Produit d'une famille de groupes

Bonjour,

Je propose cet exercice ludique: 
1) on admet la négation de l'axiome du choix
2) on se donne une famille $H$ de groupes
3) soit $h$ une application de source la source de $H$ qui à $i\in [dom] H$ associe $oubli(H(i))$
3) montrer que le produit $\Pi h$ est non vide.

Remarque: attention la "difficulté" est dans la rédaction.

Réponses

  • Foys
    Modifié (January 2023)
     La relation "$R(x,y):= x\in dom (H)$ et il existe $z$ tel que $(x,z) = y$ et $z$ est le neutre de $H(x)$ (édité) est fonctionnelle en $x$" (pour tous $x,a,b$, $R(x,a)$ et $R(x,b)$ entraînent $a=b$). Par le schéma de substitution, l'image de $dom(H)$ par $R$ est un ensemble qu'on notera $f$. Il est alors facile de vérifier que $f\in \Pi h$.
    Pourquoi mettre la négation de l'axiome du choix parmi les hypothèses? Il suffit juste de ne pas mettre ledit axiome (ni sa négation) et de travailler dans $ZF$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (January 2023)
    @Foys je travaille avec la négation de l'axiome du choix parce que le résultat est trivial avec l'axiome du choix, donc le seul cas problématique c'est quand on travaille avec la négation de l'axiome. Je sais, d'habitude on aime plutôt dire des choses telles que "sans utiliser l'axiome du choix", mais je préfère clairement voir ce qu'il se passe quand j'utilise l'axiome et aussi quand j'utilise sa négation.
    Pas mal ta solution, sinon je crois que tu as dis "neutre de $h(x)$" au lieu de "neutre de $H(x)$", faute de frappe je crois.
  • Je corrige la coquille. Quant à "sans utiliser l'axiome du choix", mais je préfère clairement voir ce qu'il se passe quand j'utilise l'axiome et aussi quand j'utilise sa négation"... Cette thématique est vraiment éloignée des considérations de l'axiome du choix donc je pense qu'on ne voit rien mais ce n'est que mon avis.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Le lien avec l'axiome du choix c'est qu'on voit un exemple de produit non vide d'une famille potentiellement infinie d'ensembles.
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