Algèbre linéaire

Bethebesteveryday

Bonjour tout le monde , svp pouvez-vous m’aider à résoudre cet exercice classique ?
Merci d’avance

Bibix

Bonjour,
Calcules $A^3$ et essayes de l'exprimer comme une combinaison linéaire de $I_3, A, A^2$. Ensuite, une petite récurrence sur $p \in \mathbb{N}$ concernant les coefficients de la combinaison linéaire permet de conclure.

JLapin

Q1) Théorème de Cayley Hamilton + récurrence sur $p$.

Si tu sais que la dimension de $K[u]$ est égale au degré du polynôme minimal de $u$ et que celui-ci est un diviseur du polynôme caractéristique, ça va encore plus vite à justifier.

julian

Je n'arrive pas à lire... Inconvénients du téléphone portable... 

rémi

Pour @julian
Exercice 2 $E$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension $n\geqslant 1$ et $u$ un endomorphisme de $E$.
$1)$ Montrer que $\forall p \in \mathbb N$, $u^p\in Vect(e,u,u^2,\ldots,u^{n-1})$ (ici $e=Id_E$)
$2)$ Soit $A=\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4 \\ 3 & -4  &12 \\ 1 & -2 & 5\end{matrix}\right]$. Écrire $A^p$ ($p\in \mathbb N$) comme combinaison linéaire de $I^3, A, A^2$.