Dérivabilité

Time

Bonsoir tout le monde! besoin d'aide SVP! Merci bien!

1)Lorsqu'on nous demande d'étudier la dérivabilité d'une fonction (à valeurs réelles) en un point, est ce qu'il faut étudier la continuité en e point directement ou passer directement au dérivabilité?

2) Calculer (si elle existe) la dérivée de $f(x)=x^{x+1}$. Si $x>0$ on peut utiliser $ln$ et on aura $f(x)=e ^{(x+1)ln(x)}$ ça marche, $f$ est dérivable. Mais au cas où $x<0$ ? est ce que $f$ n'est pas définie?

Homo Topi

1) Tu peux étudier directement la dérivabilité. Si la fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point. La seule chose nécessaire pour étudier la dérivabilité en un point est de savoir que la fonction y est définie (sauf si tu veux étudier une dérivabilité à gauche/droite).

2) Si $x<0$, $f$ n'est pas définie, c'est correct.

Time

Homo Topi Merci.

2) Je n'ai pas bien compris, si par exemple $x=-1$ alors $f(x)= (-1)^{-1+1}=(-1)^0= 1$, donc la fonction est définie ! $x=-2$ alors $f(x)= (-2)^{-2+1}=(-2)^{-1}= -1/2$, donc la fonction est définie pour $x<0$ !

Homo Topi

Je ne savais pas que tout $x<0$ est un entier...

Plus sérieusement : la notation $a^b$ n'est pas définie pour $a<0$ si $a$ n'est pas un entier. Donc ta fonction $f$, oui, elle sera définie ponctuellement sur les entiers négatifs, mais seulement sur les entiers négatifs. Donc les calculs de limite (continuité, dérivabilité) ne marcheront pas.

gerard0

Bonjour Time.

Tu peux noter que ta fonction est aussi définie pour $x=0$. Donc qu'on peut prendre comme intervalle de définition $[0,+\infty[$ et que se pose la question de la dérivabilité en $0$.

Sinon, pour les fonctions de la forme $x\mapsto f(x)^{g(x)}$, avec $x$ réel, il y a toujours un problème de signification de la notion de puissance. Si c'est toi qui choisis d'écrire, à toi de décider de la signification de ton écriture $f(x)^{g(x)}$; si c'est dans un énoncé, c'est à l'énoncé de le faire. En effet, il y a plusieurs façons de définir les puissances non entières de réels négatifs, aucune n'est consensuelle, et les règles habituelles ne se prolongent pas bien.

Cordialement.

Time

Homo Topi a dit :

Plus sérieusement : la notation $a^b$ n'est pas définie pour $a<0$ si $a$ n'est pas un entier.

$x$ est un réel.

Je n'ai pas compris cette phrase?! Pourquoi  $a^b$ n'est pas définie pour $a<0$ si $a$ n'est pas un entier. On a par exemple $(\frac{-1}{3})^2$ est bien définie même si $a=\frac{-1}{3}$ n'est pas un entier.

Time

gerard0 a dit :

Bonjour Time.

Tu peux noter que ta fonction est aussi définie pour $x=0$. Donc qu'on peut prendre comme intervalle de définition $[0,+\infty[$

Mais la fonction logarithme n'est pas définie en $0$.

JLapin

Pour étudier la dérivabilité en un point $a$, ta fonction doit être définie en ce point mais aussi a minima sur un intervalle de la forme $]a-r,a]$ ou $[a,a+r[$ pour un certain $r>0$.

Alors, certes, $(-3)^{-3+1}$ existe mais $(-3+h)^{-3+h}$ n'existe pas si $h$ est trop petit et non nul.

Donc ta dérivabilité est à étudier sur les réels positifs ou nuls et pas ailleurs.

Poirot

Time a dit :

Homo Topi a dit :

Plus sérieusement : la notation $a^b$ n'est pas définie pour $a<0$ si $a$ n'est pas un entier.

Je n'ai pas compris cette phrase?! Pourquoi  $a^b$ n'est pas définie pour $a<0$ si $a$ n'est pas un entier. On a par exemple $(\frac{-1}{3})^2$ est bien définie méme si $a=\frac{-1}{3}$ n'est pas un entier.

Homo Topi voulait dire "si $b$ n'est pas un entier".

gerard0

Time :

$0^{0+1}$ est un nombre parfaitement défini depuis le collège.

Tous les problèmes viennent de l'utilisation hors contexte de la notation $a^b$ qui peut se définir de diverses façons non cohérentes entre elles ($(-2)^2$ ne se définit pas non plus avec $\ln$, et pourtant, tout collégien peut trouver que ça fait 4)

Cordialement.

Homo Topi

Merci @Poirot d'avoir vu l'étourderie.

Faisons un truc bon pour la santé : distinction de cas.

Si $a>0$, alors $a^b=e^{b\ln(a)}$ est défini peu importe le signe de $b$.

Si $a<0$, alors on ne peut plus utiliser le logarithme. Donc on définit $a^b$ avec prudence. Si $b$ est entier, c'est bon, on sait faire. Si $b$ est rationnel, ça dépend : $(-1)^{-1/3}$ ça marche, $(-1)^{1/2}$ ça ne marche pas (en tout cas, dans $\R$). Donc si tu veux une "formule générale" pour $a^b$, la seule formule effectivement générale est $e^{b\ln(a)}$, et là il faut $a>0$. Pour $a<0$, il n'y a que pour $b$ entier que $a^b$ soit défini quelle que soit la valeur de $b$. Mais pour certaines valeurs non-entières de $b$, comme dit, ça existe encore, c'est du cas par cas, mais on ne définit pas une fonction très maniable par $x \longmapsto x^b$ sur les $x<0$.

Math Coss

Et quand @Time sera un grand garçon ou une grande fille, iel ira chercher les déterminations du logarithme complexe pour donner une infinité de valeurs (complexes) à $a^b$ même quand $a$ a le mauvais goût d'être négatif.

Homo Topi

Dans l'absolu oui, on peut définir $a^b$ quand $a$ et $b$ sont complexes, mais chaque chose en son temps. Le fil ci présent m'avait l'air de se limiter assez clairement aux fonctions réelles, et on s'embrouille déjà bien assez avec ça.