Meilleure approximation affine et dérivabilité

Magnéthorax
Modifié (December 2022) dans Analyse
Bonjour,

Voici un petit exercice pour lequel je n'ai pas de référence à donner (je n'ai pas beaucoup cherché) : soit $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ et $a\in\mathbf{R}$. On suppose qu'il existe $\lambda\in\mathbf{R}$ tel que pour tout $\mu\in\mathbf{R}$ il existe $r\in\mathbf{R}_+^*$ pour lequel
$$
\forall x\in\left]a-r,a+r\right[ \qquad \left|f\left(x\right)-\lambda\left(x-a\right)-f\left(a\right)\right| \leq \left|f\left(x\right)-\mu\left(x-a\right)-f\left(a\right)\right|
$$
La fonction $f$ est-elle dérivable en $a$ ?

Réponses

  • JLapin
    Modifié (December 2022)
    Je traite le cas $\lambda = f(a)=a=0$. Le cas général devrait se rédiger de même.
    Soit $\varepsilon>0$.
    On peut fixer $r>0$ tel que pour tout $x\in ]-r,r[$, on ait $|f(x)|\leq |f(x)\pm \varepsilon x|$.
    En élevant au carré ces deux inégalités et après quelques simplifications, on obtient $|\frac{f(x)}{x}|\leq \varepsilon$, ce qui montre que $f$ est dérivable en $0$, de dérivée nulle.
  • @JLapin : oui. Toute la chose est effectivement d'élever au carré.

    Et si $f$ est dérivable en $a\in\mathbf{R}$, possède-t-elle la propriété du premier message ?
  • En remontant la preuve à l'envers, j'ai envie de dire que oui.
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