Majoration de |sin(x^n)|

Bethebesteveryday

Bonjour tout le monde ,

  s’il vous plait , est ce qu’on a cette majoration de 

|sin(x^n)|<=|x|^n quel que soit x dans IR et n dans IN ? Si oui , est ce qu’un raisonnement par récurrence est favorable ?

MERCI BEAUCOUP POUR VOS AIDES !

bisam

1) Oui, si tant est que tu mettes des quantificateurs adéquats et une inégalité large plutôt que stricte, la majoration est vraie. Tu peux remarquer qu'il est suffisant de prouver l'inégalité pour $x\in [-1,1]$ et $n=1$, car on peut la déduire pour les autres valeurs.

2) Une récurrence est totalement inutile d'après la remarque ci-dessus.

Bethebesteveryday

oui quel que soit x dans R , et puis pourquoi si c'était large,la majoration sera vraie ? normalement sinx ne pourra jamais être égale à x,non ?

Comment peut-on la déduire s'il vous plait ?

julian

Si, quand x=0. 

Bethebesteveryday

oui oui c'est le seul cas

Math Coss

Une exception suffit pour invalider une assertion qui commence par $\forall$.

gebrane

Le TAF implique que pour tout x réel , |sin x|<= |x|

Bethebesteveryday

ma question était pour x^n avec n dans IN 

gebrane

Si c'est vrai pour tous les x réels , il est vrai en particulier pour les x^n

Bethebesteveryday

par quelle raison ?

gebrane

Pour la raison suivante  si x est un réel et n un entier alors y=x^n est aussi un nombre réel 

Math Coss

J'explicite ce que veut dire @gebrane. La phrase « Pour tout $x$ réel, on a $|\sin x|\le|x|$ » est parfaitement synonyme de la phrase « Pour tout $y$ réel, on a $|\sin y|\le|y|$. »

À présent, si $x$ est un réel et $n$ un entier, on peut poser $y=x^n$ et appliquer « le cas $n=1$ », i.e. la phrase précédente. Elle donne $|\sin(x^n)|\le |x^n|$ et on sait par ailleurs que $|x^n|=|x|^n$.

Bethebesteveryday

MERCI BEAUCOUP !

Bethebesteveryday

Btw comment vous arrivez à écrire les symboles mathématiques dans vos clavier ? Moi j'ai le clavier Espagnol ... est-ce qu'il faut installer un programme quoi ?

Dom

Bonsoir,

essaye ceci : 

$\$$ \dfrac{4}{5} $\$$

Bethebesteveryday

Ce n'est pas lu 

JLapin

@Bethebesteveryday
Encadre tes maths par des dollars.
Par exemple, avec ce que propose Dom, on obtient $\dfrac{4}{5}$.

gebrane

A tous sauf l'auteur du fil, 
 A-t-on toujours $\exists C>0, \forall z\in\mathbb C,\, ,\quad  |\sin(z)|\leq  C |z|$    ( La réponse  est simple) 

JLapin

Vu ce qui se passe chez les imaginaires purs...

gebrane

Oui, Et pour cette question 
 A-t-on toujours $\exists C>0, \forall  |z|\leq 1 ,\quad  |\sin(z)|\leq  C |z|$  ? 

Math Coss

Ben, le quotient est analytique sur un compact, il n'y a pas de quoi faire une thèse.

gebrane

Il y a de quoi faire une thèse ! J'en voulais venir en douceur à cette question difficile : démontrer que $$\forall z\in\mathbb C,\, \text{ avec}\, |z|=1,\quad |\sin z|\geq \frac 12$$