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Non seulement c'est comique mais en plus, je trouve que ce serait l'exemple le plus "intuitif" d'un ensemble qui s'appartient à lui-même. $\forall x \in V,\ \pi (x) = \{ \pi (y) \mid (x, y) \in A\}$
Ensemble des parties contre-intuitif ?
Dans un modèle de ZF(C), l'ensemble des parties de X peut-il être élément de X ?
Réponses
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Je n'y connais pas grand chose, mais je dirais qu'avec l'axiome d'anti-fondation on a l'existence d'un ensemble $X=\{A\}$ tel que $A=\{X,\emptyset\}$
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@tetsu il faut prouver ce que tu dis ou au moins indiquer un texte qui prouve tes dires.
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Sinon dans tout modèle de ZFC, pour tout $A$, $\{A,\mathcal P (A)\}$ admet un élément minimale pour la relation d'appartenance (selon fondation), je te laisse chercher qui des deux vérifie cela.
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Comme dit @cohomologies, l'axiome de fondation empêche l'existence d'un tel ensemble.Que se passe-t-il sans cet axiome (mais avec les autres) ?Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Je n'ai pas le temps de développer, mais il semble que @tetsu ait raison. L'ensemble $X$ dont il parle existe dans ZFC-AF+AFA. La référence est Peter Aczel : "Non Well-Founded Sets", page 7 du livre, page 27 du pdf. Je ne peux pas le poster ici car il pèse 34 Mo mais il est en libre téléchargement, avec l'aimable autorisation de l'éditeur d'Aczel.
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Merci pour la référence @Martial.
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@cohomologies : de rien.@Foys : de rien. En fait la théorie des hypersensembles de Peter Aczel est la prochaine théorie alternative sur laquelle je dois travailler, après Vopenka. Donc je ne suis pas encore très à l'aise sur la question. Mais si j'ai bien compris, après "réification" (unfolding), l'ensemble $X$ dont parle @tetsu, qu'Aczel note $0^*$, s'écrit$$0^* = \{0,\{0,\{0,...\}\}\}$$avec une infinité d'accolades. Ouch !!!
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@Martial tu aurais un lien vers ce pdf stp ? Je l'ai vu cité sur la page wikipedia de l'axiome mais je ne l'ai pas trouvé sans payer !
Sur https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_d%27anti-fondation, l'axiome d'anti-fondation dit que pour tout graphe orienté, il existe une unique façon d'associer à chaque sommet un ensemble de telle sorte que les flèches du graphe représentent l'appartenance $\in$.
Si on prend le graphe à 3 sommets $x$, $a$, $0$ avec $x\rightarrow a$, $a\rightarrow x$ et $a\rightarrow 0$ alors l'axiome AFA nous donne l'existence
d'ensembles $X$ et $A$ qui vérifient $X=\{A\}$ et $A=\{X,\emptyset\}$, d'après ce que j'ai compris.
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@tetsu : j'ai un peu galéré mais j'ai fini par en trouver une version plus légère, j'espère que ça va passer.
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Merci pour toutes ces réponses passionnantes... et un peu vertigineuses !Je viens de voir que J.L. Krivine propose en exercice (n°17, PUF 1972) :Si ZFC est non contradictoire, alors ZFC + (il existe X tel que P(X) soit élément de X) est aussi non contradictoire.
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@damien09 il y a une erreur dans ton énoncé car ZF a pour conséquence que $\forall A\mathcal P (A)\not \in A$.
Bon, sinon le message tetsu a dit :
est incomplet car il faut rajouter d'autres axiomes comme l'a fait @MartialJe n'y connais pas grand chose, mais je dirais qu'avec l'axiome d'anti-fondation on a l'existence d'un ensemble $X=\{A\}$ tel que $A=\{X,\emptyset\}$ -
Ça ne marche pas dans ZFC.
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@cohomologies Krivine ne considère pas que AF (l'axiome de fondation) fait partie des axiomes de ZFC dans son livre (contrairement à un usage répandu certes).@Cyrano sous réserve que ZF est non contradictoire on ne peut pas car cela contredit l'axiome de fondation (et les quatres théories ZF, ZFC avec ou sans AF sont équiconsistantes).Pour montrer qu'on peut supposer l'existence d'un tel objet (dans ZF(C) +négation de AF donc) sans que cela entraîne une contradiction, on procède comme suit. Soit $R$ une relation fonctionnelle bijective sur l'univers (i.e. une formule à deux variables libres $x,y$ telle que $\forall x \exists ! y R$ et $\forall y \exists ! x R$ sont des théorèmes). On pose pour tous $a,b$, $"a \in_R b":= \forall y, R[x:=b] \Rightarrow a \in y $ (intuitivement: si $R= "f(x) = y"$ alors $a \in_R b = (a \in f (b))$). On peut alors vérifier qu'à part AF tous les axiomes de ZF (ou ZFC si on suppose le choix) sont vérifiés lorsqu'on remplace $\in$ par $\in_R$. La grande liberté laissée sur le choix de $R$ permet de violer l'axiome de fondation.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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@cohomologies tu veux dire enlever d'autres axiomes ? Oui avant de rajouter l'axiome d'anti-fondation il faut enlever AF si on l'avait mis dans ZFC, sinon il va y avoir une contradiction !@Foys D'ailleurs je n'ai pas trouvé si ZFC et ZFC+anti-fondation (donc plus que la négation de AF) sont équiconsistantes, tu sais si c'est prouvé ?Merci @Martial
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Tout le monde l'aura compris, contrairement à Krivine je mets AF dans la liste des axiomes de ZFC.
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@Foys c'est embêtant que nous utilisions la même expression pour désigner deux choses bien distinctes, en tout cas merci pour l'éclaircissement.
@tetsu je te rappelle ton commentaire:
Il semble claire que tu indiques qu'il faut remplacer AF par sa négation dans ZF, cependant cela ne suffit apparemment pas, il y a d'autres axiomes à rajouter tout du moins pour faire la démarche décrite dans la référence de @Martial. En gros la source de @Martial ne montre pas, me semble-t-il, que ton ensemble $X$ existe dans tout modèle de ZF-AF.tetsu a dit :Je n'y connais pas grand chose, mais je dirais qu'avec l'axiome d'anti-fondation ... -
Si je comprends bien les diverses réponses, il faut d'abord se mettre d'accord sur le "périmètre" de ZF(C). Si il y a AF dedans, alors P(X) élément de X est évidemment impossible. Si on se place dans le ZF(C) de Krivine (donc sans AF), alors la question retrouve sa pertinence.En ce cas, et toujours si je comprends bien, Foys nous montre que le système ZF(C) sans AF permet de supposer sans contradiction l'existence du monstre (ce qui semble résoudre l'exercice de Krivine). Enfin, avec son ZFC+AFA, Aczel exhibe effectivement le monstre. (Merci Martial d'avoir déniché cet intéressant papier.)Est-ce que je résume bien ?
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damien09 a dit :Si je comprends bien les diverses réponses, il faut d'abord se mettre d'accord sur le "périmètre" de ZF(C). Si il y a AF dedans, alors P(X) élément de X est évidemment impossible. Si on se place dans le ZF(C) de Krivine (donc sans AF), alors la question retrouve sa pertinence.En ce cas, et toujours si je comprends bien, Foys nous montre que le système ZF(C) sans AF permet de supposer sans contradiction l'existence du monstre (ce qui semble résoudre l'exercice de Krivine). Enfin, avec son ZFC+AFA, Aczel exhibe effectivement le monstre. (Merci Martial d'avoir déniché cet intéressant papier.)Est-ce que je résume bien ?
Oui.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Martial que designe-tu par ZFC-AF ?
Car ZFC-AF pour moi, c'est ZFC où on remplace AF par sa négation.
Après la lecture de tes nouveaux commentaires, je m'aperçois que par AFA tu désignes "anti-fondation" et par ZFC -AF tu désignes ZFC où on retire AF.
Si c'est avec ces axiomes qu'on travaille dans ta référence alors méa-culpa à @tetsu, @Martial dis en effet la même chose que toi. -
@cohomologies ah si justement, l'axiome d'anti-fondation dit beaucoup plus que la négation de l'axiome de fondation ! Il dit en gros que tout graphe d'appartenance que tu peux imaginer va correspondre à des ensembles qui existent.D'ailleurs dans le document de Martial à la page 7 Aczel prend plus simplement le graphe à 2 sommets $x$, $0$, avec $x\rightarrow x$ et $x\rightarrow 0$, et ça donne le même ensembleque le graphe à 3 éléments que j'ai pris plus haut !@Martial je viens de voir que c'est dit dans l'introduction de ton document
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@tetsu, merci, encore un truc que j'ignorais. Je pensais que "anti-fondation" signifiait juste la négation de l'axiome de fondation.
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Qui se propose d'écrire l'axiome d'antifondation dans le langage des ensembles (ou dans une extension raisonnable du langage des ensembles) ?
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J'essaie.Un graphe orienté est un couple $G=(V,A)$ tel que $A\subset V\times V$. On dit que $y$ est un enfant de $x$ si $(x,y)\in A$.Une décoration sur un graphe orienté $G=(V,A)$ est une application $\pi$ définie sur $V$ qui associe à chaque nœud un ensemble de telle sorte que les éléments d'un ensemble associé à un nœud sont les ensembles associés aux enfants de ce nœud :Axiome d'anti-fondation. Tout graphe orienté admet une unique décoration.
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Donc, si j'ai bien compris, un graphe orienté, c'est une relation binaire (ensembliste) $(V,A)$ et un noeud, c'est un élément de la base de la relation et une coloration c'est un monomorphisme $\pi$ de relations binaires du graphe orienté $(V,A)$ vers $(im(\pi ),\in\restriction _{im(\pi )})$.L'unicité me rappelle un peu "Motowski's collapsing lemma".
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Une décoration n'est pas injective en général, et je ne pense pas qu'on puisse voir ça comme un morphisme parce que ça dit plus que $\pi (y) \in \pi (x)$ : il faut aussi que $\pi (x)$ ne contienne aucun autre élément que les $\pi (y)$ avec $y$ enfant de $x$.Par exemple, un noeud sans enfants sera forcément associé à l'ensemble vide !
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Oui 😅 je n'avais pas fait attention à l'ordre.
Mais dans ce cas, ce serait un mono-morphisme de relations binaires de la "relation inverse" de $(V,A)$ vers ... -
Tu as raison apparemment c'est très proche de ce "Motowski's collapsing lemma", Aczel le cite dans son document (juste avant d'introduire l'axiome d'anti-fondation) comme ceci :Tout graphe orienté sans chemin infini admet une unique décoration.
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A nouveau merci pour ces beaux échanges. C'est le moment de relire le 2.3 du Ch.13 de Martial (Le statut de l’axiome de fondation en mathématiques)
Krivine n'avait peut-être pas tort de le tenir à part du package ZFC.
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Pour ceux que l'histoire de la théorie des ensembles intéresse, voici l'article d'où est extraite la citation qu'Aczel met en exergue de son livre. On est parfois étonné de constater que beaucoup de ces questions sont plus que centenaires.
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L'axiome de fondation ne sert à rien pour les mathématiciens non ensemblistes (à part peut-être se rassurer de peurs inspirées par une mauvaise tradition philosophique: des ensembles $x$ tels que $x \in x$ ouh là là). Par contre c'est un élément indispensable de l'arsenal du théoricien des ensembles.En fait il y a une famille croissante indexée par les ordinaux: $(V_{\alpha})_{\alpha\text{ ordinal}}$ (la hiérarchie de Von-Neumann) dont la "réunion" $V$ (la classe des objets appartenant à un $V_ {\alpha}$ pour au moins un $\alpha$) satisfait AF quoi qu'il arrive et l'axiome de fondation dit qu'il n'y a rien en dehors de $V$ (sa négation dit que si). En pratique les vraies maths d'usage se pratiquent toutes dans $V$ (bon en réalité elles se font toutes dans l'univers constructible $L$ mais quand vous dites ça les gens peuvent se braquer
).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Personnellement, je n'ai jamais compris pourquoi les ensembles tels que $x\in x$ faisaient peur, une boucle dans un graphe n'a rien de bizarre ou d'exceptionnel. Sans doute un des maléfices lié à l'utilisation de l'intuition (lié au vocabulaire, cf. Hilbert).Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Concernant l'intuition, je ne crois pas qu'il faille vraiment y voir un maléfice, @Médiat_Suprème. Tout le problème de ZF en tant que théorie du premier ordre, c'est effectivement de rendre imparfaitement compte de nos intuitions, lesquelles ont la peau dure et c'est sans doute tant mieux. L'accès à la catégoricité, grâce auquel on pourrait avoir un N bien sympa, un R dont les sous-ensembles soient bien descriptibles, tout ça reste un rêve (Skolem n'étant pas d'accord), et quand on parle de fondement des mathématiques dans ZF, on extrapole beaucoup, je trouve. "Bilan mitigé" comme disait le regretté Patrick.Ci-joint un bon papier de Shapiro là-dessus.
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Intuition en mathématique = langue d'Ésope, donc avec sa part de maléfices..Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Merci @damien09 pour ces 2 papiers. Je pense que Mirimanoff était un grand précurseur et qu'il avait "tout compris" avant l'heure.Par ailleurs je suis un peu comme @Médiat_Suprème, cela ne me choque pas de "voir" un ensemble s'appartenant à lui-même. Dans l'absolu on pourrait très bien travailler dans une théorie des ensembles avec axiome d'anti-fondation, qui donne naissance à des objets assez jolis comme on peut le voir dans le livre de Peter Aczel. Et cela ne nous empêcherait pas de reconstruire les $V_\alpha$, puis $V$, à l'intérieur d'un modèle de ZFC-AF+AFA (comme le fait @Foys ci-dessus). Et rien ne nous empêcherait non plus, par exemple tous les mardis, de dire : "Bon, aujourd'hui les gars on travaille dans $V$, donc on a AF à notre libre disposition".
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@tetsu quand je disais monomorphisme de relations binaires, j'utilisais la définition ci-jointe du Cori-Lascar.
Le langage ici est réduit à un symbole de relation d'arité 2, et le langage n'est pas égalitaire.
Cependant lors de l'introduction de cette définition dans le Cori-Lascar, les seuls langages envisagés étaient égalitaires.
Cette nomenclature ne convient pas dans le cas d'un langage non égalitaire car rien ne garantit qu'on obtient bel et bien un mono-morphisme de la catégorie des structures du langage en question. "plongement" est certainement préférable comme nom.
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