Maximal

Snobi

Bonsoir,

Soit $E$ un ensemble infini. On lui muni d'une relation d'ordre et on suppose que $E$ admet au moins un élément maximal.
Soit $x$ un élément non maximal de $E$. Peut on trouver un élément maximal $a$ de $E$ tel que $x < a$ ?

Merci.

Médiat_Suprème

Non, pas forcément : 

$E = \mathbb N \cup \{0, a\}$
avec $0<a$ , $a$ est donc maximal, mais il n'y a pas d'élément maximal plus grand que 1

Snobi

$E=\N \cup \{0,a\} = \N \cup \{a\}$ 
$a$ est dans $\R^*_+$ ?

Snobi

je vais supposer que $a$ est un réel strictement positive
soit $x \in E = \N \cup \{ a\}$ un élément maximal

si $x=a$ alors $y=E(a)+1 > x$ contradiction
si $x \neq a$ alors $y=x+1 > x$ contradiction

donc $E$ n'admet pas un élément maximal.
ou bien j'ai mal compris le contre exemple ?

Médiat_Suprème

$a$, c'est juste $a$, il n'est pas utile de le prendre dans un ensemble connu (éventuellement on peut penser à $i$ le nombre complexe).

La seule relation entre $a$ et les éléments de $\mathbb N$ est $0<a$, donc il n'y a pas d'élément $x$ tel $a < x$, donc $a$ est bien maximal.

Snobi

Merci, c'est clair maintenant.

On note $P \subset \N \times \N$ l'ordre usuelle sur $\N$ et on pose $Q = P - \{(0,n) \mid n\in\N^* \}$ alors $Q$ est un relation d'ordre sur $N$ qui admet $0$ comme élément maximal.