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Développement agrégation interne : théorème spectral

Modifié (December 2022) dans Algèbre
Bonjour,
je m'intéresse à l'appropriation de la preuve du théorème spectral. Je me suis inspiré de plusieurs preuves trouvées un peu partout, je vous propose ci-dessous une rédaction d'un développement d'agrégation interne à ce sujet. J'aimerais juste savoir si cela vous semble satisfaisant ou s'il faut rajouter des choses !
Les notions d'endomorphismes symétriques, bases orthonormales (notamment leur existence) et la définition de l'orthogonal d'un espace vectoriel sont des prérequis. 
Théorème spectral.
Soit $E$ un espace euclidien de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$.
Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $E$.
Alors $f$ est diagonalisable dans une base orthonormale de $E$.
Preuve. Notons $A$ la matrice de l'endomorphisme $f$ dans une base orthonormée de $E$. La matrice $A$ est donc une matrice symétrique réelle (cela fait partie des prérequis mais c'est facilement démontrable).
Le corps $\mathbb{C}$ est algébriquement clos donc le polynôme caractéristique de $A$ admet au moins une racine complexe. Ainsi, $A$ admet au moins une valeur propre complexe notée $\lambda$.
Montrons que $\lambda \in \mathbb{R}$.
$\lambda$ est une valeur propre de $A$ donc il existe un vecteur propre $Z \in \mathbb{C}^n$, $Z \neq 0$ tel que : $AZ=\lambda Z$ .
En passant aux conjugués, on obtient : $\overline{A}\overline{Z}=\overline{\lambda}\overline{Z}$ donc $A\overline{Z}=\overline{\lambda}\overline{Z}$ car $A$ est réelle.
Donc $\,^t \overline{Z} \,^t A= \overline{\lambda} \,^t \overline{Z}$
Ainsi, $\,^t \overline{Z} AZ = \overline{\lambda} \,^t \overline{Z}Z$ (en utilisant le fait que : $\,^t A=A$ car $A$ est symétrique) .
Par conséquent, on obtient : $\lambda \,^t \overline{Z}Z = \overline{\lambda} \,^t \overline{Z}Z$ (en utilisant le fait que $AZ=\lambda Z$) .
Donc $(\lambda - \overline{\lambda}) \,^t \overline{Z}Z = 0 $ . On note $Z=\begin{pmatrix}
z_1 \\
\vdots \\
z_n \\
\end{pmatrix}$ . (Merci AD !!! :) )
Ainsi, $(\lambda - \overline{\lambda}) \sum\limits_{i=0}^n |z_i|^2 =0$ . Or, $\sum\limits_{i=0}^n |z_i|^2>0$ (car $Z \neq 0$ donc au moins un des $z_i$ est non nul).
Par conséquent, $\lambda = \overline{\lambda}$ donc $\lambda \in \mathbb{R}$.
Ceci prouve alors que toutes les valeurs propres complexes de $A$ sont en fait réelles et que la matrice $A$ admet au moins une valeur propre réelle.
On peut maintenant prouver le théorème spectral. On raisonne par récurrence sur $n$.
Pour $n=1$, le résultat est clair.
On suppose que la propriété à démontrer est vraie au rang $n-1$ .
Par ce qui a été fait précédemment, on sait qu'il existe une valeur propre réelle pour la matrice $A$ donc pour l'endomorphisme $f$ associé. Notons $\lambda$ cette valeur propre. Alors il existe un vecteur propre $e_1 \in E$, $e_1 \neq 0$ et $e_1$ unitaire , tel que $f(e_1)=\lambda e_1$ .
Notons $H=(vect \{e_1\})^{\perp}$ . On a donc : $\dim H = n-1$ .
Montrons que $H$ est stable par $f$ (i.e : $f(H) \subset H$) . Soit $y \in f(H)$ . Alors, il existe $x \in H$ tel que $f(x)=y$.
On calcule : $\langle y,e_1 \rangle=<f(x),e_1>=<x,f(e_1)>$ car $f$ est symétrique.
Donc $<y,e_1>=\lambda <x,e_1>=0$ car $x \in H$ . Donc $y \in H$ .
Ainsi, $H$ est stable par $f$ donc $f$ induit un endomorphisme symétrique sur $H$ que l'on notera $\tilde f$ . 
Comme $H$ est de dimension $n-1$, par hypothèse de récurrence, il existe une base orthonormale de  formée de vecteurs propres de $\tilde{f}$ donc de $f$. Notons $B'=(e_2,e_3,...,e_n)$ cette base.
Comme $vect \{e_1\} \oplus^{\perp} H=E$, alors la famille $(e_1,...,e_n)$ est une base orthonormale formée de vecteurs propres de $f$ donc $f$ est diagonalisable.
Edit : quelques ajouts et corrections ont été faits, merci JLapin pour tes précieux conseils, merci Math Coss, merci AD également !!! :D:)
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Réponses

  • Modifié (December 2022)
    Tu oublies un point important : l'endomorphisme induit par $f$ sur $H$ est encore un endomorphisme symétrique, ce qui permet d'appliquer l'hypothèse de récurrence.
    Et sur la dernière somme directe, il faudra rajouter un $\perp$.
    Par ailleurs, tu pourrais noter tes bases (et pus généralement tes familles de vecteurs) en utilisant des parenthèses plutôt que des accolades. C'est plus courant maintenant.
    Sinon, c'est assez clair.
  • Modifié (December 2022)
    Ah oui, c'est un oubli important de ma part merci !!! :)
    Tu parles de la notation : $\oplus^{\perp}$ ? Je vais rajouter cela !
    Ah ok pour les familles de vecteurs. Mais je n'aime pas la notation entre parenthèses, je vais faire un effort ^^' C'est comme la nouvelle notation pour la transposée : je ne l'aime pas vraiment hahaha ^^'
    Merci beaucoup pour tes commentaires JLapin, c'est très gentil !!! :DDD
  • Il me semble que ça peut devenir intéressant si on propose plusieurs démonstrations (ce fil en recense plusieurs -- avec une typologie par votre serviteur que je relis avec plaisir...), qu'on en détaille une et qu'on présente une ou deux idées différentes pour telle ou telle partie (probablement l'existence d'une valeur propre).
  • Modifié (December 2022)
    @NicoLeProf
    Il faudrait mieux parler d'endomorphisme induit que de restriction.
  • La différence : si $u:E\to E$ et $F$ est stable, la restriction de $u$ à $F$ est $u_{|F}:F\to E$, $x\mapsto u(x)$, alors que l'endomorphisme induit est $u_F:F\to F$, $x\mapsto u(x)$.
    (Ça va devenir une spécialité, voire un emploi à plein temps, de développer les messages de JLapin.)
  • Modifié (December 2022)
    Et moi, je vais développer ton développement :)
    L'endomorphisme induit est comme son nom l'indique un endomorphisme (et à ce titre, peut être symétrique, diagonalisable, etc.) alors qu'une restriction perd a priori son statut d'endomorphisme.
  • Modifié (December 2022)
    Merci Math Coss et oui JLapin, merci beaucoup, j'y avais pensé mais je ne voyais pas comment formuler cela.
    Je pourrais écrire : comme $H$ est stable par $f$ alors $f$ induit un endomorphisme sur $H$ que l'on notera $\tilde f$ .

  • La notation $f_H$ est relativement standard.
  • Modifié (December 2022)
    Dans ton plan, tu auras peut-être mentionné la définition de l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien avec entre autre la propriété de stabilité par $f^*$ de $F^\perp$ dès que $F$ est stable par $f$.
    Tu peux te servir de cette propriété pour démontrer plus rapidement que $Vect z^\perp$ est stable par $f$ puisque $f^*=f$.

    Et comme suggéré, si tu parviens à être assez synthétique sur ta première preuve, tu auras peut-être le temps de développer une deuxième idée de preuve.

  • D'accord, merci ! Il faudra que je réfléchisse à la question. Cela dépend de la leçon. Si c'est la réduction des endomorphismes de manière générale, cela risque d'être compliqué de caser en plus quelques notions sur l'adjoint. Je verrai bien ! ^^'

    Par contre, même avec ce thème de leçon plus général, j'essaierai d'arriver au théorème spectral tout de même et de le proposer en développement pour faire un développement plus original.
  • L'adjoint est au programme officiel du concours : tu penses que tu n'as pas le droit de t'en servir directement dans une telle preuve, présenté ou non dans le plan ?
  • La notation avec les accolades pour les familles est plutôt à éviter car, contrairement aux ensembles, il peut y avoir des répétitions et l'ordre compte.
  • Modifié (December 2022)
    Je pense que pour m'en servir, je dois : ou bien le mettre dans ma leçon avant de prouver le théorème spectral ou bien signaler au jury que cela fait partie des prérequis et qu'on admettra le fait que $F^\perp$ est stable par $f^*$ du moment que $F$ est stable par $f$.

    Évidemment, je dois être en mesure de le redémontrer mais ça me semble facile : ça l'est même, je viens de le faire : que c'est beau l'algèbre, vraiment j'adore !!! 

    Merci Héhéhé (j'adore ce pseudo haha ^^ ), c'est un excellent argument, je vais donc adopter les parenthèses pour les familles dorénavant.
  • J'ajoute également que les crochets pour le produit scalaire (ou plus généralement pour un crochet de dualité) se notent avec \langle et \rangle plutôt que < et > qui sont des opérateurs de comparaison.
  • Une remarque accessoire : dans la première partie on démontre pour pas plus cher que toutes les valeurs propres sont réelles. 
  • Modifié (December 2022)
    C’est le développement que j’avais choisi l’année où j’ai été reçu. Pense à la taille du tableau ! La discussion avait ensuite continué jusqu’à évoquer différentes preuves du théorème de Caley Hamilton.

    Au passage, je conseille aux candidats de suivre la chaîne Youtube maths adultes, tous les mercredis soir il y a un direct de préparation au concours. Ce n’est pas aussi complet qu’une « prépa » mais cela permet de bien se mettre dans le bain et l’animateur est très sympathique. Je pense que cela a été un facteur de ma réussite.
  • Modifié (December 2022)
    Ah ok merci beaucoup philou ! J'espère que la taille du tableau sera suffisante... Je vais m'entraîner dans ma salle au collège quand j'aurai des heures de trous où j'imagine que mon tableau est bien plus petit... J'essaierai d'écrire mes développements en expliquant dans le temps imparti.

    Ah oui j'adore les vidéos de Gilles de Maths adultes !!! :):smiley:
  • Excellente idée, et la lecture des rapports est très importante, une part importante de la performance est liée au respect du format des épreuves qui est certes assez artificiel mais clairement spécifié.
  • Modifié (December 2022)
    Oui, je vois. Le jury ne t'arrête pas dès que le temps imparti est terminé? Et il ne te prévient pas 1 minute ou 2 avant la fin de la présentation du plan puis du développement?
  • « L’ » autre développement se fait avec la compacité. La preuve utilise d’ailleurs une méthode qu’on utilise souvent pour les endomorphismes symétriques, à savoir qu’on démontre que le min et le max d’une certaine application sont les min et max [des valeurs absolues] des valeurs propres.

    Tiens j’ai un doute sur la partie entre crochets. Vite un Gourdon ou équivalent 😀
  • En fait, on démontre que le max de $x\mapsto (x|f(x))$ sur la sphère unité est une valeur propre (pas de valeur absolue).
  • Le min aussi est une valeur propre (qui peut, comme l'autre, être négative).
  • Ah une preuve en lien avec la topologie ! Mince !
    Je vais me renseigner mais la topologie : ce n'est vraiment pas ma tasse de thé... :s:#:'(
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