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Théorème de partition de l'unité

De mon côté, j'ai trouvé cette démonstration :
Le théorème 2.7 auquel il fait référence dit que pour tout compact K inclus dans un ouvert U, dans un espace localement compact et séparé, on peut trouver un ouvert contenant K dont la fermeture est compacte est est contenue dans U.
page suivante le théorème se conclut en disant que chaque hi est à support inclus dans Vi; que la somme des hi est égale à 1-(1-g1)(1-g2)...(1-gn) et que K est inclus dans l'union des Hi.

La seule chose que je ne comprends pas du tout dans cette démo, c'est la phrase "On trouve donc n points x1,...xn tels que Wx1 U ... U Wxn contient K."

Je comprends bien que pour tout x de K on puisse trouver un ouvert Wx dont la fermeture est compacte et incluse dans Vi, mais je ne vois pas comment on peut allègrement passer de là à l'inclusion de tout le compact K dans la réunion finie de n ouverts Wxi. Si quelqu'un pouvait m'expliquer cette étape, je lui en saurais gré.
Pour le reste, ça va.
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Réponses

  • C'est la propriété de Borel-Lebesgue pour le compact $K$ : Les ouverts $W_x$, pour $x \in K$, recouvrent $K$, donc on en extrait un sous-recouvrement fini.
  • ah oui, c'est vrai tiens,
    mais pourquoi on en trouve précisément n ? si ça se trouve, on en trouve m différent de n, non ?
  • Si on en trouve plus que $n$, il suffit de prendre la réunion des éléments qui sont inclus dans un même $V_i$. Si l'on en trouve moins que $n$, c'est que l'on a une inclusion de la forme $V_i \subset V_j$ avec $i \neq j$, et dans ce cas il suffit d'ajouter des $W_{x_i}$ redondants à la liste.
  • Merci beaucoup, oui c'est effectivement plus clair comme ça.
    Ceci m'amène à une autre question : ici on suppose que X est séparé et localement compact et on prend un sous-espace compact K. Dans d'autres versions du théorème, on prend pour hypothèses un espace topologique normal (i.e. séparé et T4) et on en prend un recouvrement ouvert localement fini. J'aimerais bien savoir comment on fait le lien entre ces deux versions du théorème, c'est un peu comme pour le lemme d'Urysohn, soit dit en passant : dans certaines versions, on a un espace séparé et localement compact; dans d'autres c'est un espace séparé et T4.
    J'ai l'impression que l'hypothèse : séparé et T4 est moins restrictive.
  • Aucun des deux versions n'implique l'autre, mais dans les deux cas la clé est de pouvoir séparer des fermés par des ouverts. On voit directement que la condition T4 est utile, mais l'argument donné dans ta photo montre que l'on peut aussi s'en sortir sous l'hypothèse de compacité locale (et toujours la séparation évidemment).
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