Majoration de |sin(x^n)|

Bethebesteveryday
Modifié (December 2022) dans Analyse
Bonjour tout le monde ,

  s’il vous plait , est ce qu’on a cette majoration de 
|sin(x^n)|<=|x|^n quel que soit x dans IR et n dans IN ? Si oui , est ce qu’un raisonnement par récurrence est favorable ?

MERCI BEAUCOUP POUR VOS AIDES !
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Réponses

  • bisam
    Modifié (December 2022)
    1) Oui, si tant est que tu mettes des quantificateurs adéquats et une inégalité large plutôt que stricte, la majoration est vraie. Tu peux remarquer qu'il est suffisant de prouver l'inégalité pour $x\in [-1,1]$ et $n=1$, car on peut la déduire pour les autres valeurs.
    2) Une récurrence est totalement inutile d'après la remarque ci-dessus.
  • oui quel que soit x dans R , et puis pourquoi si c'était large,la majoration sera vraie ? normalement sinx ne pourra jamais être égale à x,non ?

    Comment peut-on la déduire s'il vous plait ?
  • Si, quand x=0. 
  • oui oui c'est le seul cas
  • Une exception suffit pour invalider une assertion qui commence par $\forall$.
  • Le TAF implique que pour tout x réel , |sin x|<= |x|
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • ma question était pour x^n avec n dans IN 
  • Si c'est vrai pour tous les x réels , il est vrai en particulier pour les x^n
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  • par quelle raison ?

  • Pour la raison suivante  si x est un réel et n un entier alors y=x^n est aussi un nombre réel 
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  • J'explicite ce que veut dire @gebrane. La phrase « Pour tout $x$ réel, on a $|\sin x|\le|x|$ » est parfaitement synonyme de la phrase « Pour tout $y$ réel, on a $|\sin y|\le|y|$. »
    À présent, si $x$ est un réel et $n$ un entier, on peut poser $y=x^n$ et appliquer « le cas $n=1$ », i.e. la phrase précédente. Elle donne $|\sin(x^n)|\le |x^n|$ et on sait par ailleurs que $|x^n|=|x|^n$.
  • MERCI BEAUCOUP !

  • Bethebesteveryday
    Modifié (December 2022)
    Btw comment vous arrivez à écrire les symboles mathématiques dans vos clavier ? Moi j'ai le clavier Espagnol ... est-ce qu'il faut installer un programme quoi ?
  • Bonsoir,

    essaye ceci : 

    $\$$ \dfrac{4}{5} $\$$
  • Ce n'est pas lu 

  • JLapin
    Modifié (December 2022)
    @Bethebesteveryday
    Encadre tes maths par des dollars.
    Par exemple, avec ce que propose Dom, on obtient $\dfrac{4}{5}$.
  • gebrane
    Modifié (December 2022)
    A tous sauf l'auteur du fil, 
     A-t-on toujours $\exists C>0, \forall z\in\mathbb C,\, ,\quad  |\sin(z)|\leq  C |z|$    :) ( La réponse  est simple) 
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  • Vu ce qui se passe chez les imaginaires purs...
  • gebrane
    Modifié (December 2022)
    Oui, Et pour cette question 
     A-t-on toujours $\exists C>0, \forall  |z|\leq 1 ,\quad  |\sin(z)|\leq  C |z|$  ?  o:)
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  • Ben, le quotient est analytique sur un compact, il n'y a pas de quoi faire une thèse.
  • gebrane
    Modifié (December 2022)
    Il y a de quoi faire une thèse ! J'en voulais venir en douceur à cette question difficile : démontrer que $$\forall z\in\mathbb C,\, \text{ avec}\, |z|=1,\quad |\sin z|\geq \frac 12$$
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