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Triangle rectangle et cercle de Mention

Modifié (November 2022) dans Géométrie

S = rp = ID DE ⇔ DE = p
Une propriété, aussi simple que belle, reprise d'un problème dans  College Mathematics Journal, March 2002, p. 150, cité par Ross Honsberger in Mathematical Delights, 2004
Avec un peu de bagage algébrique, le théorème des cordes apporte la solution.
Jean-Pol Coulon.

Réponses

  • Bonjour, Jean-Pol,
    Merci pour ce petit problème !
    La puissance de $D$ par rapport au $A$-cercle de Mention s'écrit $DI.DE = DB.DC$, il s'agit par conséquent de montrer que $S(ABC) = DB.DC$ ... n'est-ce pas ?
    Bien cordialement, JLB
  • Bonjour,

    ABC étant A-rectangle, (p-b).(p-c) = [ABC] = p.r,   2.p étant le périmètre de ABC et r rayon du cercle inscrit..
    Puis puissance arithmétique de D par rapport au A-cercle de Mention.

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Modifié (November 2022)
    Bonjour, Jean-Pol, Jean-Louis
    Voici ma solution complète, qui fait plus appel à l'arithmétique et au calcul littéral qu'à l'algèbre proprement dit ...
    En fait, connaissant la relation générale $S² = p(p-a)(p-b)(p-c)$, il s'agit tout d'abord de vérifier l'indication de Jean-Louis, $(p-b)(p-c) = S(ABC)$ dans le cas d'un triangle rectangle en $A$. En divisant la première relation par la deuxième, on obtient $S(ABC) = p(p-a) = p² - ap$, et en introduisant la relation de définition de $p$, $p = (a + b+ c)/2$, il vient $p² - ap = (a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2 ca)/4 - (a² + ab + ac)/2$, ce qui, compte tenu du théorème de Pythagore selon lequel $a² = b² + c²$, fournit finalement, après les nombreuses simplifications, $p(p-a) = bc/2 = S(ABC)$, ce qui permet de vérifier qu'on a bien, pour un tel triangle, $(p-b)(p-c) = S(ABC)$.

    Voyons maintenant à quoi correspondent, sur la figure ci-dessus, ces deux facteurs : compte tenu des égalités géométriques $BV = BD$, $AV = AT$ et $CD = CT$, on peut écrire $p = AV + BD + CT$, $b = CT + AT$, et $c = AV + BV$, et donc $p-b = AV + BD + CT - AT - CT = BD$, et de même, $p-c = AV + BD + CT - AV - BV = CD$. On obtient donc, finalement, pour un triangle rectangle en $A$, la relation $S(ABC) = BD.CD$.
    Mais le produit $BD.CD$ représente la puissance du point $D$ par rapport à tout cercle passant par $B$ et $C$, et dans le cas de la figure, cette puissance est aussi exprimée par le produit $ID.ED$. D'autre part, sachant que la surface $S$ d'un triangle quelconque est aussi égale au produit du demi-périmètre $p$ par le rayon du cercle inscrit $r$, et que dans la figure, celui-ci n'est autre que $ID$, on en déduit immédiatement que la longueur du segment $DE$ est égale au demi-périmètre du triangle rectangle $ABC$.
    Eh oui, j'aime bien écrire de jolies phrases, c'est mon péché mignon !
    Bien cordialement, JLB
  • Modifié (November 2022)
    Bonjour Jelobreuil et Jean-Louis,
    Merci pour tous vos calculs ... beaucoup d'algèbre ou d'arithmétique (mais il me semble qu'on parle de géométrie algébrique), pour une fois.De ma part, j'étais parti du théorème des cordes sécantes
       BD DC = ID DE
    Il fallait donc prouver que dans un triangle A-rectangle
       S(ABC) = BD DC
    Soit BD = m = p-b et DC = n = p-c

    c² + b² = a² 

    ⇒ (p-n)² + (p-m)² = (m+n)² 

         p² - pn  - mp = mn

         - p(m+n) + p² = mn                                (1)

    S(ABC) = c.b/2 

                = (p-m) (p-n)/2 

                = mn/2  + (-p(m+n) + p²)/2             (2)

                    (1)(2) ⇒ 

                = mn

                = BD DC = ID DE

    Comme S = rp

    ⇒ DE = p ... joli !

    On peut aussi essayer de démontrer (dans le ΔABC A-rectangle) que  le rayon rₐ  de l'A-excercle de centre Iₐ  (en subliminaire sur mon schéma, de centre construit selon Catalan avec le cercle A-Mention et l'A-bissectrice; BC touch point Uₐ)

       rₐ = DE = p      ⇔      IₐUₐ // ED   et DUₐ // EIₐ 

       [la trigono peut nous aider : rₐ = p tan (α/2)]

    ou encore que, quelque soit le ΔABC,

       IE = (b+c) tan (α/2)             [Thanasis Gakopoulos]

           = b + c                            [ΔABC A-rectangle]

    Je note aussi que pour tout ΔABC, comme les points de contact avec BC de l'incercle et de l'A-excercle sont symétriquement placés par rapport à la médiatrice de BC :

       IₐUₐ // ED   et DUₐ // EIₐ 

       BE = CIₐ 

    et que ces deux segments BE et CIₐ  sont symétriques par rapport à la BC-médiatrice 

    D'autres propriétés 


    Cordialement,
    Jean-Pol Coulon.

  • Modifié (November 2022)
    Bonsoir Jean-Pol,
    Je m'excuse de devoir te signaler qu'il y a une erreur de signe, sans conséquence, au début de tes calculs : en fait, on a c = p - n et b = p - m !
    Cela ne change rien au résultat final, mais ça fait un peu désordre ...
    Bien cordialement, JLB
  • Modifié (November 2022)
    Bonjour Jelobreuil 

    Merci pour ta relecture attentive et ta correction.

    Juste un dernier commentaire sur le problème initial.

    Si l'on sait que le rayon de l'A-excircle (IaUa) d'un triangle égale
       p tan α/2 
    et donc
       p dans le triangle rectangle en A,
    comme par construction et par symétrie (par rapport à la médiatrice de BC)
       DE = IaUa,
    on a tout de suite la solution.
    Jean-Pol
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