Anneaux finis

jaccuzzi

Bonjour à tous
Alors je considère un corps fini $k$ à $q$ éléments et l'anneau $A$ des polynômes multivariés à $t$ variables, i.e. $A=k[x_1,\ldots,x_t]$. Je considère de plus un idéal $I$ de $A$ tel que $A/I$ est un anneau fini. Connaissant une base de Groebner de $I$, on sait ajouter et multiplier sur $A/I$. De plus, il me semble qu'on peut trouver facilement l'inverse d'un élément (inversible) de $A/I$.

L'anneau $A/I$ peut être vu comme un anneau sur $k^r$ ($r$ étant égal au nombre de monômes qui ne sont pas engendrés par les monômes dominants des polynômes de la base de Groebner). J'ai fait quelques expérimentations (en SageMath) et j'ai constaté qu'il existe $i<r$ tel que $x^{q^i}-x=0$ pour tout $x\in A/I$. Ainsi en général, on n'a pas $x^{q^r}-x\neq 0$.

Mon objectif serait d'étudier la possibilité de résoudre des équations non-linéaires sur $A/I$ : l'algorithme de Berlekamp n'étant pas utilisable. Une idée serait de construire un morphisme de $A/I$ dans un corps fini afin de résoudre l'équation modulo un idéal maximal de $A/I$. Je cherche donc à construire un tel morphisme. Le première question qui se pose serait déjà de construire un idéal maximal de $A/I$. Comment faire ?
Merci à vous.