Question d'apparence banale — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Question d'apparence banale

Modifié (December 2022) dans Arithmétique
Bonjour
Quelqu'un aurait-il une réponse ou une piste pour cette petite question sur laquelle je me casse la tête depuis plusieurs heures svp ?
Montrer que pour tout entier $n>0$, on a $$n+[n^{1/2}]+[n^{1/3}]+\cdots+[n^{1/n}]=n+[\log_{2}(n)]+[\log_{3}(n)]+\cdots+[\log_{n}(n)],$$ où $[\cdot]$ représente la partie entière.
Merci d'avance !
Mots clés:

Réponses

  • Tu pourrais compter le nombre de fois que $\lfloor n^{1/k}\rfloor$ prend une certain valeur $a$ fixée et sommer par paquet le membre de gauche.
    Ensuite, faire de même pour le membre de droite, agiter un peu les sommes obtenues (probablement une transfo d'Abel) et conclure
  • Merci pour ta réponse. 
    J'ai essayé pour n=9,10 et 11 et je remarque effectivement qu'ils ont tout les trois une somme de 1 (resp. 6, 7, et 8 fois). Comment concrétiser ça ? Tu peux m'en dire un peu plus stp ?
  • Etape 1 : vérifier si l'énoncé est correct. Donc, pour n=10 par exemple, tu calcules les 10 termes du membre de gauche, et les 10 termes du membre de droite.
    Etape 2 : si tu fais l'étape 1, tu vas deviner toi même l'étape 2.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (December 2022)
    Merci.
    J'en suis arrivé à montrer que $$[\log_{i}(n)]=j,\  \text{si}\ i^j\leq n<i^{j+1}$$ et $$[n^{1/i}]=j,\  \text{si}\ j^i\leq n<(j+1)^i.$$ Il me reste alors à compter ?
  • Modifié (December 2022)
    C'est pas mal mais tu pourrais creuser un peu et compter le nombre de $i$ qui vérifient telle ou telle double inégalité.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!