La logique au lycée

Xavier Var

Bonjour,

Il ne s'agit pas ici de dénigrer le travail du prof de math de la vidéo ci-dessous.
Le passage commence à 1:45. J'aimerais savoir comment définir les connecteurs logiques à nos chers élèves du lycée ou supérieur sans pour autant aller faire un cours complet sur la logique formel. Ses exemple m'embrouille beaucoup trop.

https://youtu.be/7a55KHGBlI0?t=105

Alain24

 J' ai appris que $A\Rightarrow B$ c'est $\forall A,B$ (non A ou B ) vrai ou A et B sont des énoncés qui ont pour valeur vrai ou faux. Ceci s'interprète si $A$ est vrai alors pour que (non A ou B ) soit vrai il faut que nécessairement que $B$ soit vrai. L'inconvénient du film c'est qu'il n'explique pas que si $A$ est faux alors $A\Rightarrow B$ est vrai.

Alain24

 France Culture vient de diffuser une émission sur le dopage et le football (la vidéo postée contient une publicité qui illustre que les télévisions françaises ont censuré le football féminin et doit nécessairement donner  lieu a débat sur les lois françaises de 1885 sur la presse et les lois françaises de laïcité de 1905)!

Dom

Quelle est « la logique » du dernier message sur le football ?

mateo

Bonjour,
un exemple, issu d'un livre d'Hervé Lehning, qui illustre que "A implique B" équivaut à "Non A ou B".

un voleur, cerné par des gendarmes, leur crie : "Si vous avancez, je tire", qui équivaut à : "N'avancez pas, ou je tire".
Cordialement,

Alain24

Dom a dit :

Quelle est « la logique » du dernier message sur le football ?

A votre avis?

Dom

Sincèrement, je ne vois pas. 

Alain24

Dom a dit :

Sincèrement, je ne vois pas. 

Moi non plus je ne vois pas France Culture.

Xavier Var

Je ne comprends pas tes messages Alain.
Ce que je voulais dire, c'est comment peut-on simplement définir les connecteurs logiques ? Par exemple très simplement, le connecteur "ou". Je prends P et Q qui sont des assertions (sans formaliser ce dernier mot). Je suppose qu'il serait mal venu de parler de P ou Q est vrai si blabla (en tout cas pas tout de suite) autrement dit intégrer la sémantique.

Alain24

On peut définir le connecteur ou avec un tableau à 2 entrées. Même chose pour le connecteur et : on dit que ce sont des

connecteurs binaires.

Alain24

Le non n'est pas binaire il est fonctionnel, je dis qu'il est unaire mais cela n'engage que moi.

Foys

Etant donné des énoncés $A,B$, $\neg A$ (= $non(A)$: le contraire de $A$) et $A \wedge B$ (= $A$ et $B$) ont leur sens courant (il n'y a aucune des confusions qui affectent les autres connecteurs).

$A \Rightarrow B$ peut être défini comme l'abréviation de $\neg(A \wedge \neg B )$.

$A \vee B$ peut être défini comme l'abréviation de $\neg (\neg A \wedge \neg B )$.

Xavier Var

D'accord, je vois beaucoup mieux.
Qu'entends-tu par "ont leur sens courant".
Pourquoi n'utilises-tu pas de "ou" comme dans la réponse de @mateo ?

Médiat_Suprème

Parce que le "ou" se déduit du "et" et du "non". Foys aurait pu choisir le"ou" et le "non"pour déduire le "et", voire choisir la barre de Sheffer pour tout déduire 

Foys

Xavier Var a dit :

D'accord, je vois beaucoup mieux.
Qu'entends-tu par "ont leur sens courant".
Pourquoi n'utilises-tu pas de "ou" comme dans la réponse de @mateo ?

Ca pourrait marcher bien sûr mais en français "ou" peut être exclusif (on dit "machin ou truc" pour insister sur le fait que ce ne sera pas les deux à la fois).

Xavier Var

Merci à vous deux.
Je reviens sur la négation. Tu dis Foys que non(A) c'est le contraire de A. Ensuite tu parles de sens courant. Donc si j'ai bien saisi, si je prends l'énoncé "2 est un nombre", sa négation c'est "2 n'est pas un nombre". Là j'ai utilisé le sens courant.

Foys

Xavier Var a dit:

Donc si j'ai bien saisi, si je prends l'énoncé "2 est un nombre", sa négation c'est "2 n'est pas un nombre". Là j'ai utilisé le sens courant.

Oui.

Xavier Var

Merci 
Comment introduis-tu maintenant la notion de vérité. Toujours pour un public "lycée" ? À moins qu'il y ait des choses encore à voir avant d'introduire la notion de vérité.

Foys

Avec des tables de vérité mettons. Mais il importe de comprendre qu'il s'agit d'une problématique indépendante et qu'aucun énoncé ne porte une vérité intrinsèque (pour les tables de vérité, les valeurs obtenues dépendent des valeurs de vérité des variables propositionnelles et ces dernières sont attribuées arbitrairement).

Xavier Var

Pour rester en logique classique, on peut stipuler qu'un énoncé est soit vrai, soit faux mais pas les deux.
Qu'en est-il alors des énoncés du type "A => A" ? 

Foys

Xavier Var a dit :

Pour rester en logique classique, on peut stipuler qu'un énoncé est soit vrai, soit faux mais pas les deux.

L'énoncé $A \wedge B$ n'est ni vrai ni faux. Suivant ce que $A,B$ pourront désigner il pourra avoir une valeur de vérité vraie ou fausse, dépendant de ce qu'on a attribué à $A$ ou $B$.

Les énoncés vrais quelles que soient les valeurs de vérité attribuées aux variables propositionnelles sont appelés "tautologies". C'est le cas de $A\Rightarrow A$ (la table de vérité fournit $1$ quand on pose $A=1$ et quand on pose $A=0$).

Xavier Var

Parfait merci !

Xavier Var

Une dernière chose. Sans vouloir remettre le couteau sur la plaie, comment peut-on gérer le raisonnement par l'absurde avec tout ce qui a été dit ?
Je vois parfois non(A) abrégé par A => (Faux).

Foys

Le raisonnement par l'absurde est comme son nom l'indique un élément de raisonnement. Ce qui fait qu'une suite d'énoncé est un raisonnement (logique) n'a a priori rien à voir avec la vérité et se définit sans elle. Un raisonnement est un enchaînement d'évidences grammaticales.

Dans "$A \Rightarrow  faux$", le "faux" est en fait une constante propositionnelle (par opposition à variable) qui est systématiquement envoyé sur  $0$ dans la construction des tables de vérité. Ainsi, pour toute formule du calcul propositionnel $F$ et toute attribution de valeurs de vérité aux variables propositionnelles, $\neg F$ et $F \Rightarrow faux$ ont la même valeur de vérité.

Xavier Var

Ah ok ! Donc on peut introduire le raisonnement sans faire de lien avec la vérité.
Peux-tu donner un exemple "d'évidences grammaticale". C'est du genre modus ponen ?

Médiat_Suprème

$A\Rightarrow A$

Xavier Var

Il a été dit plus haut que c'est une tautologie, je ne comprends pas 

Foys

C'est aussi une tautologie.

Xavier Var

Ah très bien 

Foys

Dans ce message on appelle "axiome de la logique propositionnelle" un énoncé de l'une des formes suivantes ($A,B,C$ pouvant désigner des phrases quelconques, on emploie les conventions précédentes: $A\Rightarrow B := \neg (A \wedge \neg B )$ etc):

(i) $A \Rightarrow (A \wedge A)$

(ii) $(A \wedge B ) \Rightarrow A$

(iii) $(A \Rightarrow B )\Rightarrow ((\neg (B \wedge C)) \Rightarrow \neg (C \wedge A)) $.

(iv) $(A \wedge B ) \Rightarrow (B\wedge A)$

Une démonstration de logique propositionnelle classique (ou simplement "démonstration" si aucune confusion n'est à craindre, ou encore "raisonnement") est une suite $X_1,...,X_n$ où pour tout $i$, $X_i$ est un axiome de la logique propositionnelle ou bien il existe $j,k<i$ tels que $A_j = A_k \Rightarrow A_i$ (cette dernière inférence s'appelle "modus ponens"). On dit alors que $X_n$ est un théorème de logique propositionnelle. Un théorème est un énoncé qui a une preuve.

A aucun moment dans cette définition le "sens" ou la valeur de vérité des formules ne sont évoqués. On peut toutefois constater que les axiomes logiques plus haut sont des tautologies et qu'ils sont évidents par leur seule construction grammaticale ("$A$ et $B$ entraînent forcément $A$" etc)

Fixons un énoncé $A$. Voici un exemple de preuve (ci dessous $\neg$ est prioritaire sur $\wedge$ pour les parenthèses).

1°) $A \Rightarrow (A \wedge A)$ (axiome (i))

2°) $(A \Rightarrow (A\wedge A)) \Rightarrow ((\neg ((A \wedge A) \wedge \neg A)) \Rightarrow \neg (\neg A \wedge A))$ (axiome (iii))

3°) $(\neg ((A \wedge A) \wedge \neg A)) \Rightarrow \neg (\neg A \wedge A)$ (modus ponens avec 1° et 2°)

4°) $\neg ((A \wedge A) \wedge \neg A)$ (axiome (ii) avec $B:=A$ et en remplaçant l'abréviation $\Rightarrow$ par ce qu'elle désigne avec $\wedge$ et $\neg$)

5°) $\neg (\neg A \wedge A)$ (modus ponens avec 4° et 3°)

Noter qu'il est possible de substituer $\neg B$ à $A$ dans cette preuve: on obtient donc une preuve de $\neg (\neg  \neg B \wedge \neg B )$ autrement dit (abréviation) de $(\neg \neg B ) \Rightarrow B$.

Cela entraîne, si on a une preuve d'un énoncé $\neg \neg B$, la possibilité de prouver également $B$ (on écrit la preuve de $(\neg \neg B ) \Rightarrow B$) et on applique le modus ponens. On appelle ce procédé un raisonnement par l'absurde.

Alors bien sûr en pratique et en prose on ne recopie pas à la pelle des textes interminables et on se contente de l'invoquer: "faisons un raisonnement par l'absurde et montrons d'abord $\neg \neg B$ i.e. que le contraire de $B$ est impossible".

Xavier Var

Merci pour ce petit cours, je screen ça pour l'étudier plus en profondeur. 
Tu donnes donc un système d'axiomes. J'en ai vu un similaire mais avec des "ou" (Hilbert-Ackermann) .

Foys

Xavier Var a dit :
Tu donnes donc un système d'axiomes. J'en ai vu un similaire mais avec des "ou" (Hilbert-Ackermann) .

Il existe facilement des dizaines de systèmes comme ça, avec toutes sortes de choix de connecteurs primitifs. L'important est qu'ils s'accordent sur ce que veut dire "théorème" (pour la logique envisagée en tout cas puisque en plus de la logique classique -la seule qui est envisagée dans ce fil - il y a d'autres logiques: modale, intuitionniste, linéaire etc).

Florilège: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Hilbert_systems

Xavier Var

Ah oui en effet 
Quand tu auras un peu de temps, tu pourras donner ta pensée sur ce cours ? Je voudrais être sûr de me pas me lancer vers n'importe quoi.

Alain24

Il y a d'autres paradoxes  "Cette phrase contient sept mots" a pour valeur F
Si nous écrivons  sa négation "Cette phrase ne contient pas sept mots" a pour valeur F
On parle pour cette proposition de proposition autoréférente (recursive ?)

Médiat_Suprème

C'est en cela que la logique mathématique diffère du "bon sens", pour exhiber un paradoxe, il faut commencer par écrire vos phrases en termes mathématiques.

Dom

La vidéo, critiquable à souhait, a le mérite de :
1) ne pas rentrer dans le détail
2) annoncer que l’on ne va pas rentrer dans le détail 

3) dire sans le définir « ces trucs ont les mêmes valeurs de vérité ».

Pour moi, 1) et 2) sont vraiment très importants. 

Alors que « 1) » tout seul est une erreur, voire une éternelle faute qui crée des dégâts.

Il dit même une phrase du genre « pour la rigueur, ce n’est pas ici ». Et c’est franc et sain. En disant cela il est bien plus rigoureux que tant d’autres. 

Alain24

Attention à l'exemple "l'ordinateur n'est pas un animal" (l'ordination est la cérémonie de la religion catholique à l'issue de laquelle un novice devient prêtre et l'ordinateur est dans cet exemple une personne du clergé donc un animal (un homo sapiens))

Médiat_Suprème

Rien de plus facile que de créer des paradoxes ou des incohérences en langage naturel, d'où la nécessité de parler le langage mathématique pour appliquer la logique mathématique (pas de polysémie en mathématique).

Xavier Var

Exactement Dom.
@Médiat_Suprème : tout à fait !

Alain24

Pour en revenir à la vidéo initiale : l'exercice est présenté comme du niveau BAC+1, factuellement il est du niveau de la classe de sixième au collège. Je conseille, plutôt que d'établir une relation algébrique, d'utiliser des phrases

Exemple : Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme donc Socrate est mortel.

En logique propositionnelle c'est $Socrate \in  H\Rightarrow Socrate \in M$ avec $H$ l'ensemble (intuitif) des hommes et $M$ l'ensemble (intuitif) des mortels.

Il n'y a équivalence que si et seulement si $H=M$ : ce qui est l'un des axiomes de ZF : celui d'égalité formelle (on de le désigne pas communément sous ce nom).

Bibix

Effectivement, cela donne aussi : 
Tout ce que je n'ai pas perdu, je l'ai encore.
Je n'ai pas perdu de cornes, donc je suis cornu.
Oups !
Le problème, c'est que les phrases qu'on utilise au quotidien sont inadaptées au discours propositionnel, car elles peuvent comporter un tas de présupposés, de bon sens, qu'on considère tous comme acquis.

pldx1

On a même

pldx1 a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2398157/#Comment_2398157

Foys

Si vous voulez des phrases amusantes il y a celle-ci:

On obtient une phrase fausse si on écrit le texte entre guillemets ci-après une fois sans guillemets, suivi d'un deux points, suivi du même texte mis entre guillemets, suivi d'un point final: "On obtient une phrase fausse si on écrit le texte entre guillemets ci-après une fois sans guillemets, suivi d'un deux points, suivi du même texte mis entre guillemets, suivi d'un point final".

Noter que l'adjectif "fausse" est remplaçable par ce que vous voulez: "illisible"; "impossible à prouver"; "impossible à reformuler en moins de 200 mots"; "bleue" etc. Il y a une phrase en français tout à fait sensée qui parle d'elle même et qui dit qu'elle est bleue.

Cette construction a une contrepartie mathématique : si un système formel et une théorie sont assez expressifs pour décrire des opérations de traitement de texte simple (exemple: arithmétique de Peano, théorie des ensembles etc) alors ils produisent des énoncés autoréférents et vous avez un théorème de Gödel à la clé. L'exemple ci-dessus se transpose en arithmétique et entraîne que la vérité y est indéfinissable (théorème de Tarski).