Des alignements de trois centres de cercle

jelobreuil

Bonne nuit à tous

Soit $ABC$ un triangle, ses trois bissectrices intérieures et leur point d'intersection $I$, et les trois cercles de diamètres $IA$, $IB$ et $IC$. Chacune des bissectrices coupe les deux cercles dont elle ne porte pas le diamètre (par exemple, ceux de diamètres $IB$ et $IC$ pour la $A$-bissectrice) en deux points, l'un extérieur ($Ae$) et l'autre intérieur ($Ai$) au triangle. Il y a ainsi six tels points d'intersection, trois à l'intérieur et trois à l'extérieur du triangle, et c'est déjà quelque chose qu'il vaudrait la peine de justifier ...

Je constate que les deux centres des cercles passant respectivement par les trois points extérieurs $Ae$, $Be$ et $Ce$ et par les trois points intérieurs $Ai$, $Bi$ et $Ci$ sont alignés avec le centre I du cercle inscrit, et qu'en fait, il en est de même pour deux centres de cercles passant chacun par trois de ces six points, intérieurs ou extérieurs, peu importe, mais situés chacun sur une bissectrice différente ...

Comment expliquer ce résultat, qui n'est pas sans rappeler celui que j'avais exposé il y a un an ?

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2324780/trois-centres-alignes

Bien cordialement, JLB

                                                             

Epinard

Bonjour
Une réponse partielle à ce problème. Sur la figure proposée, on a : AB<BC<CA. Les résultats sont identiques dans tous les cas de figure, mais les lettres changent. Points extérieurs et intérieurs, l'étude necessite jusste des calculs d'angle. Par exemple Ai et Ae sont les projetés orthogonaux des points B et C sur AI. avec les hypothèses de ta figure, on montre que l'angle de sommet C du triangle ACB est inférieur à l'angle de sommet C du triangle ACAe. Ae est donc extérieur au triangle ABC etc
Pour ce qui est de l'alignement des points Oi, Oe et I, il suffit de montrer (toujours avec les angles) que AiAeBeBi, BiBeCeCi et CeCiAeAi sont inscriptibles. Dans ces conditions le point I est le centre radical de ces trois cercles, et en exprimant la puissance du point I par rapport à ces trois cercles, on voit que cela exprime que l'inversion de centre I qui transforme Ai en Ae transforme en fait le cercle(AiBiCi) en (AeBeCe). L'alignement des points I, Oi et Oe en résulte.
J'ai de plus montré que les trois cercles (AiBiCi), (AeBeCe) et le cercle inscrit au triangle ABC, sont trois cercles d'un même faisceau dont l'axe radical, pour la configuration donnée, passe par le point A. Par ailleurs les triangles homologiques AiBiCi et AeBeCe ont leurs côtés homologues qui se coupent sur l'axe radical de ce faisceau.
Je n'ai pas étudié l'autre propriété que tu signales. Je m'u mets...
Très cordialement.

Epinard

Bonjour à nouveau
En fait la même inversion peut être utilisée pour établir le résultat faisant intervenir les cercles circonscrits à trois de ces points situés sur trois bissectrices différentes.
Toujour très cordialement.

jelobreuil

Merci beaucoup @Epinard pour ces explications, développements et pistes de réflexion dont je vais tâcher de faire mon profit !

Il est certain que ma distinction entre points intérieurs et extérieurs au triangle, pour être la plus immédiate à première vue, n'est pas la plus logique du strict point de vue géométrique, si l'on adopte un point de vue projectif. Mais comme je suis loin de pouvoir maîtriser cette géométrie, je m'en contente ...

Je me permets de te signaler la discussion connexe https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2335025/une-bissectrice-et-des-cercles

Bien cordialement, Jean-Louis B.

gipsyc

Bonjour Jelobreuil 
Est-ce que le triangle est particulier ?
Je ne retrouve pas ces alignements.
Nomenclature de mon schéma : 
iii = centre du cercle (Ai,Bi,Ci), iie = ... etc
iii et eee :

iie et eei (pour une certaine symétrie)

Concernant le problème précédent cité en référence, mes commentaires que je trouvais pertinents n'ont suscité qu'une réaction, de pappus.
Cordialement,
Jean-Pol 

jelobreuil

Bonsoir Jean-Pol,

Non, a priori, mon triangle est quelconque ...

Edit: je viens de le remarquer, ton point Ai est mal placé, il devrait être un peu plus bas, à l'intersection de la A-bissectrice et du cercle de diamètre BI. J'ai l'impression que c'est le milieu de ID : n'aurais-tu pas commis une fausse manœuvre avec Geogebra ?

Dans ta deuxième figure, les deux cercles verts passent par Ae, ce qui n'est pas ce que je considère : tes deux cercles devraient passer, l'un par Ae, Be et Ci, et l'autre par Ai, Bi et Ce ...

Mais de toute façon, il reste le premier cas, et il me semblait bien avoir fait bouger un sommet pour vérifier que la droite des centres passe par I ... Il y a une erreur quelque part, c'est sûr, mais où ?

Je vais mieux regarder cela ...

Pour être sûr, j'ai refait une figure à peu près semblable à la tienne ...

Bonne soirée, bien cordialement
Jean-Louis

Epinard

Bonjour,
comme j'avais du temps, j'ai rédigé ma solution pour ce problème, je la joins à ce message, le fichier est au format pdf. N'hésitez pas à me signaler les erreurs.
Merci
Bian cordialement.

jelobreuil

Bonsoir @Epinard,

Je viens de parcourir ton document : merci infiniment de cette étude détaillée et complète de cette configuration ! Tu es allé bien au-delà de la question que j'avais posée ! Je vais lire attentivement ton travail, mais comme je ne suis qu'un amateur de géométrie, pas vraiment capable de l'évaluer, je le signale ici à l'attention des géo-maîtres et habitués de ce forum, @Pappus (utilisation d'angles orientés), @Jean-Louis Ayme (géométrie du triangle), @gypsic (déjà intervenu ici), @Cailloux, @Bouzar, @Rescassol, @Ludwig ... que je remercie à l'avance de leur intérêt et de leurs remarques éventuelles !

Je te signale qu'il y a une faute de frappe dès la troisième ligne, dans l'inégalité ...

Bien cordialement, Jean-Louis B.

Epinard

Bonsoir, merci pour cette réponse. Il y a effectivement une faute de frappeà l'endroit indiqué, et pourtant ce n'est pas faute de m'être relu. Je crois aussi que ma notation sur la division harmonique est erronée, je n'ai jamais beaucoup apprécié cette notation, cependant compte tenu du contexte il ne peut pas y avoir vraiment d'erreur d'interprétation. 
Très cordialement.
Jean G.

gipsyc

Bonjour Jelobreuil 
L'erreur est dans une de mes manip' Geogebra.
Une première constatation : 
les points Ai, Bi et Ci sont trois des quatre points d'intersection du triangle de contact ( I-podaire, polaire du cercle inscrit, Ge-cévien, Ge-cyclocévien) et du triangle médian.

et le quatrième point n'est pas inconnu :

                  crédit JL Ayme
Hamilton : Feuerbach à l'intersection du cercle inscrit et du cercle des neufs points : 
un peu de lecture

http://www.numdam.org/item/NAM_1903_4_3__13_1.pdf

Je continue mes recherches ...
Cordialement,
Jean-Pol 

gipsyc

... et Ae, Be etCe sont également à l'intersection des prolongements des côtés de ces deux triangles.

On retrouve donc des triangles en perspective et des perspecteurs (à déterminer), domaine de la géométrie que je ne maîtrise pas (encore).
Cordialement,
Jean-Pol 

jelobreuil

Merci, Jean-Pol ! Je suis fasciné !
En as-tu une démonstration ?
Amitiés, Jean-Louis

gipsyc

Bonjour Jelobreuil,
Non, je viens juste de le découvrir, Geogebra à l'appui, intrigué par certains alignements de points qui m'ont inspiré le triangle de contact et le triangle médian.

gipsyc

Ça me rappelle un problème que j'avais publié sur Facebook (et peut-être ici ?)

qui m'a également mis sur la voie.

gipsyc

J'avais aussi noté que les cercles
• (Ai, Bi, Ci)
• inscrit
• (Ae, Be, Ce)
étaient soit l'un dans l'autre dans cet ordre,

soit tangents en un point, sommet commun des triangles de contact et médian, se confondant alors avec le point de Feuerbach.

soit sécants en deux points communs aux trois cercles.

Cordialement,
Jean-Pol