Groupes libres...
Bonsoir
Je suis à la recherche de ces articles-ci :
Thierry
Je suis à la recherche de ces articles-ci :
- The Existence of Free Groups de Michael Barr
- A New Proof of the Existence of the Free Group de N. C. Meyer, Jr.
Thierry
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Réponses
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C'est un test pour supprimer les comptes qui donneront cette fameuse possibilité d'obtenir gracieusement ces articles ?
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@JLapin : bonsoir. Je vais me montrer limpide. J'estime que ces articles devraient être en accès gratuit. Il n'y a aucun piège. Je n'aime pas JSTOR que je ne veux pas cautionner. Je comprends cependant ton point de vue.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
C'est un peu différent de donner un article (introuvable hors de certaines bibliothèques) et un livre piraté (qu'on aurait pu commander et sur lequel l'auteur va toucher quelques droits), non ? Mais je suppose que tu plaisantais.
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@Math Coss : bonsoir. Ce sont des articles que je demandais, pas des livres. Je ne plaisantais donc pas du tout. Ton intervention est à côté de la plaque pour le coup. Ce n'est pas grave ; je suis finalement parvenu à obtenir les documents. Je te remercie pour cette leçon de morale.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Je peux te le filer
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Un moyen simple de construire des groupes libres est de partir d'un ensemble $A$ et d'un ensemble $A'$ en bijection avec $A$ et disjoint de $A$ (on note $e: A \to A'$) la bijection en question, puis de considérer le monoïde libre $M(A \cup A')$ engendré par $A \cup A'$ (les suites finies d'éléments de $A \cup A'$ avec la suite vide qui est le neutre et la concaténation comme composition).Si $R$ est la plus petite (l'intersection) des relations d'équivalence sur $M(A \cup A')$ compatible avec l'opération de $M(A \cup A')$ (pour tous $x,x',y,y'\in M (A \cup A')$, si $x R x'$ et $y R y'$ alors $(xy) R (x'y')$) et telle que $e$ est vu comme un inverse (pour tout $x\in M(A \cup A')$, $x e(x) R \emptyset$), alors $M(A \cup A')/R$ s'avère être le groupe libre $F(A)$ sur $A$.Cependant on va proposer une construction plus explicite de $R$ qui permet de montrer mieux la structure interne de $F(A)$. Elle est basée sur l'emploi de concepts simples de réécriture.1°) Soit "$R_0$" l'ensemble des couples d'éléments de $M(A \cup A')$ de la forme $(a x y b; ab)$ où il existe $c\in A$ tel que $x=c$ et $y=e(y)$ ou bien $x= e(c)$ et $y = c$ (donc pour tous $p,q$, si $(p,q)\in R_0$ alors $q$ est obtenu de $p$ en simplifiant exactement une écriture $uu'$ aparaissant dans $p$, où $u'$ est l'inverse de la lettre $u$).2°) On la propriété suivante: pour tous $x,y,z\in M (A \cup A')$, si $(x,y)\in R_0$ et si $(x,z)\in R_0$ alors il existe $t\in M(A \cup A')$ tel que $(y,t) \in R_0$ et $(z,t)\in R_0$ (on dit que $R_0$ est "confluente") (Preuve: étudier des cas suivant que les parties simplifiables de $x$ donnant $y$ et de $x$ donnant $z$ se chevauchent ou non).3°) Il n'existe aucune suite $(x_n)_{n\in \N}$ telle que pour tout entier $n$, $(x_n,x_{n+1}) \in R_0$ (car le nombre de lettres des termes de la suite diminuerait indéfiniment ce qui est impossible)4°) On note $R_1$ la plus petite relation binaire transitive sur $M(A \cup A')$ contenant $R_0$. un couple $(p,q)$ appartient à $R_1$ s'il existe $n\in \N$, $x_0,x_1,...,x_n$ tels que $p=x_0$, $q=x_n$ et pour tout $i\in \{1,...,n\}$, $(x_{i-1},x_i)$ Alors $R_1$ est confluente elle aussi (évident; soient $x,y,z$ tels que $(x,y)\in R_1$ et $(x,z)\in R_1$; faire une récurrence sur le nombre de termes des suites envisagées).5°) $R_0$ est telle que pour tous $a,b,c$, si $(a,b)\in R_0$ alors $(ac, bc)\in R_0$ et $(ca,cb)\in R_0$. $R_1$ vérifie la même propriété.6°) On dit qu'un élément $x$ de $M(A\cup A')$ est une forme normale s'il n'existe aucun $y$ tel que $(x,y)\in R_0$.Alors pour tout $z\in M(A\cup A')$, il existe un unique $t\in M(A \cup A')$ en forme normale tel que $(z,t)\in R_1$ (l'unicité vient de la confluence de $R_1$ vue au 4°; pour l'existence, voir 3°)7°) On pose $R:= \{(x,y) \mid \exists z, (x,z)\in R_1 \text{ et } (y,z)\in R_1\}$. Alors $R$ est réflexive, symétrique et transitive (en utilisant la confluence de $R_1$). Montrer que $R$ est compatible avec l'opération de $M(A \cup A')$ et que $M(A \cup A')/R$ est un groupe (il est engendré par les éléments de $A$ qui sont inversibles) Montrer qu'en fait ce groupe est le groupe libre sur $A$ et que $R$ est la relation d'équivalence du préambule de ce message.8°) Noter que dans chaque classe d'équivalence pour $R$ il y a une et une seule forme normale (qui donc est une représentation privilégiée d'un terme; cf 6°) et utiliser la confluence de $R_1$ pour l'unicité). Ceci n'était pas donné par la construction catégorique du groupe libre comme simple solution d'un problème universel.Noter qu'on reconnaît trivialement une forme normale à son écriture (il n'y a pas deux lettres inverses l'une de l'autre qui se suivent) et que pour trouver la forme normale d'un terme il suffit de le simplifier (cf 3°) jusqu'à ce qu'on tombe (forcément) dessus.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Amédé : bonsoir. Je te remercie, mais comme je l'écrivais, j'ai réussi à me procurer lesdits articles.@Foys : bonsoir. Je te remercie, mais j'ai déjà examiné en profondeur le fabuleux texte de Bourbaki sur les objets libres que sont les magmas libres, les monoïdes libres, la somme amalgamée de monoïdes avec applications immédiates aux monoïdes libres et groupes libres. Je cherche seulement à me documenter un peu plus avec des articles de recherche, c'est tout. Le texte que tu proposes se rapproche de celui de Josette Calais, par exemple. Je te remercie beaucoup pour ton investissement.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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@Foys : en fait, la deuxième partie semble intéressante. Je la lirai plus tard. Je te remercie.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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