Deux irréductibles non associés sont premiers entre eux ?

UItraviolet
Modifié (December 2022) dans Algèbre
Bonjour à tous
Je sollicite votre aide sur un problème que je n'arrive pas à lever. J'ai lu ceci : «les irréductibles $X^{2}-X+1~et~X^{2}+X+1~de~\mathbb{R[X]}$ ne sont pas associés. Ils sont donc premiers entre eux.» Or je ne comprends pas pourquoi 2 polynômes non-associés et irréductibles sont forcément premiers entre eux, contre-exemple : $X-1$ et $(X-1)X^{2}$ sont non-associés, irréductibles tous deux et pourtant leur PGCD vaut $X-1$. 

J'espère qu'un œil extérieur avisé saura me dire quelle aberration j'ai écrit plus haut. 

Merci d'avance. 
"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann

Réponses

  • $(X-1)X^2$ n'est certainement pas irréductible !

    Si $P$ et $Q$ sont irréductibles non associés alors leur PGCD vaut $1$ : Soit $R$ est un diviseur commun à $P$ et $Q$. Alors $R \mid P$ donc $R$ est inversible ou $R$ est associé à $P$. De plus, $R \mid Q$, donc soit $R$ est inversible, soit $R$ est associé à $Q$. Puisque $P$ et $Q$ ne sont pas accosiés, c'est que $R$ est inversible.
  • Merci beaucoup j'avais du mal avec la notion d'irréductible, c'est beaucoup plus clair. 
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
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