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Irréductibilité et connexité d'une courbe

Modifié (November 2022) dans Algèbre
Bonjour,
j'ai une question pour les géomètres algébristes du forum.
Est-ce qu'une courbe algébrique affine sur $\mathbb{C}$ (au sens le moins abstrait, une sous-variété de dimension $1$ de $\mathbb{C}^n$ donnée comme le lieu des zéros d'une famille de polynômes à $n$ variables) irréductible (voir non singulière) est connexe au sens de la topologie usuelle sur $\mathbb{C}^n$ ?
Si vous avez des idées sur la question ou des références, merci !!

Réponses

  • Réponse bête : le lieu des zéros de l'idéal $(z_2,\dots,z_n)$ ?
    Question pas moins bête : pourquoi penses-tu qu'une courbe algébrique affine complexe a tendance à ne pas être connexe ?
  • Modifié (November 2022)
    La question n'est pas "est-ce qu'il existe un exemple qui marche ?" mais "est-ce que c'est vrai en général ?"
    Si la courbe n'est pas irréductible, c'est clairement faux. Par exemple, le lieu des zéros du polynôme $x(x-3)$ dans $\mathbb{C}^2$ n'est pas connexe. Mais quand la courbe est irréductible ?

  • Bonjour,
    Je savais que c'était une conséquence du théorème de Chow mais je n'avais jamais vu de démonstration.
    J'en ai  trouvé une explicite dans  la proposition 3.3.1 dans ce papier:                                                       

    Théorème de Chow - PSL

    Cordialement.
  • Ah oui, je vais lire la référence.
    Merci Alceste !
  • Bonsoir,
    Aussi : Basic Algebraic Geométry de Shafarevich, Chap. VII, § 2.
  • Effectivement, excellente référence.
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