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Bicommutant d'un nilpotent

Modifié (January 2023) dans Algèbre
On pose $C(u)$ l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec $u$ et $C^2(u)$ le bicommutant de $u$ c'est-à-dire l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec tout $v\in C(u)$.

Je note $n$ la dimension de l'espace $E$.

Il faut trouver le bicommutant d'un nilpotent d'ordre $n$ (je l'ai posé $u\in L(E)$)

J'ai montré que : $\mathbb K[u] \subset C^2(u)$

Mais je bloque pour la deuxième inclusion. Il suffirait que $\text{dim}(C^2(u)) = n$ mais je doute que cela m'aide.
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Réponses

  • Nilpotent d'ordre $n$ dans un contexte où $n$ ne nous a pas été présenté, ce n'est pas clair. Veux-tu dire que $n$ est la dimension de l'espace, que $u^n=0$ et que $u^{n-1}\ne0$ ?
    Si oui, cela peut aider de choisir un vecteur $x$ tel que $u^{n-1}\ne0$ et de l'utiliser pour faire une base commode. Sinon, le résultat reste vrai mais c'est plus difficile.
  • @Math Coss Il faut que j'utilise la base $(x_0,\cdots,u^{n-1}(x_0))$ ?

    Ok je vais voir ça !
  • Si c'est une base, oui, elle est commode ! Elle permet de décrire complètement $\mathcal{C}(u)$.
  • @Math Coss Mais il faut prouver qu'un tel vecteur existe. Je ne vois pas comment prouver l'existence.
  • Tu n'as pas répondu clairement à la question : est-ce que tu supposes que la dimension est $n$ et que $u^{n-1}\ne0$ ?
    Si oui, il existe un vecteur $x$ tel que $u^{n-1}(x)\ne0$. De là on montre que $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ est une base (on vérifie facilement que c'est libre).
    Sans cette hypothèse, l'existence d'un vecteur $x$ n'est pas acquise (fausse en général), il n'y a pas de base de ce genre et le résultat est plus difficile à montrer.
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