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La borne $\inf u_n$

Modifié (November 2022) dans Analyse

Chers membres du forum
Voici un exo "de colle" de maths sup.

Posons $\beta = \sqrt{2}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $u_n = n \big( \beta n - \lfloor{\beta n} \rfloor \big)$.
Comment déterminer la borne inférieure des $u_n$ ?

J'ai une preuve "astucieuse" qui me provient d'un collègue, mais elle ne se généralise pas pour $\beta$ irrationnel, disons pour commencer $\beta = \sqrt{d}$ avec $d \in \mathbb{N}^*$ qui n'est pas un carré.
Avez-vous des références bibliographiques sur ce genre de suites ? Et/ou une solution générale ? Et/ou des idées ?
Merci.
Clairon.

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