Prolongement des caractères pour les tores (algébriques)

b.b

Bonsoir à tous

Un tore algébrique $T$ sur $\C$ est un ensemble algébrique (affine) isomorphe en tant que variété algébrique à $\left(\C^*\right)^r$ pour un entier $r$ positif. On le considère muni, via l'isomorphisme précédent, de la structure de groupe de  $\left(\C^*\right)^r$ . Un caractère de $T$ est un morphisme $T \longrightarrow \C^{*}$ à la fois pour la structure de groupe et de variété. Les caractères du tore $T=\left(\C^*\right)^s$ sont connus, ils sont tous de la forme $(t_1,\dots,t_s) \longmapsto t_1^{a_1}\dots t_s^{a_s}$ où $a=(a_1,\dots,a_s)\in \Z^s$.

Que dire des caractères d'un sous-tore $T$ de $\left(\C^*\right)^s$ ? Précisons : un sous-tore $T\subset \left(\C^*\right)^s$ est une sous-variété irréductible de $\left(\C^*\right)^s$ qui en est un sous-groupe. Tout caractère de $T$ est-il la restriction d'un caractère de $\left(\C^*\right)^s$ ?