Fonctions continues, positives, intégrables sur $\mathbb R^+$ et de $||f||_\infty = 1$
Bonsoir,
C'est une question que je me suis posé à la suite d'un exercice.
On posait $f$ une fonction positive, bornée et intégrable sur $\mathbb R^+$.
On devait prouver que si $||f||_\infty <1$ alors $\sum \int_0^\infty f^n(t) dt$ converge et c'est tout.
Je me pose alors la question : Que se passe-t-il si $||f||_\infty =1$ ? Cette situation me fait penser au rayon de convergence.
J'essaye de trouver deux fonctions dont leur norme vaut $1$ et la série de l'une est convergente et l'autre divergente.
Auriez-vous des idées de fonctions ?
C'est une question que je me suis posé à la suite d'un exercice.
On posait $f$ une fonction positive, bornée et intégrable sur $\mathbb R^+$.
On devait prouver que si $||f||_\infty <1$ alors $\sum \int_0^\infty f^n(t) dt$ converge et c'est tout.
Je me pose alors la question : Que se passe-t-il si $||f||_\infty =1$ ? Cette situation me fait penser au rayon de convergence.
J'essaye de trouver deux fonctions dont leur norme vaut $1$ et la série de l'une est convergente et l'autre divergente.
Auriez-vous des idées de fonctions ?
Mots clés:
Réponses
-
Cela donne quoi pour $f(x)=e^{-x}$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Maintenant pour la convergence ?
Ce n'est pas mon exerciceLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Ok je viens de trouver une fonction via l'intégration terme à terme positif !
Je choisis : $f(t)=e^{-t^2}\ge 0$.
- $\forall n\in\mathbb N^*,\ f^n(t) = e^{-nt^2} \in L^1(\mathbb R^+_*, \mathbb R)$.
- $\sum_{n\ge1} f^n$ converge simplement sur $\mathbb R^+_*$.
- $\forall t\in \mathbb R^+_*,\ \sum_{n=1}^\infty f^n(t) = \dfrac{e^{-t^2}}{1-e^{-t^2}} \in C_{pm}^0(\mathbb R^+_*, \mathbb R)$
- $\forall n\in\mathbb N^*,\ f^n \ge 0$
Par intégration terme à terme, on a : $\int_0^\infty\sum_{n=1}^\infty f^n(t) dt= \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt$
Or, $\dfrac{e^{-t^2}}{1-e^{-t^2}} \in L^1(\mathbb R^+, \mathbb R)$ car équivalent quand $t$ tend vers $+\infty$ à $e^{-t^2}$.
Donc : $\sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty e^{-nt^2} dt$ converge !
EDIT : Cela ne marche pas en $0$... -
Erreur de ma part cela ne marche pas en $0$. J'ai beaucoup trop rêvé...
-
Si f tel que f(0)=1 et 0 ailleurs ?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Tu ne demandes pas la continuité dans tes hypothèsesLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Alors je n'ai pas été précis. C'est une fonction continue, positive, intégrable sur $\mathbb R^+$ !
-
Je n'étais pas aussi assez clair, c'est ton exerciceLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Et bien c'est un exo que je me suis imaginé donc effectivement, oui
!
Quand j'y pense, si j'avais $f$ intégrable, positive et continue. On ne peut pas utiliser l'intégration terme à terme.
Déjà, $f$ tend vers 0 en $+\infty$ et il existe $t\in\mathbb R^+$ tel que $f(t) = 1$.
En dehors des ces points, on peut essayer d'utiliser l'intégration terme à terme : ce qui donne $\frac{f(t)}{1-f(t)}$
Cela va être difficile d'avoir l'intégrabilité sur $\mathbb R^+$. -
Pour régler le problème en $0$ : Il faudrait que $f(x) = 1-bx^a + o(x^a)$ avec $a<1$ et $b>0$.
Je choisis donc : $f(t)=1-\frac{1}{4}\sqrt{t}$ si $t\le k_0$ et $e^{-t^2}$ sinon. On pose $k_0 > 0$ tel que $1-\frac{1}{4}\sqrt{k_0} = e^{-k_0^2}$
- $\forall n\in\mathbb N^*,\ f^n(t) = (1-\frac{1}{4}\sqrt{t})^n$ si $t\le k_0$ et $e^{-nt^2}$ sinon. On a $f^n\in L^1(\mathbb R^+, \mathbb R)$
- $\sum_{n\ge1} f^n$ converge simplement sur $\mathbb R^+_*$.
- $\forall t\in \mathbb R^+_*,\ \sum_{n=1}^\infty f^n(t) = \frac{4-\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ si $0< t\le k_0$ sinon $ \frac{e^{-t^2}}{1-e^{-t^2}}$. La série est dans $C_{pm}^0(\mathbb R^+_*, \mathbb R)$. On le notera $g$.
- $\forall n\in\mathbb N^*,\ f^n \ge 0$
Par intégration terme à terme, on a : $\int_0^\infty\sum_{n=1}^\infty f^n(t) dt= \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt$
$g \in L^1(\mathbb R^+, \mathbb R)$ : En $0$, $g(t)\sim_0 \frac{4}{\sqrt{t}}$. Pour $+\infty$, $g(t)\sim_{+\infty}e^{-t^2}$. Cela marche.
Donc : $\sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt$ converge !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres