Tous les profs au chômage avec ChatGPT ?

Dom

On peut imaginer que la banque de données pourrait contenir énormément de petits exercices puis que « l’IA » s’y ramène. N’est-ce pas d’ailleurs le fonctionnement s’il on vulgarise ?

Wilfrid

R.E a écrit :
Les gens prennent des cours de communication non violente

Il n'y a aucune violence dans mes propos, juste une évidence ! Il faut débarquer de Mars pour ne pas savoir que de très nombreuses inventions ont été détournées vers des usages qui n'avaient pas été prévus à l'origine. L'armée excelle dans cet exercice, mais pas que. Toutes les innovations de ces dernières décennies, notamment dans le domaine de l'électronique, ont été utilisées à des fins d'espionnage et de surveillance de masse, ou pire encore. On voit un type comme Elon Musk racheter Twitter afin de rendre leur liberté d'expression à des milliards de gens qui en étaient privés depuis notamment 2020, et un André Breton qui menace cette plateforme de représailles s'il elle ne respecte pas les normes européennes, c'est-à-dire interdire à quiconque d'avoir un avis qui s'opposerait à la doxa.

Si tu étais convaincu que l'IA allait suivre un chemin différent, alors passe le bonjour de ma part au lapin d'Alice. Soit dit sans animosité aucune.

Blueberry

Merci @RE je ne vois pas trop ce qu'est ce level A

@Dom,

Oui je vois à peu près mais disons que ce soit tourné un peu différemment...

Evidemment, l'exo de la trace est quasi connu comme le loup blanc.

Mais tiens j'ai vu un exo de @John-John qui dit que si une trace de $u$  vaut une somme de $n$ valeurs, il existe une base où sur la diagonale de la matrice de $u$ tu trouves exactement ces n valeurs ! Bon pas forcément difficile mais assez inhabituel. C'est là que j'attends l'IA.

Pour le fonctionnement, justement pour ces maths là chatgpt et sa masse de données ne devrait pas suffire.

Dom

Je suis d’accord avec toi. Je vois mal pour le moment de belles avancées dans ce contexte « exos de maths ». 

Savoir dialoguer, ok, c’est bluffant mais ça raconte des bêtises. 

Savoir « réfléchir », cela m’apparaît vain.  

Vassillia

Wilfrid a dit :

On voit un type comme Elon Musk racheter Twitter afin de rendre leur liberté d'expression à des milliards de gens qui en étaient privés depuis notamment 2020, et un André Breton qui menace cette plateforme de représailles s'il elle ne respecte pas les normes européennes, c'est-à-dire interdire à quiconque d'avoir un avis qui s'opposerait à la doxa.

Trop mignon, Wilfrid notre complotiste de service ne voit même pas que Elon Musk parle de liberté d'expression uniquement pour la communication auprès du public. En pratique, il a viré une bonne partie du personnel qui faisait entre autre de la modération, demandé une participation financière pour avoir une authentification. Bref, il fait du business, cela ne me pose pas de problème mais en faire un défenseur des opprimés, c'est d'un ironique. Dommage pour lui, devant la gestion chaotique, les annonceurs se tirent et effectivement, il va falloir qu'il fasse attention aux propos illégaux et tant mieux !

R.E.

L'équivalent du bac si je ne dis pas de bêtises : https://fr.wikipedia.org/wiki/A-level

Blueberry

Oui j'aurais tendance depuis le début à penser ça.

Mais il paraît qu'il passe des examens de droit avec succès ! Idem pour un examen élevé en neuro-chirurgie ...

Ce serait tellement fascinant ....

Dom

Les quelques personnes que je connais qui font du droit me disent que « le droit, c’est seulement quelques principes et essentiellement ce qu’il y a dans les différents codes ». Ce serait davantage encyclopédique que de la réflexion. 

Heu… je n’insulte personne !
Pour quelques branches de la médecine, ça ressemble aussi à cela : des connaissances d’abord, et beaucoup. 

Évidemment je suis novice, j’écoute et je répète (peut-être mal d’ailleurs). 

En maths, il faut parfois la bonne idée. Et là, ça coince. Mais en physique aussi peut-être ? Je ne sais pas. 

Wilfrid

Vassilia a écrit :
[Elon Musk] a viré une bonne partie du personnel qui faisait entre autre de la modération

Encore s'agirait-il de savoir de quelle type de modération on parle. L'habitude était de supprimer les posts qui risquaient de déplaire au système, et de virer ceux qui dénoncaient les mensonges de l’État et de Big Pharma, comme ce fut le cas pour d'éminents professeurs de médecine et de scientifiques qui pourtant savaient de quoi ils parlaient. C'est contre cela que Musk a décidé d'agir, et c'est très loin d'être de l'angélisme.

devant sa gestion chaotique, les annonceurs se tirent

Ben oui, aucune entreprise ne veut se mettre le système à dos. Ça pourrait lui coûter cher.

il va falloir qu'il fasse attention aux propos illégaux et tant mieux !

Merci de passer le bonjour de ma part à André Breton !

Dom

Bon, en ce qui concerne « les réseaux sociaux », si j’ai bien suivi, les suspensions ou suppressions de compte se sont faites arbitrairement. C’est forcément idéologique. La loi (laquelle ?) a-t-elle été appliquée ? Je n’en ai pas l’impression. Tout un tas de gens se font insulter et menacer de mort sans vergogne. 

Mais on dérive, non ?

biguine_equation

Wilfrid: Tu veux dire Thierry Breton ? 

André Breton était un autre tyran egotique, une sorte de version ratée d’Elon Musk.

biguine_equation

Cela dit, ceux dont la liberté d’expression dépend du bon vouloir d’Elon Musk méritent certainement d’être réduits au silence.

Vassillia

+1 @biguine_equation

raoul.S

Vassillia a dit : 

Trop mignon, Wilfrid notre complotiste de service ne voit même pas que Elon Musk parle de liberté d'expression uniquement pour la communication auprès du public.

Effectivement, l'aveuglement de certaines personnes me surprendra toujours.

C'est comme avec Trump, parmi ceux qui le suivent il y a deux catégories de personnes : ceux qui savent exactement avec qui ils ont affaire et qui jouent le jeu car ils y gagent aussi, et les autres (les abrutis donc) qui gobent tout ce qu'il dit. Remarquer que la majeure partie est formée par cette deuxième catégorie et c'est la plus dangereuse...

Wilfrid

biguine_equation a écrit :
Tu veux dire Thierry Breton ?

Oups ! Oui, je parlais effectivement du commissaire européen au marché intérieur. Il partage d'ailleurs avec André Breton le fait d'être écrivain.

philou22

Blueberry a dit :

2) Si $f$ est continue de $[0,1]$ dans lui-même, $f$ a un point fixe.

Réponse de ChatGPT Plus (GPT4)

"Pour montrer que si f est continue de [0,1] dans lui-même, f a un point fixe, on va utiliser le théorème du point fixe de Brouwer.

Cependant, avant de passer directement à ce théorème, on peut montrer ce résultat en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour les fonctions continues.

Soit f une fonction continue sur l'intervalle fermé [0,1] et à valeurs dans [0,1]. Considérons la fonction g(x) = f(x) - x, qui est également continue sur [0,1] (car la somme, le produit et la composition de fonctions continues sont également continues).

Évaluons g(x) aux points x = 0 et x = 1 :

g(0) = f(0) - 0, et puisque f(0) ∈ [0, 1], on a g(0) ∈ [0, 1].

g(1) = f(1) - 1, et puisque f(1) ∈ [0, 1], on a g(1) ∈ [-1, 0].

Maintenant, on a g(0) ≥ 0 et g(1) ≤ 0. Si l'une des valeurs g(0) ou g(1) est égale à 0, alors on a un point fixe (c'est-à-dire que f(0) = 0 ou f(1) = 1).

Sinon, on a g(0) > 0 et g(1) < 0. Dans ce cas, on utilise le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) qui stipule que si une fonction est continue sur un intervalle fermé et si elle prend deux valeurs distinctes dans cet intervalle, alors elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre ces deux valeurs.

Ainsi, comme g(x) est continue sur [0, 1] et g(0) > 0, g(1) < 0, il doit exister un point c ∈ (0, 1) tel que g(c) = 0. Autrement dit, il existe un point c ∈ (0, 1) tel que f(c) = c. Ceci prouve que f a un point fixe sur l'intervalle [0, 1]."

pourquoi parles du tu théorème de Brouwer ?

"Je m'excuse pour la confusion dans ma première réponse. J'ai mentionné le théorème du point fixe de Brouwer par erreur. Le théorème de Brouwer est en effet un résultat important en topologie concernant les applications continues dans des espaces compacts et convexes, mais il n'est pas nécessaire pour démontrer le résultat demandé concernant une fonction continue de [0, 1] dans lui-même.

Comme je l'ai démontré dans ma précédente réponse, le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est suffisant pour montrer que si f est continue de [0,1] dans lui-même, f a un point fixe. Je vous présente mes excuses pour cette erreur et j'espère que la démonstration utilisant le TVI répond à votre question."

Blueberry

Merci !

Bluffant, même si c'est très classique.

J'imagine que dés qu'on sort de ces exercices répertoriés, ça se gâte  ...

---> l'exercice cadeau de @john_john à @Gébrane.

On donne un entier $n \leqslant 2$ et un endomorphisme $u\notin Vect(IdE)$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ ; on donne en outre  des scalaires $(\lambda_1,…,\lambda_n)$ dont la somme est la trace de $u$. Montrer qu'il existe une base de $E$ relativement à laquelle les termes diagonaux de la matrice de u sont les $\lambda_l$ (dans cet ordre, mais ce n'est pas le plus difficile à faire).

biguine_equation

Il faudrait lui proposer le sujet de l’ENS, 1966… Au moins le début ! Juste pour savoir à quelle génération de mathématiciens appartient GPT-4.

R.E.

Avec GPT-4, j'ai l'impression d'une grosse amélioration en maths mais ce qui me frustre, c'est l'annonce en grande pompe des plugin dont Wolfram et depuis plus rien, on ne sait pas trop comment ça avance. Je pense que pour le moment il n'en faut pas trop attendre grand chose en maths mais je le redis dans un futur proche je suis sûr que ses capacités seront vraiment intéressantes.

Bibix

Dom a dit :

On peut imaginer que la banque de données pourrait contenir énormément de petits exercices puis que « l’IA » s’y ramène. N’est-ce pas d’ailleurs le fonctionnement s’il on vulgarise ?

Non pas vraiment. L'IA cherche à donner une réponse qui nous satisfait et s'entraine en permanence en fonction des erreurs qu'elle commet dans les discussions pour nous satisfaire (mais peu importe que ce soit vrai).

Dom

Ok. 

En effet. En la torturant avec « tu t’es trompé, ce n’est pas ceci mais cela », elle corrige tout de suite quitte à dire des vraies choses fausses. 

R.E.

Je pense qu'un gros effort est fait en ce moment (pas très visible) pour que les réponses de ces IA nous satisfassent ET qu'elles soient vraies. C'est un des plus gros enjeux du moment.

raoul.S

Cette vidéo qui entre un peu plus dans le détail de fonctionnement de ChatGPT.

Wilfrid

Une chose me revient à l'esprit : il n'est pas nécessaire d'être devin pour savoir que l'aventure de l'IA va mal se terminer, du moins pour les peuples européens. On en a déjà un aperçu en Espagne depuis quelques années. Là-bas, lorsqu'une femme se présente au poste de police pour se plaindre de violences conjugales, le policier qui la reçoit se connecte à une IA dédiée à cette problématique, qui pose 30 questions à la plaignante. Selon les réponses de cette dernière, l'IA décide des suites à accorder à la plainte : prise en charge par les services sociaux, protection, ..., ignorer le cas. Il est arrivé qu'une femme venue se plaindre des violences qu'elle subissait se soit entendue dire, par l'IA donc, que son cas ne nécessitait aucune action des organismes compétents. Quelques jours après, son mari l'a tuée. Les concepteurs de l'IA se sont contentés de déclarer qu'ils allaient modifier certains de ses paramètres. Et elle est toujours en service.

Pour ma part je suis abonné à GPT-4 depuis début avril. Durant tout le mois je n'ai pas mis les pieds une seule fois sur Stack Overflow, ni ai recherché quelque solution que ce soit sur Internet. En cas de problème je demande son avis à GPT-4, qui me répond comme un professionnel, je dirais même un Maître Codeur. Je me suis même surpris, non pas à le remercier après une séance de Tchat, mais à lui souhaiter une bonne nuit, tant l'impression de discuter avec un humain est forte.

gebrane

Bonjour @Wilfrid, pourrais-tu essayer avec GPT-4 l'exercice 1 proposé par John afin de voir quel type d'ânerie il pourrait nous sortir ? Merci !

Wilfrid

Je ne vois aucun John. Pourrais-tu indiquer l'adresse du message ?

R.E.

Le gâteau d'anniversaire de gebrane

Après pour le moment il ne faut pas trop stresser GPT-4 en maths, ça ne sert pas à grand chose.

Wilfrid : un fait divers sordide non sourcé impliquant l'IA et puis une ode a GPT-4. Super cohérent...

Dom

Pour écrire des petits codes je pense que c’est une aide précieuse. Notamment quand reprend, ou quand on débute. 

Wilfrid

gebrane, on ne peut pas écrire $\begin{pmatrix}a&L\\C&b\,{\rm I}_{n-1}\end{pmatrix}$ dans GPT-4.

Concernant l'affaire de l'Espagnole assassinée par son mari, je l'ai vue dans un reportage qu'Arte avait consacré à ce problème et à la manière dont l'Espagne le traitait. J'ai beaucoup de mal de croire qu'Arte ait menti, d'autant plus que la police, les services sociaux et des victimes apparaissent dans ce reportage.

Je ne vois pas le rapport entre l'utilisation de l'IA par la police espagnole, et discuter programmation avec GPT-4.

gebrane

@Wilfrid  Mais GPT connait Latex

Tu copies le code source avec citer et tu colles sur GPT-4

Ludwig

Bonsoir,
J'ai lu dans ce fil que l'IA est déjà capable de résoudre pas mal de problèmes mathématiques. Par exemple des problèmes des Olympiades, ce qui n'est pas rien!
Mais si ces IA ne sont que des "prolongateurs" de textes - et peu importe le volume de données initiales y contribuant -, seront-elles un jour capables de proposer une nouvelle piste ? Ou bien ne feront-elles que ressasser (au pire), ou (mieux) reformuler des idées déjà produites par nos confrères humains.
J'ai failli dire nos camarades de lutte
Elles pourraient peut-être montrer une singularité dans la "topologie" des solutions du problème considéré ?

Bibix

R.E. a dit :
Je pense qu'un gros effort est fait en ce moment (pas très visible) pour que les réponses de ces IA nous satisfassent ET qu'elles soient vraies. C'est un des plus gros enjeux du moment.

Et comment on fait pour savoir si elles sont vraies ou fausses si elles nous satisfont ? C'est justement l'un des problèmes bien connu de ce genre de modèles. On le savait depuis longtemps mais jusqu'à maintenant, personne n'a réussit à apporter une réponse vraiment satisfaisante. En gros, la meilleure solution c'est de brider les capacités des LLM et même ça, ça ne peut pas empêcher l'IA d'affabuler car c'est techniquement impossible en théorie. On sera fixé quand openAI remettra les pendules à l'heure en décembre 2023, mais pour l'instant...

philou22

gebrane a dit :

Bonjour @Wilfrid, pourrais-tu essayer avec GPT-4 l'exercice 1 proposé par John afin de voir quel type d'ânerie il pourrait nous sortir ? Merci !

Sans indication, il raconte effectivement des bêtises assez vite.

Mais avec une indication précise cela va mieux et il répond aux questions qui suivent relativement correctement :

Moi : Soit M un matrice carré à coefficients complexes telle que pour tout entier naturel strictement positif, la trace de A puissance n est égale à 0. Démontrer soigneusement, avec clarté et concision que A est nilpotente. Indication : considérer l'ordre de multiplicité des valeurs propres des différentes puissance de A. Établir un système de Cramer ayant un déterminant de Vandermonde dont les inconnues sont les ordres de multiplicité des valeurs propres.

ChatGPT4 : "Pour montrer que A est nilpotente, nous devons prouver qu'il existe un entier k tel que A^k = 0.

Considérons les valeurs propres de A. Soit λ₁, λ₂, ..., λ_n les valeurs propres distinctes de A, avec leurs ordres de multiplicité respectifs m₁, m₂, ..., m_n (c'est-à-dire que chaque valeur propre λ_i apparaît m_i fois comme racine du polynôme caractéristique de A). Les valeurs propres de A^n sont alors λ₁^n, λ₂^n, ..., λ_n^n, avec les mêmes ordres de multiplicité m₁, m₂, ..., m_n.

La trace de A^n est la somme des valeurs propres de A^n, pondérées par leurs ordres de multiplicité. Ainsi, nous avons :

tr(A^n) = m₁λ₁^n + m₂λ₂^n + ... + m_nλ_n^n = 0, pour tout entier n > 0.

Nous avons maintenant un système linéaire de m₁, m₂, ..., m_n :

m₁ + m₂ + ... + m_n = tr(A), m₁λ₁ + m₂λ₂ + ... + m_nλ_n = tr(A^2), ... m₁λ₁^(n-1) + m₂λ₂^(n-1) + ... + m_nλ_n^(n-1) = tr(A^(n-1)).

Ce système peut être écrit sous la forme AX = B, où A est la matrice de Vandermonde formée à partir des valeurs propres de A et X est le vecteur colonne des ordres de multiplicité m_i :

A = | 1 1 ... 1 | | λ₁ λ₂ ... λ_n | | λ₁² λ₂² ... λ_n² | | ... ... ... ... | | λ₁^(n-1) λ₂^(n-1) ... λ_n^(n-1) |

X = | m₁ | | m₂ | | ... | | m_n |

B = | tr(A) | | tr(A^2) | | ... | | tr(A^(n-1)) |

Puisque tr(A^n) = 0 pour tout n > 0, le vecteur B est le vecteur nul.

La matrice A étant de Vandermonde, son déterminant est non nul si et seulement si les valeurs propres λ_i sont distinctes. Dans ce cas, la matrice A est inversible et le système linéaire admet une solution unique.

Comme B est le vecteur nul, la solution unique est X = 0, ce qui signifie que tous les ordres de multiplicité m_i sont nuls. Cela implique que toutes les valeurs propres de A sont nulles. Ainsi, A est une matrice dont toutes les valeurs propres sont nulles, ce qui signifie que A est nilpotente."

Moi : Explique moi pourquoi le déterminant de Vandermonde en question est non nul.

ChatGPT4 : "Le déterminant de la matrice de Vandermonde A formée à partir des valeurs propres λ₁, λ₂, ..., λ_n est donné par :

det(A) = ∏_(i < j) (λ_j - λ_i)

Ce déterminant est non nul si et seulement si toutes les valeurs propres λ_i sont distinctes. En effet, si deux valeurs propres λ_i et λ_j sont égales (disons λ_i = λ_j), alors le terme correspondant (λ_j - λ_i) dans le produit serait égal à zéro, et le déterminant serait nul.

Inversement, si toutes les valeurs propres sont distinctes, alors tous les termes (λ_j - λ_i) sont non nuls, et donc le produit est non nul.

Dans notre problème, nous avons supposé que λ₁, λ₂, ..., λ_n sont les valeurs propres distinctes de A. Ainsi, le déterminant de la matrice de Vandermonde A est non nul, et la matrice A est inversible."

Moi : Pourquoi une matrice dont toutes les valeurs propres sont nulles est nilpotente ?

ChatGTP4 : "Une matrice A est dite nilpotente s'il existe un entier positif k tel que A^k = 0. Montrons que si toutes les valeurs propres d'une matrice A sont nulles, alors A est nilpotente.

Soit A une matrice n x n dont toutes les valeurs propres sont nulles. Supposons que A ait une décomposition de Jordan, c'est-à-dire que A est semblable à une matrice de Jordan J :

A = PJP^(-1)

où P est une matrice inversible et J est une matrice de Jordan. Les matrices de Jordan sont des matrices diagonales par blocs, où chaque bloc est une matrice de Jordan simple. Une matrice de Jordan simple J_k(λ) est une matrice carrée de taille k x k, avec λ sur la diagonale et 1 sur la diagonale supérieure immédiatement à droite de la diagonale principale (et 0 ailleurs).

Comme toutes les valeurs propres de A sont nulles, les matrices de Jordan simples constituant J auront également 0 sur leur diagonale. Soit J_k(0) une telle matrice de Jordan simple de taille k x k. Il est connu que pour les matrices de Jordan simples avec λ = 0, (J_k(0))^k = 0 et (J_k(0))^n ≠ 0 pour tout n < k. Ainsi, chaque bloc de J est nilpotent.

Maintenant, considérons la puissance k-ème de J, où k est la taille du plus grand bloc de Jordan dans J :

J^k = (P^(-1)AP)^k = P^(-1)A^kP

Comme chaque bloc de J est nilpotent et que J^k est une matrice diagonale par blocs avec les puissances k-èmes des blocs de Jordan sur la diagonale, il est clair que J^k = 0.

Enfin, puisque A = PJP^(-1), nous avons :

A^k = (PJP^(-1))^k = PJ^kP^(-1) = P(0)P^(-1) = 0

Ainsi, A est nilpotente."

Moi : Dans quel corps la décomposition de Jordan existe t-elle ?

ChatGPT4 : "La décomposition de Jordan existe pour toute matrice carrée à coefficients dans un corps algébriquement clos. Un corps K est dit algébriquement clos si tout polynôme non constant à coefficients dans K admet au moins une racine dans K.

Un exemple classique de corps algébriquement clos est le corps des nombres complexes, noté ℂ. En effet, le théorème fondamental de l'algèbre affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe. Ainsi, la décomposition de Jordan existe pour toute matrice carrée à coefficients complexes.

Pour une matrice carrée à coefficients réels, la décomposition de Jordan existe si l'on autorise les coefficients de la matrice de Jordan et de la matrice de passage à être complexes. En d'autres termes, si A est une matrice carrée réelle, on peut toujours trouver une matrice de Jordan J et une matrice de passage P à coefficients complexes tels que A = PJP^(-1)."

En bilan, après une petite heure de discussion sur cet exercice avec ChatGPT, je dirais que discuter mathématiques de ce niveau avec ChatGPT est un bon moyen de s'entrainer à détecter les arnaques de raisonnement.

gebrane

Merci philou22 discussion interessante

Blueberry

Oui c'est très intéressant.

En fait dès que tu donnes des indices ça doit réduire considérablement les réponses possibles et il donne la bonne statistiquement. Ce problème est archi-connu... Et traité partout.

Ce genre d'IA est une intelligence collective. Quel que soit le problème que tu abordes, même un petit calcul formel dans un anneau particulier, tu peux être sûr qu'une personne dans le monde a déjà rencontré ça.  Sachant que comme l'a dit un des concepteurs de ces IA récemment, le truc fascinant, c'est que toute nouveauté est intégré à la seconde (alors que les idées et trouvailles humaines jusque maintenant restaient connues de très peu voir longtemps cantonnées avant de se répandre un jour), sachant ça donc, je me demande ce que ça va donner en quelques années.

R.E.

Il y a vraiment plein d'articles concernant l'IA, je trouve que le phénomène prend de l'ampleur. Deux articles que j'ai trouvés intéressants :
Titre un peu sensationnaliste mais qui annonce le début d'un mouvement redouté : IBM étudie le remplacement d'une partie de son personnel par ChatGPT | La Tribune | En raison du potentiel de l'intelligence artificielle (IA) et des technologies d'automatisation, le patron d'IBM envisage de réduire drastiquement le personnel administratif du géant informatique. De son côté, la Maison Blanche convie jeudi les dirigeants d'entreprises très avancées dans l'intelligence artificielle (IA) pour « s'assurer que le peuple américain bénéficie des avancées dans l'IA tout en le protégeant des dangers ».

Un article plus léger qui laisse présager du futur des IA dans les jeux vidéo : Les PNJ de Skyrim deviennent bavards et effrayants avec ChatGPT | Numerama | Un fan de Skyrim travaille sur un mode qui ajoute ChatGPT dans le RPG culte. La dernière démonstration est très étrange.

Wilfrid

Gebrane a écrit :
Mais GPT connait Latex :-)

Pour vérifier cette affirmation, voici le prompt que j'ai soumis à GPT-4 :

Tu es un grand mathématicien, et je fais appel à tes compétences pour obtenir une réponse à la question ci-dessous, dans laquelle j'utilise des expressions Latex placées entre apostrophes. Je te remercie d'utiliser également Latex dans ta réponse :
On donne un entier 'n\geqslant3' et une matrice M de la forme `\begin{pmatrix}a&L\\C&b\,{\rm I}_{n-1}\end{pmatrix}` ; ici, a et b sont des scalaires, mais on ne les suppose pas distincts, L est une matrice de format `(1,n-1)' et C de format '(n-1,1)`. Montrer que, à part dans le cas où 'a=b', 'L=0', 'C=0' il existe une matrice M' semblable à M et de la forme `\begin{pmatrix}a&L'\\C'&B\end{pmatrix}`, où B n'est plus une matrice scalaire. Attention : il ne faut pas modifier le terme en position '(1,1)'. C'est une exercice de dé-diagonalisation, si on veut.

Réponse de GPT-4, qui place les expressions Latex entre accents grave (ou backtick en anglais) :

Pour montrer l'existence d'une matrice M' semblable à M et de la forme spécifiée, nous allons construire une matrice de similarité P et calculer l'inverse de P, puis effectuer la multiplication de matrices appropriée pour obtenir M'.

Soit M la matrice donnée:

M = \begin{pmatrix} a & L \\ C & b\,{\rm I}_{n-1} \end{pmatrix}

Considérons la matrice P suivante:

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -C & {\rm I}_{n-1} \end{pmatrix}

Il est facile de vérifier que P est inversible. L'inverse de P est donné par:

P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ C & {\rm I}_{n-1} \end{pmatrix}

Etc.

Voici la réponse complète en clair :

Pour montrer l'existence d'une matrice M' semblable à M et de la forme spécifiée, nous allons construire une matrice de similarité P et calculer l'inverse de P, puis effectuer la multiplication de matrices appropriée pour obtenir M'.

Soit M la matrice donnée:

$M = \begin{pmatrix} a & L \\ C & b\,{\rm I}_{n-1} \end{pmatrix}$

Considérons la matrice P suivante:

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -C & {\rm I}_{n-1} \end{pmatrix}$

Il est facile de vérifier que P est inversible. L'inverse de P est donné par:

$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ C & {\rm I}_{n-1} \end{pmatrix}$

Maintenant, multiplions $P^{-1}MP$ pour obtenir M':

$M' = P^{-1}MP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ C & {\rm I}_{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & L \\ C & b\,{\rm I}_{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -C & {\rm I}_{n-1} \end{pmatrix}$

Calculons d'abord le produit intérieur:

$P^{-1}M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ C & {\rm I}_{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & L \\ C & b\,{\rm I}_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & L \\ aC + b{\rm I}_{n-1}C & b\,{\rm I}_{n-1} \end{pmatrix}$

Ensuite, calculons le produit final:

$M' = \begin{pmatrix} a & L \\ aC + b{\rm I}_{n-1}C & b\,{\rm I}_{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -C & {\rm I}_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & L - aC \\ aC + b{\rm I}_{n-1}C - bC & b\,{\rm I}_{n-1} - (aC + b{\rm I}_{n-1}C)C \end{pmatrix}$

$M' = \begin{pmatrix} a & L - aC \\ aC + b{\rm I}_{n-1}C - bC & b\,{\rm I}_{n-1} - aCC - bC^{2} \end{pmatrix}$

Maintenant, nous devons montrer que, sauf si a=b, L=0, et C=0, il existe une matrice M' semblable à M et de la forme demandée.

Dans le cas général où a≠b, L≠0, et C≠0, nous avons:

$L' = L - aC ≠ 0$ (puisque a≠b)

$C' = aC + b{\rm I}_{n-1}C - bC ≠ 0$

$B = b\,{\rm I}_{n-1} - aCC - bC^{2}$

Pour montrer que B n'est pas une matrice scalaire, nous devons montrer qu'il existe au moins un élément hors de la diagonale principale de B qui est non nul.

Supposons par l'absurde que B soit une matrice scalaire. Alors, tous les éléments hors de la diagonale principale seraient nuls, et B pourrait être écrit comme:

$B = b'{\rm I}_{n-1}$ pour un certain scalaire b'.

Nous aurions alors:

$b'{\rm I}_{n-1} = b\,{\rm I}_{n-1} - aCC - bC^{2}$

En réarrangeant les termes, nous obtenons:

$(b - b'){\rm I}_{n-1} = aCC + bC^{2}$

Cela implique que:

$aCC + bC^{2} = (b - b'){\rm I}_{n-1}$

Cependant, si a≠b et C≠0, il est impossible que le côté gauche de cette équation soit égal à une matrice scalaire. Par conséquent, notre hypothèse selon laquelle B est une matrice scalaire doit être fausse, et il existe une matrice M' semblable à M et de la forme spécifiée.

Blueberry

C'est assez hallucinant ...
Il faudrait que je tape l'énoncé pour voir si je le retrouve sur le net corrigé.

Bibix

Tu peux lui demander de préçiser la taille de $C^2$ ? Juste pour être sûr que c'est bien n'importe quoi.

Wilfrid

Bibix,

Prompt : Dans ta réponse précédente, peux-tu préciser quelle est la taille de $C^2$ ?

Réponse : Je m'excuse pour la confusion dans ma réponse précédente. En réalité, il n'est pas correct d'écrire $C^2$ directement, car C est une matrice de format (n-1, 1), et sa multiplication par elle-même n'est pas définie.

Pour clarifier, nous devrions examiner le produit B différemment. En reprenant la définition de M' :

$M' = \begin{pmatrix} a & L - aC \\ aC + b{\rm I}_{n-1}C - bC & b\,{\rm I}_{n-1} - (aC + b{\rm I}_{n-1}C)C \end{pmatrix}$

Puisque la multiplication de matrices n'est pas définie pour le produit CC, nous devons réécrire la dernière entrée de M' comme suit :

$M' = \begin{pmatrix} a & L - aC \\ aC + b{\rm I}_{n-1}C - bC & b\,{\rm I}_{n-1} - a(CC^T) - b(C^TC) \end{pmatrix}$

Ici, nous avons remplacé $C^2$ par $CC^T$ et $C^TC$. Remarquez que $CC^T$ est une matrice de format (n-1, n-1) et $C^TC$ est un scalaire.

Maintenant, B est défini comme suit :

$B = b\,{\rm I}_{n-1} - a(CC^T) - b(C^TC)$

Avec cette définition, il est possible de montrer que B n'est pas une matrice scalaire lorsque a≠b, L≠0 et C≠0.

Bibix

Effectivement, on voit bien que des efforts sont fait pour rendre les réponses de GPT-4 justes ... ...

JLapin

Tant qu'il ne dispose pas de fondements opératoires dignes de ce nom, il ne fera que de la daube.

gebrane

visiblement, il ne sait pas faire un produit matriciel

R.E.

Les mauvaises capacités en maths de ChatGPT sont connues depuis la première page et sont discutées de manière régulière dans cette longue discussion. Il ne va pas devenir super bon par magie, je sais que pour un forum de math cette question est intéressante mais attendons l'arrivée des plugins tel celui de Wolfram pour voir s'il y a une amélioration.

JLapin

On est à la version GPT-4 qui est assez récente : on aurait pu espérer une évolution sur les opérations sans avoir à croire à Harry Potter. Force est de constater que ce n'est pas le cas.

Wilfrid

R.E a écrit :
un fait divers sordide non sourcé impliquant l'IA et puis une ode a GPT-4. Super cohérent...

Wilfrid a répondu :
Je ne vois pas le rapport entre l'utilisation de l'IA par la police espagnole, et discuter programmation avec GPT-4.

En fait si, il existe un rapport : les autorités espagnoles et moi-même pensons que l'IA va solutionner tous nos problèmes. Seulement, si la programmation est à la portée d'une IA gavée de millions de lignes de code, et qu'elle y excelle, il en est tout autrement de la maturité émotionnelle et de la psychologie dont il faut faire preuve pour juger de la véracité et de la gravité d'une dénonciation de violences conjugales.

La psychologie est innée ou elle n'est pas. Est dite psychologue une personne à l'empathie prononcée, capable de percevoir l'état d'esprit de son interlocuteur et, éventuellement, de le guider vers la résolution de son problème. Sans cette capacité de "ressentir" l'autre, sans cette proximité avec lui, les connaissances en psychologie ne sont qu'intellectuelles, c'est-à-dire livresques : "Cette personne souffre de la pathologie A ; pour la soulager il convient de lui appliquer le traitement B". Un perroquet, dont les capacités d'empathie restent à démontrer, serait tout à fait capable de mettre en œuvre cette approche mécaniste de la psychologie. Une IA aussi. Mais ce n'est pas là que se situe le problème, parce que l'IA, pas plus que le perroquet, n'est responsable de ce qu'on lui apprend à faire, ni de ses conséquences qui peuvent être dramatiques comme dans le cas de cette femme assassinée par son mari. Les vrais responsables sont les hommes incapables de discernement, ceux-là même qui, comme Bill Gates ou Scott Aaronson, et tant d'autres acteurs de premier plan du développement et de la vulgarisation de l'IA, voient celle-ci comme un entité quasi-indépendante, capable d'analyser une situation et de prendre seule les décisions adéquates, à l'image de ce que fait un humain quotidiennement. Tout ce qu'ils voient dans la nature humaine c'est la matérialité ; ce qui n'est pas apparent, comme la capacité innée d'être un bon psychologue sans avoir jamais appris la psychologie, n'existe tout simplement pas puisque ce n'est pas quantifiable, ce n'est pas codable. Conséquence : une IA peut selon eux faire très exactement la même chose qu'un être humain pour peu qu'on le lui apprenne. La question de savoir comment une assistante sociale réagit à l'écoute des malheurs d'une victime de maltraitance, ne se pose pas. Problème A --> traitement B, voilà tout ce qu'il suffit de connaître, et c'est précisément la manière dont fonctionne l'IA de la police espagnole. Rien à voir avec "GPT-4 le Codeur".

Mathurin

@Wilfrid,
que la psychologie soit innée me parait discutable. D'abord c’est le nom d'une science donc de quelque chose qui s'apprend. Tu sembles plutôt viser ici l'empathie. Ensuite même l'empathie, se travaille et peut s'améliorer et c’est heureux.
Ce que les promoteurs de l'IA cachent, c'est qu'il lui manque, au moins, la dimension "existentielle " de l'Homme, c’est-à-dire notamment ses émotions. On peut travailler ses émotions, encore faut-il en avoir !

Alain24

L'information est parue au JT de M6, on y entend un CD de chansons d'Aznavour chantés par E. Macron. Il s'agit en fait d'une voix générée par IA. Quelqu'un a-t-il des infos sur cette IA? A-t-elle été mise au point par une entreprise ou un labo public? Je pense qu'on doit pouvoir définir une interface textuelle avec l'IA pour les paroles, du type écriture de solfège pour l'air de la chanson, mais comment l'interface solfège, si c'est ainsi que l'on donne l'air, se code-t-elle?

gebrane

Combien ça coute Ameca  ?

Est ce que cette video est une fake

R.E.

Les deepfakes vocaux sont à la mode en ce moment, une fausse chanson du rappeur Drake a fait le buzz il y a dix jours. Je ne connais pas exactement les outils utilisés mais ça doit pouvoir se trouver. Je chercherai plus tard.
Il y a cette IA de Microsoft qui a juste besoin de 3 secondes pour imiter une voix : https://www.numerama.com/tech/1297986-voici-vall-e-3-secondes-suffisent-a-cette-ia-pour-imiter-votre-voix.html
Et à propos de la chanson de Drake qui pose un casse tête au niveau des droits d'auteurs :
https://www.numerama.com/tech/1343248-la-fausse-chanson-de-drake-faite-par-ia-est-elle-un-coup-marketing.html
https://www.theverge.com/2023/5/1/23703087/ai-drake-the-weeknd-music-copyright-legal-battle-right-of-publicity

https://www.theverge.com/2023/4/19/23689879/ai-drake-song-google-youtube-fair-use

PS : je pense qu'on devrait rester dans cette discussion concernant les IA et ne pas ouvrir trop de fils sur le sujet.