Algèbre linéaire

Bethebesteveryday

Bonjour tout le monde , svp , pouvez-vous m’aider à répondre à ces questions ?
Merci d’avance.

JLapin

Question 1.
Cela revient à caractériser l'égalité $(-1)^{\deg(\mu_A)} \prod_{\lambda\in sp(A)} \lambda^{n_\lambda} = \prod_{\lambda\in sp(A)} \lambda^{m_\lambda}$ avec $n_\lambda$ et $m_\lambda$ les multiplicités de $\lambda$ en tant que racines de $\mu_A$ et de $\chi_A$.

J'avoue que je ne vois pas vraiment de CNS plus simple.

Par exemple, toutes les matrices non inversibles vérifient ceci, mais aussi les matrices vérifiant $\chi_A=(X-1)^n$ et $\deg \mu_A$ pair ou encore les matrices compagnons de taille paire, etc.

D'où vient cette question ?

Question 2.
Là encore, je ne vois pas plus simple que de dire qu'il y a égalité quand $Q$ se factorise comme on l'imagine.

Math Coss

Ajoutons les matrices à spectre simple pour faire bonne mesure.

Ou $\mathrm{diag}(-1,-1,1,1,1)$ pour rire un peu.

Ou $\begin{pmatrix}2&1\\&2\\&&2&1\\&&&2\\&&&&-1/4\\&&&&&-1/4\end{pmatrix}$, à l'avenant.