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Corrigé de l'agreg interne 2016

Modifié (January 2023) dans Concours et Examens
Bonjour
Je cherche le corrigé du sujet de la première épreuve de l'agreg interne 2016. Est-ce que par hasard quelqu'un aurait ça sous la main ?
Bonne année à tous
Gimax
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Réponses

  • En voici un et un autre, trouvés sans peine sur http://concours-maths-cpge.fr/.
  • Merci Math Coss. Je n'aurais pas pensé à chercher sur un site de cpge. Je garde ça en tête pour l'avenir.
  • Ils sont magnifiques les corrigés d'Olivier Halgand. J'ai parcouru de loin, rarement vu des corrigés aussi bien rédigés et jolis à voir. 
  • Par contre, la solution de 11.(b) proposée me semble nettement meilleure dans l'autre corrigé. J'avais bien aimé ce sujet et l'avais cherché. Je recopie ici ma solution pour cette question, sans récurrence, si cela peut intéresser quelqu'un.
    Soit $k\in\N$. Soit $A=\{(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\N^n\mid\alpha_1+\cdots+\alpha_n\leqslant k\}.$ Il s'agit de montrer la liberté de la famille $(x^\alpha)_{\alpha\in A}$ où, pour tout $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in A$, $$\begin{aligned} x^\alpha\colon \{(x_1,\dots,x_n)\in\R^n\mid x_1^2+\cdots+x_n^2\leqslant 1\} &\to \R \\ (x_1,\dots,x_n) &\mapsto x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}\end{aligned}.$$ Soit $(\lambda_\alpha)_{\alpha\in A}\subset\R$. Supposons que $f:=\sum_{\alpha\in A}\lambda_\alpha x^\alpha=0$. Pour tout $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in A$, on note $Q_\alpha$ le polynôme $\sum_{i=1}^n\alpha_iX^{i-1}$ et l'on fixe un entier $N$ suffisamment grand de sorte que : $$\forall (\alpha,\alpha')\in A^2, \quad \alpha\neq\alpha'\implies Q_\alpha(N)\neq Q_{\alpha'}(N).$$ Pour tout réel $t\in[0,1/n]$, pour tout entier $i\in[1,n]$, si $x_i=t^{N^{i-1}}$ alors $$x_1^2+\cdots+x_n^2\leqslant 1 \quad \text{et} \quad  f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{\alpha\in A}\lambda_\alpha t^{Q_\alpha(N)}.$$ Il s'ensuit que le polynôme $P:=\sum_{\alpha\in A}\lambda_\alpha X^{Q_\alpha(N)}$ est nul, d'où $\lambda_\alpha=0$ pour tout $\alpha\in A$.
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