Ensemble des parties

topalg

Bonjour

Je suis en train de faire un exercice où je dois décrire $P\big(P({a})\big)$, où $a$ désigne un élément.

Pour ce faire, j'ai d'abord déterminé $P({a})$, où j'ai trouvé que $P({a})=\{ \emptyset, \{a\}\}$ puis maintenant j'essaye de déterminer $P\big(P({a})\big)$. Je pense que un des éléments de $P\big(P({a})\big)$ est l'ensemble vide.

Mon problème c'est que je n'arrive pas à raisonner sur $P\big(P({a})\big)$ et en particulier je n'arrive pas à comprendre ce que ça signifie quand on écrit $\{\{a\}\}$ ou bien $\{\emptyset\}$.

Est-ce que vous pourriez m'aider ?
Merci d'avance.

raoul.S

$\emptyset$ est l'ensemble vide, c'est un ensemble... qui est vide, aucun autre ensemble n'appartient à l'ensemble vide, on peut dire "qu'il n'y a rien dedans". Donc pour tout ensemble $x$, $x\not\in \emptyset$.

Par contre $\{\emptyset\}$ n'est pas l'ensemble vide, c'est l'ensemble qui contient un unique élément qui lui est l'ensemble vide. Donc dans ce cas tu as : pour tout ensemble $x$, $x\in \{\emptyset\}$ ssi $x=\emptyset$.

topalg

Merci j'ai compris.

gebrane

Bonjour raoul, pourquoi tu as écrit

: Donc pour tout ensemble $x$, $x\not\in \emptyset$.
Est ce que l'on considère  que le $\emptyset$ est un ensemble d'ensembles. Moi j'écrirais pour tout ensemble $x$, $x\not \subset  \emptyset$

Médiat_Suprème

La théorie des ensembles ne considère que des ensembles (la notion d'élément vs ensemble n'est pas pertinente)

La formule de raoul.S est correcte

gebrane

merci

Math Coss

Métaphoriquement, $\emptyset$ est une boîte vide ; $\{\emptyset\}$ est une boîte qui contient une boîte vide ; $\{a\}$ est une boîte qui contient l'objet $a$ ; $\{\{a\}\}$ est une boîte qui contient une boîte dans laquelle se trouve $a$ ; etc.

Si $P(P(\{a\})$ pose problème, on peut procéder en décomposant :

• d'abord $P(\{a\})=\{\emptyset,\{a\}\}$ comme tu l'as écrit ;
• on pose alors $b=\emptyset$ et $c=\{a\}$, de sorte que $P(\{a\})=\{b,c\}$, une paire banale ;
• classiquement, $P(P(\{a\})=\bigl\{\emptyset,\{b\},\{c\},\{b,c\}\bigr\}$ ;
• enfin, on remplace $b$ par $\emptyset$ et $c$ par $\{a\}$, ce qui donne...
  

gebrane

Bonsoir @Math Coss  Je n'aime pas ton explication avec les boîtes. car comment tu vas représenter une boîte vide qui contient deux boîtes vides ?

Médiat_Suprème

Une boîte (ou un ensemble) vide ne peut contenir des boîtes (ou ensembles), vides ou non, puisque justement la boîte (ou ensemble) vide ne contient rien.

Math Coss

Objection retenue, @gebrane. Il faut imposer d'une façon ou d'une autre que si deux boîtes contiennent la même chose (le vide ou une boîte vide ou quoi que ce soit) alors c'est la même boîte – une histoire de fainéantise de l'artisan qui fabrique les boîtes et les gigognes, sans doute, qui a toujours refusé de faire plus d'un exemplaire d'un modèle donné ?

J'espère cependant que la métaphore des boîtes peut aider pour faire la différence entre $\{\}$ et $\{\{\}\}$, etc.

JLapin

gebrane a dit :

 car comment tu vas représenter une boîte vide qui contient deux boîtes vides ?

Pourquoi voudrait-on représenter une telle chose ?
Une boîte vide ne contient rien et n'a pas de raison de contenir une ou deux choses.
Par ailleurs, une boîte qui contient deux boîtes vides n'en contient en fait qu'une seule puisqu'il n'y a qu'un seul ensemble vide.
Ici, on parle de l'ensemble $\{\emptyset\}$ qui est bien égal à l'ensemble $\{\emptyset, \emptyset\}$.

Foys

J'aime bien la vision du Krivine qui dit que la théorie des ensembles parle d'une collection (infinie) de points, dont certains sont reliés entre eux par des flèches. "$a \in b$" veut dire "il y a une flèche partant de $a$ et allant dans $b$".

Thierry Poma

@Foys : bonjour. Sauf erreur de ma part, selon Krivine, $a\in{}b$ signifie "il y a une flèche de $b$ vers $a$".

Médiat_Suprème

La représentation de l'appartenance par une flèche dans un graphe (représentation que j'aime beaucoup (elle retire toute "bizarrerie" à $a\in a$)) n'est que la représentation usuelle des relations binaires.

Foys

@Thierry Poma je viens de sortir mon Krivine pour la peine et tu as raison!