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Exercices de troisième

JLTJLT
Modifié (November 2022) dans Géométrie
Quelqu'un m'a communiqué des énoncés provenant d'une classe de troisième. Les géomètres chevronnés du forum ne mettront pas plus de 5 minutes à les résoudre, mais ces exercices semblent très difficiles pour le collégien moyen. N.B. Il ne faut pas utiliser de notions hors programme du collège actuel, notamment pour le dernier exercice le théorème de Brianchon n'est pas autorisé.

1. Dans un triangle $ABC$, les hauteurs issues respectivement de $A$ et $B$ se coupent en $H$ ; les médiatrices $(ON)$ et $(OM)$ relatives respectivement à $[AC]$ et $[BC]$ se coupent en $O$. On note $I$ et $K$ les milieux respectifs de $[AH]$ et $[BH]$.
a) Montrer que les triangles $KIH$ et $MNO$ sont égaux. En déduire que les triangles $MON$ et $BHA$ sont semblables.
b) Montrer que $AH=2\times OM$, et que $(OH)$ coupe la médiane $[AM]$ au centre de gravité du triangle.

2. Sur le côté $[BC]$ du triangle $ABC$, on construit le carré $BCDE$. On joint $(AE)$ qui coupe $(BC)$ en $F$ et $(AD)$ qui coupe $(BC)$ en $G$. La perpendiculaire en $F$ à $(BC)$ coupe $(AB)$ en $H$ et la perpendiculaire en $G$ à $(BC)$ coupe $(AC)$ en $I$. Démontrer que $FGIH$ est un carré.

3. Une tangente en $I$ à un demi-cercle de diamètre $[AB]$ coupe en $C$ et $D$ les tangentes en $A$ et $B$. On mène la perpendiculaire $(IK)$ à $(AB)$. Montrer que $(AD)$, $(BC)$ et $(IK)$ sont concourantes.

Réponses

  • Les points M et N se baladent,  il manque une précision sur ces points.
  • Oui j'ai reproduit les énoncés tels quels avec leurs imperfections. Les points $M$ et $N$ sont les pieds des médiatrices.
  • Bonjour,
     un schéma rapide de démonstration...

    1. X le point d'intersection de (AD) et (BC)
    2. XAC et XDB sont semblables; ce qui conduit à un rapport
    3. réciproque de Thalès au triangle DAC; d'où (IX) //(AC)
    4. unicité de la perpendiculaire issue de I à 'AB).

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Modifié (November 2022)
    Bonjour à tous
    A tout hasard, je me risque à donner une solution du troisième exercice même si je ne sais pas trop  ce qu'on est censé savoir au collège en dehors des axiomes de Thalès et de Pythagore.
    Sur ma figure $K=AD\cap BC$ mais le fait que ces droites se coupent est un peu un acte de foi
    D'après l'axiome de Thalès:
    $$\dfrac{KA}{KD}=\dfrac{AC}{BD}$$
    D'autre part on a:
    $AC=CI$ et $BD=DI$
    Est-ce encore enseigné au Collège?
    Permettez moi d'avoir quelques doutes!
    Résultat des courses:
    $$\dfrac{KA}{KD}=\dfrac{IC}{ID}$$
    Et $$IK\parallel AC\parallel BD$$
    d'après l'axiome de Thalès
    Amicalement
    pappus



  • Oui c'est dans le chapitre sur le théorème de Thalès, donc c'est bien l'outil attendu pour ces exercices.
  • Modifié (November 2022)
    Les AC=CI et BD=BI peuvent s'obtenir avec les triangles égaux (donc semblables) ACO et ICO. Cela peut s'obtenir aussi avec la propriété de Pythagore dans les mêmes triangles ACO et ICO mais les collégiens n'ont pas du tout l'habitude d'utiliser Pythagore ainsi.
    Bref, que des choses au programme mais si on le pose en l'état, cet exercice aura 0% de réussite je pense (dans mon collège en tout cas). En posant quelques sous-questions, on arriverait à un peu mieux.
  • $AC=CI$ c'est parce que le symétrique par rapport à $(OC)$ d'une tangente est aussi une tangente, ce qui fait que $I$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(OC)$. Je pense que la notion de symétrie est connue des collégiens ?
  • Oui JLT bien sûr, la symétrie axiale étant vu en 6ème, je cherchais des choses que des 4eme-3eme pourraient exploiter car généralement les élèves ne se souviennent pas d'un truc qui date de plus d'un mois.
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