Grand O

Bethebesteveryday

Bonjour , s’il vous plait, est-ce que j’ai le droit d’écrire cette notation ?

Merci d’avance.

Bibix

Bonjour, c'est faux, mais syntaxiquement tu as le droit.

Dom

Bonjour

Cette photo présente plusieurs maladresses et erreurs (qui est $x$ ?, pourquoi ce $=>$ ?, cette conclusion est-elle juste ?).

D’abord, peux-tu donner la définition de « $O(.)$ » qui est dans ton cours ?
Cordialement
Dom

JLapin

@Bethebesteveryday

Je suppose que tu veux montrer que la série $\sum \frac{\ln(n+x)}{n^2}$ converge. Utilise une autre puissance de $n$ pour faire ta comparaison parce que là, tu tentes une arnaque grossière.

Et comme suggéré plus haut, revois la définition de $O$.

julian

C'est quoi x ? 

JLapin

Je parie sur un réel strictement plus grand que $-1$. On est d'accord que ce n'est pas le principal problème de la photo qui a été envoyée ?

Bethebesteveryday

x est un réel positif et n dans N*

La définition donnée était : (un) est dominée par (vn), et on note un = O(vn), si

∃M ∈ R+
+, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, |un| ≤ M|vn|

Est-ce que ce que j'avais fait sera considéré faux selon cette définition, le M ne peut pas être +l'infini ? parce que je ne comprends vraiment pas l'utilité de ce grand O contrairement au petit o ...

JLapin

Effectivement, $+\infty$ n'est pas un élément de $\R_+$.

Tu devrais relire une démonstration du théorème de comparaison que tu utilises pour comprendre l'intérêt que $M$ ne soit pas égal à $+\infty$.

Dom

Non, $\mathbb R_+$ ne contient pas $+\infty$. 

Ce $M$ est quantifié dans $\mathbb R_+$. 

Édit : je n’avais pas vu la réponse de JLapin

Bethebesteveryday

Donc je change de méthode pour montrer la convergence de cette série ?

LeVioloniste

La technique la plus simple est de montrer que la limite qd n tend vers plus l'infini à $x$ fixé de $n^{3/2} \times \frac{ln(n+x)}{n^2}$ tend vers 0.

L'argumentation étant ici le théorème des croissances comparées entre le logarithme et les puissances.

Tu peux ainsi écrire avec un petit 'o' 
$ \frac{ln(n+x)}{n^2}=o_{+\infty}(1/n^{3/2})$.

Et ensuite invoquer le théorème de comparaison de Riemann. En version série ou intégrale... Selon l'énoncé de l'exercice que je n'ai pas.

Bethebesteveryday

Merci énormément !