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Le produit de convolution de mesures régulières est une mesure régulière

Bonjour
Une mesure borélienne $\mu$ sur $\mathbb{R}$ est dite régulière s'il est vérifié que 
  1.  $\mu(K) < \infty$ pour chaque ensemble compact $K$.
  2. $\mu(A)=\inf\left\{{  \mu(O)\mid \textrm{ O est ouvert et } A \subset U    }\right\}$ pour chaque ensemble borélien $A$.
Je veux montrer que si $\mu$ et $\nu$ sont des mesures régulières alors leur convolution définie par $(\mu * \nu)(A)=(\mu \times \nu )\big(f^{-1}(A)\big)$ est  régulière, où $f(x,y)=x+y$. 
Par définition on a que
\begin{equation}
(\mu \times \nu)(A)=\int_{\mathbb{R}^2}{1_{f^{-1}(A)} d(\mu \times \nu)}
\end{equation}
Mais $f^{-1}(A)=\left\{{(x,y)\mid x+y \in A}\right\}=\left\{{(x,a-x)\mid a \in A}\right\}$, par conséquent, si nous écrivons $A-x=\left\{{a-x\mid a \in A}\right\}$  alors, d'après le théorème de Fubini on a que 
\begin{equation}
(\mu * \nu)(A)= \int_{\mathbb{R}}{g d \mu},
\end{equation}
où $g(x,y)=\nu (A-x)$. Donc, si $\mu$ et $\nu$ étaient finis, la première propriété suit immédiatement et donc la seconde aussi. Mais je n'ai pas cette hypothèse. D'un autre côté, si on prend $K$ compact alors $K-x$ est compact et donc $\nu(K-x)$ est fini pour tout $x \in \mathbb{R}$ mais cela n'implique pas que l'intégrale de $g$ sera finie. Il semble donc que je n'utilise pas correctement l'hypothèse de régularité de $\mu$ et $\nu$.
Quelqu'un a-t-il des suggestions ?
Merci beaucoup d'avance.

Réponses

  • Tes mesures doivent être finies autrement ça ne marche pas.

    Exemple : la mesure $\lambda$ de Lebesgue sur $\R$ est régulière mais $(\lambda\otimes \lambda) (f^{-1}([0,1]))$ n'est pas fini et pourtant $[0,1]$ est compact.
  • Oui, tu as raison! Merci beaucoup! :)
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