Sous-anneau de matrices

jaccuzzi

Bonjour

Soit $K$ un corps fini et $S$ une matrice carrée de taille $n$ à coefficients dans $K$ dont le polynôme minimal est de degré $n$. Je considère l'ensemble $E$ des matrices de la forme

$$E=\{c_0I_n+c_1S+\dots+c_nS^n\mid c_0,\dots,c_n\in K\}$$

Il s'en suit que $(E,\times,+)$ est un sous-anneau commutatif (?). Je me demandais quelles caractéristiques simples (autres que la définition) partagent les matrices de $E$. Sinon, si l'on connait quelques matrices $M_0,\ldots, M_t$ de $E$ (choisies par exemple aléatoirement), comment faire pour retrouver $S$ ?

Voilà merci à vous.

JLapin

On a $E=K[S]$ et donc $\dim E = \deg \pi_S = n$.

Comme $K$ est un corps fini, on connait le cardinal de $E$.

Accessoirement, $E$ est bien une sous-algèbre commutative de $M_n(K)$.

Math Coss

Pour la description de $E$ on peut dire que $E=K[S]\simeq K[X]/(\pi_S)$, en notant $\pi_S$ le polynôme minimal de $S$.

On ne peut pas retrouver $S$ à partir de $K[S]$ puisque par exemple $K[S]=K[aS+b]$ pour tout $(a,b)\in K^*\times K$ (bon, si $|K|=2$, ça n'ajoute guère qu'une seule matrice...). Pour préciser à quel point on n'a pas unicité, on peut essayer de caractériser les polynômes $f$ tels que $K\bigl[f(S)\bigr]=K[S]$. Par exemple, pour $K=\mathbf{F}_7$ et $\pi_S=X^4-3X^3+2X^2$, il y a $1260$ matrices qui engendrent $K[S]$ (pour $2401$ éléments).

jaccuzzi

Ah oui super... merci à vous !