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Construction de coniques

Modifié (November 2022) dans Géométrie
Bonjour à tous
Aujourd'hui où la seule conique encore un tant soit peu utilisée reste le cercle trigonométrique, on a du mal à imaginer combien les constructions de coniques étaient autrefois à la mode.
Il est vrai qu'une fois digérées leurs définitions et leurs (nombreuses) propriétés, ces différentes constructions menaient à des configurations élémentaires parfaitement maitrisées par les collégiens ou les lycéens de cette époque.
Le problème que je vous propose est donc tout à fait typique et peut se résoudre par des considérations de géométrie synthétique élémentaire mais on peut aussi utiliser la géométrie analytique faute de mieux!
Construire une conique connaissant son centre, une directrice et un point!
Amicalement
pappus

Réponses

  • Bonsoir, pappus,
    le centre s'appelle $O$ et le point donné $M$ ; si la droite $(OM)$ est parallèle à la directrice $D$, je pense qu'il n'y aura pas unicité (le foyer $F$ associé à $D$ pourra être placé à tout endroit compatible avec la théorie : par exemple, si $O$ et $M$ sont d'un même côté de $D$, n'importe où entre $O$ et sa projection $H_0$ sur $D$).

    Sinon, on a $MF/MH=M'F/M'H'$, avec les notations habituelles : $F$ appartient à un cercle d'Apollonius passant par le point $N$ où $OM$ rencontre $D$ ; ce cercle est centré sur $OM$ et passe aussi par le conjugué harmonique de $N$ par rapport à $M,M'$, ce qui détermine le cercle. Comme $F$ appartient aussi à $OH_0$, la limitation de sa position sur cette droite le rend unique.


  • Ah ben non : si ma figure est juste, il peut y avoir deux foyers possibles, ou zéro si le cercle d'Apollonius ne rencontre pas $OH_0$ 
  • Demain, je regarderai la discussion du nombre de foyers...
  • Merci John_john
    Le point $M$ étant donné,, on connait automatiquement trois autres points de la conique.
    Avec ce quadrangle, cela donne six sécantes et parmi ces six sécantes, il me semble qu'il y en a une qui se prête mieux aux inévitables discussions futures!
    Amitiés
    pappus
  • Bonjour à tous
    Voici la figure qu'il faudra bien expliquer avec les maigres, très maigres moyens du bord!
    Amicalement
    pappus

  • Bonjour à tous
    Un autre point de vue ou variante.
    Amicalement
    pappus

  • Merci john_john
    Tu verras que la sécante qui se prête le mieux aux raisonnements est celle passant par $M$ et parallèle à l'axe focal et non celle passant par $M$ et le centre $O$ que tu as choisie!
    Amitiés
    pappus
  • Bonjour, pappus,
    effectivement ! Si je prends les abscisses des points de ta parallèle, si $x$ est celle de $M$, $d$ l'abscisse de $H$, le conjugué harmonique a pour abscisse $x^2/h$, le centre du cercle $(h+x^2/h)/2$ ; ensuite le rayon du cercle est $\pm(h-x^2/h)/2$, à comparer avec la distance du centre à l'axe focal, qui est $\pm y$.
    Les paraboles d'équation $2hy=\pm(x^2-h^2)$ sont de foyer $O$ et ont pour directrices les droites d'équation $y=\pm h$, ce que confirment tes figures.

    J'ai fait ces calculs lorsque $O$ et $M$ sont d'un même côté de la directrice, mais l'autre cas est sans doute analogue.

    Bon après-midi ! j__j
  • Modifié (November 2022)
    Merci john_john
    Ce qui était autrefois élémentaire est devenu inaccessible aujourd'hui où on doit se contenter en fait de coniques du cercle trigonométrique pour toute pitance et de l'inénarrable axiome de Pythagore.
    $$\sin^2x+\cos^2x=1$$
    Amitiés
    pappus
    PS
    J'aurais pu poser cet exercice sous la forme suivante:
    Etudier la famille de coniques dont on connait le centre et une directrice!


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