Quotients isomorphes

UItraviolet

bonjour à tous, 

je ne parviens pas à comprendre pourquoi si deux anneaux isomorphes $A \simeq B$ et $I$ un idéal contenu dans $A$ et $B$ alors $A/I \simeq B/I$. Je n'ai rien trouvé avec le premier et le second théorème d'isomorphisme pour les anneaux ni avec tous les diagrammes possibles, et je ne parviens pas à trouver l'argument clef permettant de conclure à cette implication qui doit être pourtant immédiate.

merci d'avance

Poirot

Il y a une ambiguïté dans ce que tu racontes, $I$ est un idéal de $A$ ou de $B$ ? (les deux étant a priori distincts)

Si l'on désigne par $\varphi : A \to B$ un isomorphisme d'anneaux et $I$ un idéal de $A$, alors je te laisse démontrer que $\varphi(I)$ est un idéal de $B$ et $A/I$ est isomorphe à $B/\varphi(I)$ par $x \text{ mod } I \mapsto \varphi(x) \text{ mod } \varphi(I)$.

UItraviolet

Pour le coup $I$ est contenu à la fois dans $A$ et aussi dans $B$, avec par exemple $A=\mathbb{Z}[\sqrt{{10}}]$ (le sous-anneau de $\mathbb{C}$ engendré par $\sqrt{10}$) qui est isomorphe à $B=\mathbb{Z}[X]/(X^{2}-10)$ (premier théorème d'isomorphisme) et l'idéal engendré par 2 est contenu à la fois dans $A$ et dans $B$, donc $A/(2)\simeq B/(2)$ ?

JLapin

Ce n'est pas le même $2$ dans les deux cas, donc pas le même idéal.

Math Coss

Et même si on identifie les $2$ en arguant que chacun des anneaux contient un sous-anneau canonique isomorphe à $\Z$, l'ensemble des $2a$ avec $a\in A$ n'est pas identique à l'ensemble des $2b$ avec $b\in B$.

Petit diagramme : \[\xymatrix{A&&B\\&\Z\ar@{^{(}->}[ul]\ar@{^{(}->}[ur]}\]

UItraviolet

Oui c'est totalement vrai, décidemment ça a du mal à rentrer ahah