Suite d'implications

Lolo36
Modifié (December 2022) dans Fondements et Logique
Bonjour, 

J'ai une question concernant les suites de Cauchy : (i) Toute suite convergente est de Cauchy, donc $CV \Longrightarrow \text{Cauchy}$.
(ii) Toute suite de Cauchy est bornée, donc $\text{Cauchy}\Longrightarrow \text{bornée}$.
En déduire que toute suite de Cauchy converge. 

Mais comme on a : $CV \Longrightarrow \text{Cauchy}\Longrightarrow \text{bornée}$, ça voudrait dire qu'il faut que je montre $\text{bornée}\Longrightarrow CV$ pour fermer la chaîne d'implications et pour que $\text{Cauchy}\Longrightarrow CV$. Mais on sait bien qu'une suite bornée n'est pas nécessairement convergente. Où est-ce que ça cloche ? Merci.

Réponses

  • Ce qui cloche c'est que contrairement à ce que tu penses, l'énoncé ne demande pas de montrer qu'une suite bornée est convergente.
    Il demande de montrer qu'une suite de Cauchy est convergente en te suggérant d'utiliser le caractère borné.
    Tu pourrais avoir envie d'invoquer le théorème de Bolzano-Weierstrass par exemple.
  • Autre indice : je pense qu’il faut travailler avec des $\varepsilon$. 
  • Autre indice : $Cauchy \Longrightarrow CV$ est faux en général (si l'espace des valeurs prises n'est pas complet) donc il faut utiliser des propriétés propres aux valeurs prises par tes suites. Autrement dit, tes implications ne suffisent pas !

    Au passage, tu utilises quelle définition pour l'ensemble des valeurs prises par tes suites ?
  • Ok je vois, je travaille dans les complexes.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2022)
    Une remarque :
    si l'on se passe des espaces complets on a le théorème suivant pour les espaces (seulement) métriques : "si une suite de Cauchy possède une valeur d'adhérence, alors la suite converge vers cette valeur d'adhérence".
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