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Série de fonctions

KcgKcg
Modifié (November 2022) dans Analyse
Bonsoir à tous !! Je bloque sur un exercice depuis.
 Étudier les modes de convergence de la série de fonction de terme général $f_n(x)=\sin(x)(\cos(x))^n$ sur $[0,~\pi]$.
 J'ai réussi à montrer la convergence simple sur $[0,~\pi]$ sans souci, sachant que la série géométrique $\sum_{n} (\cos(x))^n$ converge.  Je bloque sur la convergence uniforme... Je sais que ma série converge uniformément si et seulement si la suite de fonctions $(R_n)_n$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0,~\pi]$. Où $R_n$ est le reste d'ordre $n$ de la série $\sum f_n$. On a : 
 $  \forall~n \in \N ,\ x\in ]0,~\pi[ ,~ R_n(x)=\dfrac{\sin(x)(\cos(x))^{n+1}}{1-\cos(x)}$ ...
 C'est là que je bloque car je n'arrive pas à majorer par une suite numérique qui tend vers $0$... et l'étude de la dérivée est lourde. J'ai en effet 
$ R'_n(x)= \dfrac{ (\cos(x))^n(\cos(x)^2-\cos(x)^3-(n+1)\sin(x)^2+n\sin(x)^2\cos(x))}{(1-\cos(x))^2}$
 La convergence normale est également problématique, je ne sais pas comment débuter.
 J'ai néanmoins tracé les courbes des  $f_n$ et il me semble que la suite $(f_n)_n$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0,~\pi]$. Donc la condition nécessaire pour qu'il y ait convergence uniforme de notre série est respectée.
 S'il vous plaît, quelqu'un aurait une idée pour traiter la convergence uniforme et normale ??
 Toute suggestion est la bienvenue...

Réponses

  • Modifié (November 2022)
    En $0$ et en $\pi$, je suis surpris qu'il y ait convergence simple.
    Pour la convergence uniforme (ou normale, cela revient au même ici (pourquoi ?)), il faut exclure ces points. On peut commencer par étudier un intervalle de la forme $[a, \pi-a]$ pour $a$ entre $0$ et $\pi/2$,  puis passer à $\left]0,\pi\right[$.
  • Modifié (November 2022)
    Bonjour
    Remarque.   @Math Coss :      $f_n(0)=0$  pour tout $n\in \N,\ \sum_n f_n(0)=0$,   il y a bien convergence simple en $x=0.$ 
    D'autre part j'éviterai  l'indication  "passer à $]0,\pi[$"  pour un profane.  
     
  • La convergence simple en $0$ et en $\pi$ est due au fait que tous les $f_n$ s'annulent en ces points...
     @Math Coss apparemment tu te jettes d'emblée dans la convergence sur les segments de $]0,~\pi[$ ?? Pourquoi exclure $0$ et $\pi$ s'il te plaît ?? et si on réussissait à montrer cette convergence sur $[a,~\pi -a]$ en quoi ça nous aiderait pour dire s'il y a convergence uniforme sur $[0,~\pi]$ ou pas ??
  • Modifié (November 2022)
    Bonsoir
    Examinez la continuité de la somme en 0.
  • KcgKcg
    Modifié (November 2022)
    Ah! Je crois que ça marche @Lars. Je sais que la série $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,~\pi]$ vers la fonction S définie par : $S(x)=\dfrac{\sin(x)}{1-\cos(x)}$, si $x\in\,]0,~\pi[ $ et $S(x)=0$ sinon. 
     Par ailleurs, on a 
      $  \begin{align} \lim_{x \to 0^{+}} S(x) & =\lim_{x \to 0^{+}} -\frac{\sin(x)}{x} \frac{1}{\tfrac{\cos(x)-\cos(0)}{x-0}} \\&=+\infty \end{align}$
     Ainsi, $S$ n'est pas continue en $0$ et donc il n'y a pas convergence uniforme.
    Un grand merci à tous.
  • Modifié (November 2022)
    Je fais acte de contrition.
    • D'une part, je n'ai pas pris garde au sinus qui suffit effectivement à faire converger en $0$ et en $\pi$ (et comment, la série est nulle !) !
    • D'autre part, je ne proposais pas de passer d'emblée à $\left]0,\pi\right[$ mais plutôt de commencer par $[a, \pi-a]$ parce que ça me semblait plus facile. Cependant, non, ça n'aide pas pour $\left]0,\pi\right[$ ; je suppose que @bd2017 me reprochait de le sous-entendre.
    • Au passage, j'ai cru à tort que la série était de signe constant pour tout $x$ parce que j'ai mal regardé le cercle dans ma tête (où, apparemment, ça ne tourne pas rond).
    Comme @Kcg s'en est sorti (quand même), je tente de faire amende honorable en prouvant la convergence normale sur $[a,\pi-a]$ pour tout $a\in\left]0,\pi/2\right]$. En effet, pour $x\in[a,\pi-a]$, on a $|\cos x|\le\cos a$, de sorte que $|\sin x\cos^nx|\le \sin a\cos^na$, et le membre de droite est le terme général d'une série convergente indépendante de $x$.
  • Modifié (November 2022)
    Bonsoir
    @Math Coss  je me doute bien que tu souhaitais dire "d'abord  étudie la convergence  uniforme sur tout intervalle $[a,\pi-a]$   avec   $0< a<1$  "  (par ailleurs ceci est évident car la convergence est normale)  et ensuite tu pourras étudier la CVU  sur l'intervalle $]0,\pi[$  (où  $[0,\pi]$  ) .  Mais tel que c'était dit on aurai pu croire qu'on récupère la CVU  par une sorte de passage à la limite. 
    Par contre j'estime que la réponse @KCG est incomplète.  En effet il ne dit pas si il y  a CVU ou  non  sur $[a,\pi]$ avec  $a>0.$    
    Edit @KCG  je précise que dire "il n'y a pas convergence uniforme "  c'est trop vague pour être correct. 

     
  • @Math Coss merci pour ta démo , ça me fait un peu plus de culture.

    @bd2017 j'ignorais que je devais aussi étudier la convergence sur les segments $[a~,\pi]$ . Lorsqu'on me demande d'étudier les modes de convergence d'une suite de fonctions sur un intervalle $I$ , j'étudie uniquement la CVS , CVU et CVN sur $I$. La convergence sur tout segment est un mode de convergence ??

     Pour la conclusion de mon post précédent, j'ai encore omis l'intervalle . Je devais dire" il n'y a convergence uniforme sur $[0,~\pi]$. Merci pour la remarque.
  • Modifié (November 2022)
    Je n'avais pas pensé non plus à étudier la convergence uniforme sur $[a,\pi]$ avec $a\in\left]0,\pi\right]$ mais c'est intéressant. Tu as mis en évidence un obstacle au voisinage de $0$, à savoir le manque de continuité de la limite en ce point qui réfute la convergence uniforme sur $[0,a]$ avec $a>0$, cet obstacle n'existe plus au voisinage de $\pi$.
    Pour cette étude, on peut utiliser l'expression explicite du reste et en trouver le maximum. Il devrait y avoir un petit DL à effectuer. Have fun.
  • @Math Coss tu as vu la dérivée de $R_n$ que j'ai envoyée dans mon premier post ?? Comment on peut arriver à étudier ça ?
  • Modifié (November 2022)
    On n'a peut-être pas besoin d'être si précis. On s'en tire sur $[a,\pi-a]$ donc moralement, ce qui compte, c'est le voisinage de $\pi$. Là, $1-\cos x$ vaut environ $2$, ce n'est pas important – plus formellement, on se place par exemple sur $[5\pi/6,\pi]$ et là, on encadre le cosinus pour parer à toute éventualité.
    Reste à estimer $r(x)=\left|\sin x\cos^n x\right|$ (un zeste plus simple d'étudier $R_{n-1}$ ?) ou, disons, $t\sqrt{1-t^2}^{n}$, ce qui revient au même côté variations, $t^2(1-t^2)^{2n}$, autrement dit $T(1-T)^{2n}$, avec une attention particulière au voisinage de $T=0$. Ça, c'est jouable. Le maximum est atteint en $T_n=(2n+1)^{-1}$ et il vaut environ \[\rho_n=\frac{1}{2n+1}\Bigl(1-\frac{1}{2n+1}\Bigr)^{2n}\sim\frac{\mathrm{e}^{-1}}{2n+1}.\]Pour récapituler, $r(x)$ est majoré par $\sqrt{\rho_n}$, atteint en $x_n$ tel que $\sin^2x_n=T_n$.
    Enfin, aux confusions de notations et aux erreurs de calcul près...
  • Modifié (November 2022)
    Bonjour
    Pourquoi dériver $R_n?$    CVU  sur $[a,\pi].$  Soit $\eta 0$   t.q    $a< \pi- \eta$   mais pas fixé pour le moment. 
    Posons    $\omega_{\eta}= \max (|\cos(a)|), |\cos (\pi-\eta)|$  ($\omega_{\eta}< 1$ .)  Alors sur  $[a,\pi- \eta ],$  on a $|R_n(x)|\leq \dfrac{\omega_\eta^{ n+1}} { 1-\omega_\eta}$   et  sur    $[\pi- \eta , \pi ]$  on a  $|\R_n(x)|\leq  \dfrac{ \sin (\pi- \eta)}{2}.$
    Choisissons   maintenant $\eta$  assez petit t.q  sur  $[\pi- \eta , \pi ]$ on ait $|\R_n(x)|\leq  \dfrac{ \sin (\pi- \eta)}{2}< \epsilon.$  Alors pour $n$  assez grand on a  $|R_n(x)|\leq \dfrac{\omega_\eta^{ n+1}} { 1-\omega_\eta}<\epsilon $  sur   $[a,\pi- \eta ]$  et donc aussi  sur $[a, \pi].$  c.q.f.d

    En résumé:  on a CVS sur $[0, \pi],$   CVU  sur tout $[a, \pi]$ mais pas CVU sur $[0,\pi]$       
       







     
  • Modifié (November 2022)
    Bonjour
       Pour la convergence normale, la fonction $x \mapsto |f_n(x)|$ étant symétrique par rapport à $x=\frac{\pi}{2}$, tu peux l'étudier sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ où un calcul de dérivée te dit que la maximum est atteint pour $x_n={\color{white}\arctan(\frac{1}{\sqrt{n}})}$. Un développement limité te donne alors : $\underset{x \in [0,\frac{\pi}{2}]}{\sup}|f_n(x)| \underset{n \to +\infty}{\sim} {\color{white}\frac{C}{\sqrt{n}}}$ avec $C>0$ une constante et il n'y a donc pas convergence normale sur $[0,\frac{\pi}{2}]$. Ceci donne aussi la convergence normale, donc uniforme sur tout intervalle de la forme $[a,\frac{\pi}{2}]$, puisque à $a \in ]0,\frac{\pi}{2}]$ fixé, $x_n<a$ pour $n$ assez grand. Par décroissance, le $\underset{x \in [a,\frac{\pi}{2}]}{\sup}|f_n(x)|$ est donc atteint en $a$ et vaut donc $\sin(a) \cos(a)^n$, qui est le terme général d'une série convergente.
    Quant à la non-convergence uniforme sur $[0,\frac{\pi}{2}]$, tu peux la voir comme une conséquence du fait que la fonction définissant ta série n'est pas continue en $0^+$ si tu as vu un théorème te disant que la somme d'une série de fonctions continues convergeant uniformément sur un intervalle y est continue.
  • @bd2017 ta démarche est très simple pour résoudre mon problème. Merci beaucoup.
     Merci également à @Math Coss et @Melchior pour ces différentes façons d'aborder le problème.
  • Kcg  Il serait intéressant que tu redémontres la non CU sur [0,a] en calculant le sup
    Le 😄 Farceur


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