Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble
Réponses
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Il est intéressant de commencer à voir ce qu’il se passe pour les ensembles $E$ finis.Allez ! On peut commencer par l’ensemble vide puis par un ensemble à un seul élément, puis …
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amafhh : bonjour. Posant $\kappa=\mathrm{Card}(E)$, nous avons $\mathrm{Card}(\mathfrak{P}(E))=2^{\kappa}$ et $\kappa<2^{\kappa}$.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Et si par exemple $\kappa=\aleph_0$, il y a quelque cardinal entre $\kappa$ et $2^\kappa$ ?
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Je ne comprends pas la question !
Sinon, il est assez facile d'exhiber une bijection entre $\mathfrak P(E)$ et les applications de $E\to 2$Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Math Coss a dit :La question est classique :Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
1) C'est du français oral. C'est vrai qu'il aurait mieux valu écrire : « Y a-t-il quelque cardinal entre $\aleph_0$ et $2^{\aleph_0}$ ? »2) Aucun doute qu'amafhh ne s'intéresse pas à la question (dont je connais la réponse), c'était une blague (médiocre voire mauvaise). Le sous-entendu (vaguement malveillant) était que quand on note un cardinal $\kappa$ plutôt que $n$, on se place plutôt dans le monde des ensembles infinis (même si, bien sûr, ça ne change rien à la réponse) et on dépasse probablement le cadre de la question initiale.
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1) existence du cardinal $2^\kappa$: AC2) Il me semble que $\lnot HC$ n'est pas incompatible avec ZFC.
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HC est indépendant de ZFC (Gödel et Cohen)Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
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@amafhh Pour la question du fil: $\emptyset$ est la seule partie de $\emptyset$. Etant donné un ensemble $F$, un objet $x$ n'appartenant pas à $F$ et une partie $G$ de $F$, comment à partir de $G$ construire deux parties différentes de $F \cup \{x\}$? (penser à la manière la plus simple de faire).Quant aux mystérieux "$2=\{0,1\}$", il s'agit d'une définition, mais quand on regarde les étapes de début de la construction, ça n'est pas si mystérieux que ça. L'incantation "on pose ..." signifie qu'on introduit une abréviation.On pose $0:=\emptyset$, puis on pose successivement...$1:= \{0\}$,$2:= \{0,1\}$$3:= \{0,1,2\}$$4:=\{0,1,2,3\}$$5:= \{0,1,2,3,4\}$ ...Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Je pense que le français n'est pas la langue natale de @amafhh. Il fait déjà des efforts pour s'exprimer de manière compréhensible. Alors je ne vois pas l'intérêt de chipoter sur une histoire de syntaxe plus ou moins bancale, alors que tout le monde a compris la question.
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Ma remarque sur le français visait le texte de @Math Coss (et encore, suite à sa remarque condescendante), pas @amafhhIl ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
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En effet, en deux temps trois mouvements, c’est vite parti pour faire fuir l’auteur du fil…
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Je précise que je n'ai fait que répondre à la question suivante :Quelle est la relation entre Card(P(E)) et Card(E) ?
Je ne vois pas l'intérêt d'aller plus loin, sans connaître le niveau de l'initiateur du fil.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Et j'ai donné une indication qui permet de le démontrer facilementIl ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
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Et je crois que l'initiateur du fil avait déjà la réponse avant d'initier le fil. 😅
Après l'indépendance de HC comme référencé par @Médiat_Suprème est une précision sur mon message précédent qui répondait à la question de @Math Coss.
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1) Observer que $x \mapsto \{x\}$ est une injection de $E$ dans $\mathcal P(E)$.2) Soit $f : E \to \mathcal P(E)$ quelconque. Observer que $\{x \in E \mid x \not \in f(x)\}$ n'est pas dans l'image de $f$.3) Conclure.
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@Médiat_Suprème : OK.
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