Réduction de l'endomorphisme

MrJ
MrJ
Modifié (December 2022) dans Algèbre
Bonjour,
il est classique qu'étant donné deux matrices $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$, l'endomorphisme \varphi:M\mapsto AMB $\varphi:M\mapsto AM+MB$ de $\mathcal{M}_n(\C)$ est diagonalisable si et seulement si les matrices $A$ et $B$ sont diagonalisables. Le sens direct est relativement simple et la réciproque peut se démontrer en s'appuyant sur la décomposition de Dunford.
Est-ce que vous connaitriez une démonstration "plus élémentaire" pour la réciproque (sans utiliser la décomposition de Dunford) ? J'aimerais écrire un problème sur cette équivalence, mais je suis bloqué pour la moment pour trouver une preuve accessible au niveau classe préparatoire pour la réciproque (sachant que je n'ai pas de polynômes annulateurs dans mon programme non plus :( ).
Merci d'avance pour vos idées !

Édit : J'ai corrigé une erreur suite au message de marco.


Réponses

  • Si $A=0$ et $B$ n'est pas diagonalisable, alors $\phi(M)=0$ pour tout $M$ donc $\phi$ est diagonalisable. Donc la réciproque n'est pas vraie.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2022)
    Oups :D ; au moins ça règle la question.
    Je me suis trompé d’endomorphisme.

    Le bon endomorphisme est $M\mapsto AM+MB$.
    J'espère que je n’ai pas raconté de bêtise cette fois-ci…

  • JLT
    JLT
    Modifié (December 2022)
    Supposons $\varphi:M\mapsto AM+MB$ diagonalisable.

    Soit $Y$ un vecteur propre de $B^T$ et $\lambda$ la valeur propre correspondante. Pour tout vecteur colonne $X$, on a $A(XY^T)+(XY^T)B=(A+\lambda I)X Y^T$ donc la restriction de $\varphi$ au sous-espace $E=\{XY^T\mid X\in M_{n,1}(\C)\}$ est conjuguée à $A+\lambda I$. Donc si on sait que la restriction à un sous-espace stable d'un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable, on peut démontrer que $A+\lambda I$ est diagonalisable, donc $A$ aussi. De même, $B$ est diagonalisable.

  • troisqua
    Modifié (December 2022)

    Bon j'essaye quelque chose. On note $\mathscr{M}=M_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ et $E=\mathbb{C}^{n}$. Soient $A$ et $B$ dans $\mathscr{M}$ et $\phi\in\mathscr{L}\left(\mathscr{M}\right)$ définie par $\phi\left(M\right)=AM+MB$. On suppose $\phi$ diagonalisable donc qu'il existe $\mu=\prod_{i\in r}X-a_{i}\in\mathbb{C}\left[X\right]$ à racines simples annulant $\phi$. Soit $X$ dans $E$ propre pour $B$ et associé à la valeur propre $b$ (possible car $\mathbb{C}$ est algébriquement clos). Comme $\mu\left(\phi\right)=0_{\mathscr{L}\left(\mathscr{M}\right)}$, on a $\prod_{i\in r}\left(\phi-a_{i}id_{\mathscr{L}\left(\mathscr{M}\right)}\right)=0_{\mathscr{L}\left(\mathscr{M}\right)}$. Soit $M\in\mathscr{M}$. En évaluant en $M$ :$\prod_{i\in r}\left(AM+MB-a_{i}M\right)=0_{\mathscr{M}}$. On évalue en $X$ : $\prod_{i\in r}\left(A-\left(a_{i}-b\right)I_n\right)\left(MX\right)=0_{E}$. Comme les $MX$ décrivent $E$ quand $M$ décrit $\mathscr{M}$ (car $X$ non nul), on a $\mu\left(X+b\right)$ scindé à racines simples qui annule $A$. Donc $A$ diagonalisable (idem pour $B$). En espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises.

  • @troisqua quand tu évalues en $M$, n'as-tu pas utilisé un truc faux du genre $(f\circ g)(M)=f(M)\circ g(M)$ pour tout $f,g\in\mathscr{L}(\mathscr{M})$ ?
  • JLapin
    Modifié (December 2022)
    @JLT
    J'ai du mal à utiliser ton indication. Il ne me semble pas évident que $E$ soit stable par $\varphi$ (mais peut-être que ça n'est pas le cas ou que ça n'est pas utile) et je ne comprends pas non plus cette histoire de conjugaison entre la restriction de $\varphi$ à $E$ et $A+\lambda I$.
  • Oh probablement que si ! Dommage, ça me plaisait. Je me demande s'il n'y a pas un sauvetage possible.
  • Soit $h(X)=XY^T$. C'est un isomorphisme de $M_{n,1}(\C)$ sur $E$, et on a $\varphi\circ h(X)=h((A+\lambda I)X)$ pour tout $X$, c'est-à-dire $\varphi_{|E}=h\circ (A+\lambda I)\circ h^{-1}$.
  • Je n'ai sans doute pas les trous devant les yeux mais je ne comprends rien de l'ébauche de @JLT.
  • Merci !
    Maintenant, il reste ce problème de stabilité :)
  • Pour le fait que si $u$ est diagonalisable alors la restriction de $u$ à tout sous-espace stable $F$ est diagonalisable : soit $x\in F$. Comme $u$ est diagonalisable, $x$ est somme de vecteurs propres : $x=\sum_i x_i$ où $u(x_i)=\lambda_i x_i$, les $\lambda_i$ étant distincts deux à deux.
    Pour tout $k$ on a $u^k(x)=\sum_i\lambda_i^k x_i$. Comme $u^k(x)\in F$ pour tout $x$, un coup de Vandermonde montre que les $x_i$ sont tous dan $F$, donc $F$ est somme des sous-espaces propres de $u_{|F}$.
  • Oui, mais pourquoi $E$ est-il stable par $\varphi$ ?
  • Si tu es d'accord avec l'égalité $\varphi\circ h(X)=h((A+\lambda I)X)$ alors la stabilité est évidente.
  • JLapin
    Modifié (December 2022)
    Non, je pense qu'elle montre juste que $\varphi_{|E}$ est à valeurs dans $M_{n,1}(\C)$, pas dans $E$.
  • Qu'est-ce qui te bloque ? J'ai défini $E$ comme l'image de $h$ et on a bien $\varphi(h(\mathrm{quelque\; chose}))=h(\mathrm{quelque\; chose})$.
  • JLapin
    Modifié (December 2022)
    Ok, je n'avais pas les yeux en face des trous et mélangeait les espaces de départ et d'arrivée de $h$ ! Effectivement, la stabilité de $E$ par $\varphi$ est évidente dès la première écriture.
    Merci pour le temps passé, la patience et la jolie preuve !
  • Pas pour fayotter mais je crois que j'ai compris aussi (une accolade fermante est peut-être appparue opportunément).
  • Guego
    Modifié (December 2022)
    Je me disais que j'avais cet exo dans mes archives.
  • Merci pour tous vos retours !
    Je vais essayer de faire un problème d'une difficulté raisonnable pour mes étudiants avec ces pistes.
    Merci encore !
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