Exercices oraux 2022 ENS/X/MinesPonts/Centrale de la RMS
Bonjour
https://www.rms-math.com/images/stories/documents/exos-etoiles-2022-RMS.pdf
Pour commencer résoudre le 94 et 348
Merci
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Pour la 94, l'intégrale converge lorsque $\delta$ tend vers $0^+$ vers $2\mbox{Card}(Z(f)).$Quelques pistes, on montre que les zéros de $f$ sont isolés (et donc en nombre fini dans $[0,1]$). Ensuite, on traite le cas de $f$ admettant un seul zéro (faire un dessin pour comprendre que $\{\vert f(t) \vert <\delta\}$ est un intervalle ouvert au voisinage de l'unique zéro de $f$ pour $\delta$ très proche de $0$). Conclure dans le cas général (en sommant les contributions : localiser par compacité).La 348 a été traité dans un fil ouvert par @john_john (et l'inégalité demandée est celle démontrée par @MrJ).
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À peine plus haut que le dit 348, le 298 est vraiment tiré par les cheveux (le polynôme en question n'a pas un grand choix pour ce qui est des éventuels zéros rationnels). Quant au 435, il fait partie des exos taupinaux qui ne devraient plus être de mise de nos jours
En revanche, je conseille le 130 qui peut être résolu élégamment. -
Pour BobbyJoe : je pinaille, mais je pense que ta formule est juste lorsque ni $0$ ni $1$ ne sont des zéros de $f$ (les éventuels zéros $0$ et $1$ ne comptent que pour $1$ et pas pour $2$).
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Le 93 les fonctions constantes. Avez-vous trouvé la même chose?
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Pour le 93 il y a plus généralement les $f(x)=ax+b$.
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@ jandri oui mais f est bornée pour le 93
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D'accord, je n'avais pas lu assez attentivement l'énoncé !
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Pour le 61 avez-vous des pistes ? Merci
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Commencer par traiter le cas $k=1$ je suppose.Edit : les cas $k=1$ et $k=2$ se traitent bien avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz (utilisée deux fois pour le cas $k=2$).
Les cas $k=3$ et $k=4$ se traitent aussi avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz (utilisée $8$ fois pour le cas $k=4$).Je pense que mon "algorithme" traite le cas général mais je n'ai aucune envie de le rédiger !
J'espère qu'il y aura une jolie réponse dans le volume 3 de la RMS... -
@ JLapin pour k=2 j’imagine tu travailles avec le produit scalaire $tr(X^{*}.Y)$ que prends tu pour X, et Y il a beaucoup de choix comment appliques tu 2 fois Cauchy-Schwarz ? $X^{*}$ désigne la transposée de X.
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$tr(A^2B^2A^2B^2)=tr(BA^2B BA^2B) = tr(AB^2A AB^2A) = \| BA^2 B\| \| AB^2A\| \geq tr(BA^2B AB^2A) = tr((ABAB)(BABA)) = tr((ABAB)(ABAB)^T) = \|ABAB\| \| BABA\|\geq tr(ABABABAB)=tr((AB)^4)$.Pour les cas $k=3$ et $k=4$, j'ai un enchainement d'égalités et d'inégalités similaires mais il y en a plus, avec tout de même un motif qui se dégage.
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C’est beau. Et par récurrence ?
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Pour traiter le cas général avec mon procédé "algorithmique", il faudrait dans l'idéal rédiger une récurrence finie.Quant à une récurrence sur $k$, je ne vois pas comment faire.
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JLapin on peut faire autrement avec Weyl’s majorant theorem voir le théorème 4 à la page 2 et on retrouve l’inégalité du n61 à la page 4 de l’article suivant
https://www.math.uci.edu/~rvershyn/papers/golden-thompson.pdf
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Le 211 est un clin d’œil à Don Zagier one sentence proof AMM vol 97, n 2, February 1990 page 144
https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.2307/2323918/fulltext.pdf
Le 49 b) c’est le Pfaffien. -
Merci pour l'article : j'étais assez loin de trouver cette preuve
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Dans le 69 pour le c) l’expression $d(E,F)$ est appelé la distance de Banach-Mazur de $E$ et $F$, il n’est pas demandé de montrer que c’est une distance. Est-ce un oubli ?
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@etanche Techniquement, c'est $\ln\left( d(.,.) \right)$ qui est une distance, enfin une quasi-distance (deux espaces de même dimension finie sont à distance nulle si et seulement si ils sont linéairement isométriques).D'ailleurs la dernière question de l'exercice 69 n'est pas facile à traiter avec autant d'autonomie...
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@ Bobbyjoe en effet c’est une quasi-distance, merci pour cette précision.
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Pour approfondir le 69 : Lyon-Cachan 2002 !
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Et ENSAE 2003 !
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Le numéro 50 est un joli exercice ; le majorant proposé semble optimal, du moins pour $n=3$.
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@ JLapin et john_john merci pour les références.
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Je suis intrigué par l'exercice suivant.Énoncé 45. Déterminer tous les morphismes d'algèbres de $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.Je conjecture qu'ils sont tous de la forme\[\varphi : f\mapsto P\,\textrm{Diag}(\varphi_1(f),\ldots,\varphi_n(f)) \,P^{-1}\]où $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ et $\varphi_1,\ldots,\varphi_n : \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ sont des morphismes d'algèbres. J'ai une idée de preuve, mais je ne l'ai pas rédigé proprement, donc il est possible qu'il y ait des erreurs.Ce qui m'intrigue est que les seuls morphismes d'algèbres de $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ que j'arrive à trouver sont les évaluations en un point. Mon intuition d'algébriste m'incite à penser qu'il y en a beaucoup d'autres, mais je n'arrive pas à en expliciter (en espérant ne pas avoir loupé une trivialité
). Qu'en pensez-vous ? Merci ! -
(45) En tout cas, les morphismes d'algèbres de $C^\infty(I,\R)$ dans $\R$ sont les $\delta_a$ lorsque $I$ est un segment (le noyau est un idéal maximal et l'on sait que ces idéaux sont principaux, engendrés par les $x\mapsto x-a$).
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Soit $\phi$ un morphisme d'algèbre de $C^\infty(\R,R)$ dans $\R$.Déjà, pour toute fonction constante $\lambda$, on a $\phi(\lambda)=\lambda \phi(1)=\lambda$.Ensuite, on pose $a=\phi(id)$ puis $f\in C^\infty(\R,\R)$ puis $g:x\mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ prolongée par continuité.Ce prolongement est de classe $C^\infty$ (par exemple grâce à une écriture sous forme intégrale).On applique $\phi$ à la relation $f-f(a)=(id-a)*g$ et on obtient $\phi(f)=f(a)$.
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Merci pour vos retours ! J’avais essayé d’utiliser des quotients sans succès, mais je n’avais pas pensé à utiliser simplement le taux d’accroissement.
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(45) Je n'ai pas spécialement réfléchi à cet exo (j'en envisageais d'autres pour l'heure), mais voici deux remarques :
a) $C^\infty$ est une algèbre commutative ; cela plaide en effet pour une réduction commune des matrices images (mais co-diagonalisables ?).
b) Si $M$ est l'image de l'identité de $C^\infty$ et $\mu$ son polynôme minimal, alors le polynôme $\mu$ est dans le noyau et admet donc des zéros réels.
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(45)
c) Le polynôme $\mu$ est scindé car, s'il a un facteur irréductible $P_0$ de degré $2$, alors $P_0(M)$ est inversible, ce qui est absurde. -
(45)
d) En voici un qui n'est pas tout à fait de la forme conjecturée par MrJ, pour $n=2$ : à $f$ on associe $\begin{pmatrix}f(0)&f'(0)\\0&f(0)\end{pmatrix}$
En fait, il doit rester à montrer proprement que toute fonction $f$ s'écrit $F+\mu\cdot g$, où $F$ est un polynôme et $g$ une fonction $C^\infty$ (ici, $F$ résulte d'une interpolation avec dérivées, ce que j'appelle interpolation de Lagrange-Sylvester).
Oui, c'est bon : l'existence de $F$ est un exo classique et celle de $g$ se fait par récurrence sur le degré de $\mu$ (cf les remarques de JLapin et de votre serviteur).
Moralité : toute fonction $f$ a même image que $F$, c'est-à-dire $F(M)$, sachant que $F$ s'exprime à l'aide des dérivées $f^{(\ell)}(a_k)$, où $a_k$ est un zéro de $\mu$ et où $\ell$ est strictement inférieur à la multiplicité d'icelui. Il y a encore de quoi bosser un peu... -
Merci pour cette rectification. En effet, la commutativité me permettait de me ramener à des matrices triangulaires supérieures, puis j’avais l’impression (de tête d’où l’erreur) que les coefficients strictement au-dessus de la diagonale devaient nécessairement être nuls pour que l’on ait bien un morphisme d’algèbres.
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Le 56 est-il inédit ou au contraire classique ? J'en rédigerai volontiers la solution dans le premier cas, mais je crains que cela ne traîne déjà partout.
Quant au 53, il est traité dans Réduction des endomorphismes (Mneimné), p.91. -
Bonjour,J'ai été passablement intrigué par le numéro $8 $.$\forall n \in \N^*,\:\widehat{\mathfrak S_n}:=\left\{\sigma\in \mathfrak S_n\mid \forall k \in [\![1;n]\!],\: \sigma(k) \neq k \right\},\quad u_n:=\displaystyle\sum_{\sigma \in\widehat{\mathfrak S_n}}\varepsilon (\sigma).\qquad$ Alors:$\displaystyle \sum_{\sigma\in \mathfrak S_n}\dfrac{\varepsilon(\sigma)}{\nu(\sigma)+1}= \sum_{k=0}^n \dfrac{\binom n k} {k+1}\sum_{\sigma \in \widehat{\mathfrak S_{n-k}}}\varepsilon(\sigma)=\sum_{k=0}^n \dfrac{\binom n k} {k+1}u_{n-k}=\dfrac 1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}{k+1}u_{n-k}=\dfrac 1{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}{k}u_{n+1-k}.\quad$Il reste dès lors à évaluer $u_n:\quad$ Notons $E$ l'élément de $ \mathcal M_n(\R)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1.\quad$ Alors:$\text{det}(E-I_n)=\displaystyle\sum_{\sigma \in\widehat{\mathfrak S_n}}\varepsilon (\sigma)=u_n,\:\:\text{Sp}(E)=\{0; n\}, \:\:\text{rg}(E) =1,\:\:\chi_E(X)= \text{det}(E-XI_n)=(-1)^n X^{n-1}(X-n).$$$\boxed{u_n= \chi_E(1)=(-1)^{n-1}(n-1).\quad (1)}$$$\displaystyle \sum_{\sigma\in \mathfrak S_n}\dfrac{\varepsilon(\sigma)}{\nu(\sigma)+1}\overset{(1)}=\dfrac 1{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^{n-k}(n-k),\quad \boxed{ \displaystyle \sum_{\sigma\in \mathfrak S_n}\dfrac{\varepsilon(\sigma)}{\nu(\sigma)+1}= \dfrac{(-1)^{n+1}n}{n+1}.}$
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Très bien vu d'avoir fait intervenir la matrice $E$ dans le calcul de $u_n$. J'ai dû passer par une relation de récurrence entre les $u_k$ pour démontrer péniblement l'égalité $u_n=(-1)^n (n-1)$.
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Des idées pour le 40? Merci
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Bravo @LOU16 ! Le passage par la matrice $E$ est effectivement bien vu.J'aurais bien aimé voir une preuve probabiliste faisant par exemple intervenir les variables aléatoires $X_k:\mathfrak S_n\to \{0,1\}$ qui à $\sigma$ associent $1$ si $\sigma(k)=k$ et $0$ sinon, en munissant $\mathfrak S_n$ de la probabilité uniforme.
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Pour la 45 j'ai procédé comme ceci :Soit $J_m=(\delta_{j,i+1})_{1\leqslant i,j\leqslant m}$. Soit $\varphi_{m,a}(f)=\sum_{k=0}^{m-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}J_m^k$.
On montre qu'il existe $Q$ inversible, $a_1,\ldots,a_r\in \R$ et $m_1,\ldots,m_r\in\N^*$ tels que $\forall f$, $\varphi(f)=Q\mathrm{diag}(J_{m_1}(a_1),\ldots,J_{m_r}(a_r))Q^{-1}$.
1) Soit $f\in C^\infty(\R,\R)$. Si $P$ est un polynôme sans racines réelles, alors $P(f)$ ne s'annule pas sur $\R$, donc est inversible. Par conséquent, $P(\varphi(f))$ est inversible, ce qui montre que le spectre de $\varphi(f)$ est réel.
2) Soit $f_0(x)=x$. Pour tout $f$, les espaces caractéristiques de $\varphi(f)$ sont stables par $\varphi(f_0)$. On se ramène donc au cas où $\varphi(f_0)$ a un seul espace caractéristique.
3) Soit $a$ la valeur propre de $\varphi(f_0)$. Soit $f_1=f_0-a$.
Pour tout $f$, soit $P_f(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$. Il existe $h\in C^\infty(\R,\R)$ tel que $f=P_f+(x-a)^nh$.
On a alors $\varphi(f)=P_f(\varphi(f_0))$.
4) On conclut d'après la réduction de Jordan.Remarque : un exercice voisin consisterait à demander quelles sont les représentations de l'algèbre $C^0(\R,\R)$.
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Pour le 8, j'avais procédé comme il suit ; c'est bien moins élégant que la méthode de Lou16, mais ne requiert que du calcul (et en dit un peu plus).
Si $P_n(X)=\sum\varepsilon(\sigma)X^{\nu(\sigma)}$, on a facilement la relation $P_{n+1}=XP_n+\sum_{k>0}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!}P_{n-k}$. Pour $X\in[0,1]$ fixé, la série entière $S(t)=\sum\frac{P_n(X)}{n!}t^n$ a un rayon de convergence $\geqslant1$ et est solution de l'EDO $y'=(X-1)y+\displaystyle\frac y{1+t}$, d'où $S(t)=(1+t)\exp((X-1)t)$ et donc $P_n(X)=(X-1)^{n-1}(X+n-1)$ et d'où la somme attendue $\displaystyle\int_0^1P_n(x){\rm d}x=(-1)^{n+1}\frac n{n+1}\cdot$
Peut-être est-ce plus simple si l'on passe directement par la série génératrice de la famille $\Big(Q_n(X)=\displaystyle\int_0^XP_n(x){\rm d}x\Big)$ ; je n'ai pas essayé. -
Ce serait beau si on arrivait à prouver directement que $P_n=\chi_F$ où $F=I_n-E$, $E$ étant la matrice définie plus haut par @LOU16 et $P_n$ le polynôme défini par @john_john.PS : Contrairement à @LOU16, j'ai pris la convention $\chi_A=\det(XI_n-A)$.
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Je connaissais l'exercice 8 sous une forme légèrement différente (et plus facile) :
On demandait d'abord de calculer le déterminant de la matrice $J=(x-1)I_n+E$ (avec les notations de LOU16) puis d'en déduire le calcul de $\displaystyle \sum_{\sigma\in \mathfrak S_n}\dfrac{\varepsilon(\sigma)}{\nu(\sigma)+1}$.
On obtient $\det(J)=\displaystyle \sum_{\sigma\in \mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma)x^{\nu(\sigma)}=(x+n-1)(x-1)^{n-1}$.
Il suffit ensuite d'intégrer sur $[0,1]$ avec une IPP pour obtenir le résultat.
Edit : j'ai corrigé l'expression incorrecte de $J$ grâce à la remarque de MrJ que je remercie.
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Le 8 c’est un problème de Putnam 2005 le B6
Il y a quatre solutions de ce problème voir page 6 https://kskedlaya.org/putnam-archive/2005s.pdf
la solution de Richard Stanley est très intéressante. -
Une solution du 8 en vidéo https://www.youtube.com/watch?v=FK9l6cMgUIk
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Je me suis essayé à l'exercice 104 : "Déterminer l’ensemble des fonctions réelles $f$ qui sont limites uniformes sur $[−1;0]$ d’une suite de polynômes à coefficients positifs". J'ai trouvé une solution un peu ad-hoc, j'aimerais bien savoir si quelqu'un peut trouver une solution plus raisonnable. Voici ma solution en attendant.Par évaluation en zéro, une condition nécessaire est $f(0)\geq0$. Montrons qu'elle est suffisante. Comme par Weierstrass, toute fonction est limite uniforme de polynômes, on peut supposer $f$ polynôme. De plus comme tout polynôme peut s'écrire $f=A-B$, où $A$ et $B$ sont des polynômes à coefficients positifs, il suffit de montrer que $-x$, $-x^2$, $-x^3$, etc, peuvent être approchés par des polynômes à coefficients positifs. Montrons d'abord que c'est le cas pour $f=-x$.Soit $\epsilon>0$ fixé et $k>0$ tel que $\frac{1}{k}\leq\epsilon$. Si $x\in[-1;0]$, $|\frac{1}{k} e^{kx}| \leq \frac{1}{k} \leq \epsilon$. Or$\frac{1}{k} e^{kx} = x+\sum_{n=0,n \neq 1}^{N}{\frac{(kx)^n}{n!}}+\sum_{n>N}^{\infty}{\frac{(kx)^n}{n!}}$Le dernier terme est inférieur à $\epsilon$ pour $N$ choisi assez grand. Alors $|x+\sum_{n=0,n \neq 1}^{N}{\frac{(kx)^n}{n!}}|\leq 2\epsilon$. En multipliant par $-1$, on trouve l'approximation de $-x$ par un polynôme à coefficients positifs : $|-x-(\sum_{n=0,n \neq 1}^{N}{\frac{(kx)^n}{n!}})|\leq 2\epsilon$.Maintenant soit $(P_m(x))_m$ une suite de polynômes à coefficients positifs convergeant uniformément vers $-x$. Alors $\forall p>0$, $(x^{p-1}P_m(x))_m$ converge uniformément vers $-x^p$ sur $[-1;0]$ et $x^{p-1}P_m(x)$ est bien à coefficients positifs.
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MrJ a dit :Je conjecture qu'ils sont tous de la forme\[\varphi : f\mapsto P\,\textrm{Diag}(\varphi_1(f),\ldots,\varphi_n(f)) \,P^{-1}\]où $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ et $\varphi_1,\ldots,\varphi_n : \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ sont des morphismes d'algèbres. J'ai une idée de preuve, mais je ne l'ai pas rédigé proprement, donc il est possible qu'il y ait des erreurs.JLT a dit :Remarque : un exercice voisin consisterait à demander quelles sont les représentations de l'algèbre $C^0(\R,\R)$.
Se pourrait-il que j'ai donné la bonne réponse à la mauvaise question ? -
C'est ce qu'il me semble en effet.
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D’après les indications de JLT pour l’exercice 40On montre que A possède un espace caractéristique réel de dimension impaire, donc on se ramène au cas où A est nilpotent, et idem pour B, et dans ce cas A et B sont co-trigonalisables.
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Je ne vois pourquoi on peut se ramener à A nilpotent. -
(C'était pour l'exercice 40.) Sur un espace caractéristique de $A$, on a $A=\lambda I+A'$ avec $A'$ nilpotent.
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@ JLT pour le 40 si on obtient que A et B sont co-trigonalisable sur $R$.
Le nombre complexe $i$ de $A+iB$ est inutile dans cet exercice.
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