Récurrence foireuse

Lolo36

Bonjour

Pour répondre à l'exo

 Soit $n\in\mathbb{N^*}$, montrer que l'équation d'inconnue $x$, $x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1=0$ admet une unique solution positive ou nulle.

J'ai voulu passer par une récurrence sur $n$. J'introduis la fonction $f_n : \mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1$.

Dans l'initialisation ($n=1$), on $x-1=0$ donc $x=1 >0$ donc l'initialisation est vérifiée. 
Je suppose mon hypothèse de récurrence pour $n\in\mathbb{N^*}$. Si je note $u_n$ cette solution positive, je pose donc qu'il existe un $u_n$ positif ou nul tel que $f_n(u_n)=0$. Donc $f_{n+1}(u_n)=\left(\sum_{k=1}^{n+1}u_n^k\right)-1 = f_n(u_n)+u_n^{n+1} = u_n^{n+1}$. Mais c'est là que je coince. 
Sinon une étude de fonction marche très bien aussi.
Merci

Foys

Je ne vois pas trop comment exploiter $u_n$ pour dire des choses intelligentes sur $u_{n+1}$, à part leurs positions relatives sur la droite réelle.

On peut montrer par récurrence sur $n\in \N$ que $f_n$ est strictement croissante. Ou encore calculer sa dérivée et faire une étude de variations pour aboutir à la même conclusion.

Puis finir l'exo avec le théorème des valeurs intermédiaires.

Médiat_Suprème

Si $n$ est pair, $f_n$ n'est pas strictement croissante, mais strictement croissante sur $\mathbb R^+$, ce qui est suffisant (une fois démontré)

Ouppss je n'avais pas vu le + dans la définition de $f_n$ (merci Math Coss)

Lolo36

Ok je vois, donc la récurrence n'est pas la bonne option.

raoul.S

Autre possibilité : s’apercevoir que $x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1$ est égal à $\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}-2$.

Foys

@Médiat_Suprème : @Lolo36 avait déjà précisé que sa fonction était définie sur $\mathbb R_+$.

Médiat_Suprème

J'ai corrigé il y a  26 mn (grâce à Math Coss)

Lolo36

Ok ça marche