Podaire d'une parabole

Léon Claude Joseph

Dans le plan euclidien on se donne deux droites concourantes en O, (d) et (d’), un point A , un point B sur (d) et son symétrique C par rapport à (d’), H étant le pied de la hauteur issue du sommet C du triangle ABC.

Dans le cas général, le lieu du point H en fonction du point B sur sa droite (d) est la podaire d’une parabole à définir par directrice et foyer.

Rescassol

Bonjour,

Cette manie de proposer des exos de géométrie sans fournir de dessin est très désagréable.

Cordialement,
Rescassol

poulbot

Bonjour Léon Claude Joseph
Une suggestion pour nos amis géomètres : la droite $CH$ enveloppe une parabole de direction asymptotique orthogonale à $d$ et le lieu de $H$ est la podaire de $A$ par rapport à cette parabole.


Bien cordialement
Poulbot

Léon Claude Joseph

Mon cher Poulbot
Tu as remplacé le point C de mon énoncé par un autre point et les droites CH sont tangentes à une autre parabole que la mienne. 

poulbot

Bonsoir Léon Claude Joseph et merci de m'avoir réveillé
J'aurais mieux fait de lire plus attentivement ton énoncé, cela m'aurait évité de traiter un problème différent quoique similaire.
Je pense que c'est maintenant rectifié.
Bien cordialement
Poulbot

Léon Claude Joseph

Voici en pdf les différences qui apparaissent entre les deux constructions

poulbot

Message déplacé pour erreur d'aiguillage.
Avec toutes mes excuses.
Poulbot

poulbot

J'ai déplacé le message précédent à https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2332331/podaire-de-parabole#latest
car posté dans le mauvais fil (ils portent presque le même nom)

poulbot

Bonjour
Construction du foyer $F$ de la parabole de Léon Claude Joseph et de sa tangente au sommet
Prenant pour $B$ la projection $b$ de $A$ sur $d$, son symétrique $c$ par rapport à $d^{\prime }$ est sur la tangente au sommet qui est parallèle à $d$.
Pour le foyer, il est sur le cercle de centre $O$ passant par $A$ et, prenant $B$ quelconque, si la droite $CH$ coupe la tangente au sommet en $U$, les droites $UF$ et $UCH$ sont perpendiculaires (les projections du foyer d'une parabole sur ses tangentes sont sur la tangente au sommet)




Bien cordialement. Poulbot

Léon Claude Joseph

Merci Poulbot pour cette belle construction.

Voici la mienne: pour la directrice, je construis deux couples de tangentes rectangulaires, et pour le foyer, le second théorème de Poncelet en ces points d’intersection.

pappus

Merci Poulbot

Je prends le train en cours de route car j'étais occupé avec mes propres podaires.

Un petit typo dans ton texte:

il faut lire les droites $UF$ et $CH$ sont perpendiculaires et non les droites $UF$ et $BC$!

Ta figure est cependant correcte mais pour le moment ni ta construction ni celle de Léon Claude Joseph n'ont été réellement justifiées!

Il y a donc encore du pain sur la planche pour nos amis lecteurs!

Amitiés

pappus

poulbot

Bonjour Pappus
Et merci d'avoir signalé ces typos dorénavant corrigés
Amicalement. Poulbot

pappus

Bonjour Poulbot

A priori, il n'est pas du tout évident que la droite $CH$ enveloppe une parabole et même une quelconque conique.

Voici une défunte manière de faire, susceptible d'avoir été utilisée par les taupins de ma jeunesse dorée.

Tout d'abord le point $C$ décrit la droite symétrique de $d$ par rapport à $d'$ c'est à dire avec tes notations la droite $Oc$.

Pour des raisons techniques, il vaut mieux construire la droite $CH$ à partir de $C$.

On part d'un point $C$ quelconque de la droite $Oc$.

On prend son symétrique $B$ par rapport à la droite $d'$ qui se trouve donc sur la droite $d$.

La droite $CH$ est la droite issue de $C$ perpendiculaire à $AB$.

Voici donc comment aurait raisonné notre taupin, rien dans les mains rien dans les poches!

Le point $B$ dépend homographiquement du point $C$, tout comme la droite $AB$ et la droite $CH$ qui lui est perpendiculaire.

Autrement dit si $C'$ est le point à l'infini de $CH$, les points $C$ et $C'$ définissent une correspondance homographique entre la droite $Oc$ et la droite de l'infini.

Résultat des courses: la droite $CH$  enveloppe une conique (tangentielle) tangente à $Oc$ et à la droite de l'infini.

C'est donc une parabole (de direction asymptotique perpendiculaire à $d$, il est facile de le voir.

Tu devrais facilement améliorer cette démonstration.

On en déduit diverses constructions de son foyer plus simples que la tienne.

En particulier, je n'ai pas compris ton histoire de cercle de centre $O$ passant par $A$, une intersection de droite et d'un cercle, cela donne deux points, ce qui n'est guère agréable.

Il vaut mieux récupérer le foyer comme intersection de deux droites!

Amitiés

pappus

poulbot

Bonjour Pappus
Bien évidemment, l'utilisation du cercle $O$ passant par $A$ est sans intérêt vu que l'on connait une infinité de droites passant par $F$. Je l'ai fait figurer uniquement car cela semblait intéressant (mais pas du tout évident) de savoir que ce cercle passait par $F$ et, d'ailleurs, j'ai utilisé deux droites $CH$ distinctes (en n'en montrant qu'une pour ne pas surcharger la figure) pour ne pas avoir à choisir entre deux points du cercle.
Amicalement. Poulbot 

Léon Claude Joseph

Pappus, un grand merci.

Comme toujours, tes commentaires élèvent le débat.

En demandant à Cabri le lieu de la hauteur il nous donne suffisamment de droites pour supposer que leur enveloppe est une parabole. Ma construction n’est qu’une vérification de cette hypothèse. Elle est un peu compliquée, mais je l’aime bien car c’est la première fois que j’utilise le deuxième théorème de Poncelet.

Elle n’est pas valable si la droite (AB) est orthogonale à la droite (d).

J’associe au point B un deuxième point B’ sur l’orthogonale en A à (AB) et je fais deux constructions ABCH et AB’C’H’. Les hauteurs (CH) et (C’H’) sont perpendiculaires en un point D, dont le lieu présenté par Cabri est visiblement une droite.

Pour utiliser le théorème, j’ai construit deux autres tangentes rectangulaires en un point D’.

En pièce jointe le dessin.