis pas certain que les idées de Dieudonné, Poincaré et autres auteurs renommés soient directement applicables hic et nunc ...Bien cordialement, JLB
Bonjour!
Catégories
- 165.1K Toutes les catégories
- 58 Collège/Lycée
- 22.1K Algèbre
- 37.5K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 58 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 20 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.7K Géométrie
- 83 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 337 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 801 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
- stfj
- xax
- GG
- Julia Paule
- Foys
- nicolas.patrois
- Dom
- samok
- pldx1
- Héhéhé
- Sylvieg
- Vassillia
- lourrran
- JLT
- gai requin
- Cyrano
- Chaurien
- raoul.S
- jelobreuil
- Congru
- JLapin
- Ericpasloggue
- PetitLutinMalicieux
- biguine_equation
- rakam
- [Utilisateur supprimé]
- Mathurin
- Malgame
- Barjovrille
- Rescassol
- gerard0
- Magnéthorax
- Alain24
- Sato
- el_douwen
- kioups
- Barry
- Ir193
- rebellin