Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble

amafhh

Bonjour

Soit E en ensemble et P(E) l'ensemble de toutes les parties de E.
Quelle est la relation entre Card(P(E))  et Card(E)  ?
Merci beaucoup.

Dom

Il est intéressant de commencer à voir ce qu’il se passe pour les ensembles $E$ finis. 

Allez ! On peut commencer par l’ensemble vide puis par un ensemble à un seul élément, puis …

Thierry Poma

amafhh : bonjour. Posant $\kappa=\mathrm{Card}(E)$, nous avons $\mathrm{Card}(\mathfrak{P}(E))=2^{\kappa}$ et $\kappa<2^{\kappa}$.

Math Coss

Et si par exemple $\kappa=\aleph_0$, il y a quelque cardinal entre $\kappa$ et $2^\kappa$ ?

Médiat_Suprème

Je ne comprends pas la question !

Sinon, il est assez facile d'exhiber une bijection entre $\mathfrak P(E)$ et les applications de $E\to 2$

Math Coss

La question est classique : existe-t-il un cardinal $\lambda$ tel que $\aleph_0<\lambda<2^{\aleph_0}$ ?

(Je doute que quelqu'un qui se demande comment calculer le cardinal de l'ensemble des parties soit capable de déchiffrer que $2$ est l'ensemble $\{0,1\}$.)

JLapin

Math Coss a dit :$2$ est l'ensemble $\{0,1\}$.)

Tu voulais dire $2$ est l'ensemble $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ je suppose !

Médiat_Suprème

Math Coss a dit :

La question est classique :

Certes, mais mal posée "il y a quelque cardinal entre $\kappa$ et $2^\kappa$ ?", ce n'est même pas en français, et je doute que quelqu'un qui se demande comment calculer le cardinal de l'ensemble des parties soit intéressé par HC.

Math Coss

1) C'est du français oral. C'est vrai qu'il aurait mieux valu écrire : « Y a-t-il quelque cardinal entre $\aleph_0$ et $2^{\aleph_0}$ ? »

2) Aucun doute qu'amafhh ne s'intéresse pas à la question (dont je connais la réponse), c'était une blague (médiocre voire mauvaise). Le sous-entendu (vaguement malveillant) était que quand on note un cardinal $\kappa$ plutôt que $n$, on se place plutôt dans le monde des ensembles infinis (même si, bien sûr, ça ne change rien à la réponse) et on dépasse probablement le cadre de la question initiale.

[Utilisateur supprimé]

1) existence du cardinal $2^\kappa$: AC

2) Il me semble que $\lnot HC$ n'est pas incompatible avec ZFC.

Médiat_Suprème

HC est indépendant de ZFC (Gödel et Cohen)

Foys

@amafhh Pour la question du fil: $\emptyset$ est la seule partie de $\emptyset$. Etant donné un ensemble $F$, un objet $x$ n'appartenant pas à $F$  et une partie $G$ de $F$, comment à partir de $G$ construire deux parties différentes de $F \cup \{x\}$? (penser à la manière la plus simple de faire).

Quant aux mystérieux "$2=\{0,1\}$", il s'agit d'une définition, mais quand on regarde les étapes de début de la construction, ça n'est pas si mystérieux que ça. L'incantation "on pose ..." signifie qu'on introduit une abréviation.

On pose $0:=\emptyset$, puis on pose successivement...

$1:= \{0\}$,

$2:= \{0,1\}$

$3:= \{0,1,2\}$

$4:=\{0,1,2,3\}$

$5:= \{0,1,2,3,4\}$ ...

Martial

Je pense que le français n'est pas la langue natale de @amafhh. Il fait déjà des efforts pour s'exprimer de manière compréhensible. Alors je ne vois pas l'intérêt de chipoter sur une histoire de syntaxe plus ou moins bancale, alors que tout le monde a compris la question.

Médiat_Suprème

Ma remarque sur le français visait le texte de @Math Coss (et encore, suite à sa remarque condescendante), pas @amafhh

Dom

En effet, en deux temps trois mouvements, c’est vite parti pour faire fuir l’auteur du fil…

Thierry Poma

Je précise que je n'ai fait que répondre à la question suivante :

Quelle est la relation entre Card(P(E))  et Card(E)  ?

Je ne vois pas l'intérêt d'aller plus loin, sans connaître le niveau de l'initiateur du fil.

Médiat_Suprème

Et j'ai donné une indication qui permet de le démontrer facilement

[Utilisateur supprimé]

Et je crois que l'initiateur du fil avait déjà la réponse avant d'initier le fil. 😅
Après l'indépendance de HC comme référencé par @Médiat_Suprème est une précision sur mon message précédent qui répondait à la question de @Math Coss.

Poirot

1) Observer que $x \mapsto \{x\}$ est une injection de $E$ dans $\mathcal P(E)$.

2) Soit $f : E \to \mathcal P(E)$ quelconque. Observer que $\{x \in E \mid x \not \in f(x)\}$ n'est pas dans l'image de $f$.

3) Conclure.

Martial

@Médiat_Suprème  : OK.