Eléments inversibles dans anneaux quotients de polynômes

jaccuzzi

Bonjour

Je considère l'anneau de polynôme $A=F_p[x_1,\ldots,x_t]$ et un idéal $I$ de $A$. Je me pose quelques questions concernant $A/I$.

Pour essayer d'y répondre moi-même je m'amuse sur SageMath. Je n'arrive pas à savoir comment trouver l'inverse d'un élément de $A/I$. De manière plus générale, je me demandais comment déterminer le nombre d'éléments inversibles.

Merci à vous

Math Coss

L'expression clé pour les anneaux de polynômes à plusieurs variables me semble être « base de Groebner ». Tout une aventure.

Pour le nombre d'inversibles, il est tout à fait fréquent qu'il y ait une infinité d'inversibles. Exemple benêt : pour $t=2$ et $I=(x_1x_2-1)$, le quotient $A/I$ est isomorphe à l'anneau infini $\mathbf{F}_p[x_1,x_1^{-1}]$, dans lequel $x_1^k$ est inversible pour tout $k\in\Z$.

jaccuzzi

Merci à toi...alors oui j'ai bien avancé sur le COx....mais je ne trouve pas la réponse à ma question...j'aimerais trouver une méthode pour calculer l'inverse. Et en supposant que $A/I$ soit fini, comment calculer le nombre d'éléments inversible. Je suppose aussi implicitement qu'on connait une base de Groebner de $I$.
Merci à vous.

Math Coss

Pour trouver l'inverse de $f$, on regarde si $1\in I+(f)$ et, si c'est le cas, on en cherche une expression explicite. La classe du coefficient de $f$ est l'inverse cherché.
NB : avec Sage, trouver une expression explicite est possible mais pas évident. Je ne sais pas faire en fait ; la méthode lift semble utile.