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Un point et deux angles

Bonjour,
$M$ est un point intérieur au cercle de centre $O$ et de rayon $1$. On note $r=OM$.
Pour quelles valeurs de $r$ est-il possible de construire la figure ci-dessous ? 
Construire alors la figure.


$\widehat{AMB}=60°$, $\widehat{BMC}=45°$ et $(MB)\perp(AC)$.

Réponses

  • Modifié (November 2022)
    J'ai trouvé expérimentalement que $r \geq r_0=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)}{2}$. Ci-dessous une construction de la figure limite : avec $M(r_0,0)$ l'angle polaire de $A$ vaut $225°$ et celui de $C$ $330°$.


    Pour une construction dans le cas $r > r_0$ je ne vois pas.

  • Bonsoir @Ludwig,
    L'angle de 105° est l'un des angles que l'on trouve dans un dodécagone régulier : peut-on imaginer de partir d'un tel polygone ?
    Je vais essayer de retrouver ce que j'ai fait sur ces triangles particuliers obtenus par accolement, par les côtés des angles droits, d'un demi-triangle équilatéral et d'un demi-carré ...
    Bien cordialement, JLB
  • Modifié (November 2022)
    Bonsoir jelobreuil,
    Et quelle est la position du point limite pour d'autres valeurs des angles $\widehat{AMB}$ et $\widehat{BMC}$ ?
  • Modifié (November 2022)
    Bonne nuit, Ludwig,
    Je crois avoir trouvé une méthode générale de construction de ces triangles :
    Partant d'un triangle équilatéral $AEM$, je place $D$ milieu de $EM$, je place le point $C$ sur le prolongement de $AD$, tel que $DC = DE$, je trace la demi-droite $ME$, je place le point $B$ mobile sur cette demi-droite, et en dernier lieu, je trace le cercle $(O)$ passant par $A$, $B$ et $C$.
    Ci-joint ce qu'on obtient pour trois positions du point $B$.
    Le lieu du centre $O$ du cercle $(O)$ quand $B$ décrit la demi-droite $ME$ est une droite parallèle à cette demi-droite, ce qui confirme qu'il y a bien une distance $OM$ minimale en-deçà de laquelle la construction n'est pas possible. Cette distance minimale correspond au cas où le point $O$ se trouve sur le segment $AC$, autrement dit, au cas où $AC$ est un diamètre du cercle. Je ne l'ai pas vérifié, mais je pense que cela doit correspondre à la valeur que tu as indiquée ...
    J'essaierai de voir demain comment adapter cela dans le cas où il faudrait partir du cercle ...
    Quant à la question de ton message précédent, je suppose qu'on peut déterminer cette position par un procédé semblable : ce sera la distance entre deux parallèles, non ?
    Bien cordialement, JLB



                    

  • Merci jelobreuil, et bravo ! 
    On peut adapter ta construction pour $\widehat{AMB}=\alpha$ et $\widehat{BMC}=\beta$ : il suffit de faire des rotations pour avoir $E$ et $C$.
    Mais la distance minimale ne correspond pas à celle entre les deux parallèles, car le rayon $R$ de ton cercle varie. C'est la position de $M$ telle que le rapport $OM/R$ soit minimal que l'on cherche, pas celle où $OM$ est minimale.
  • Modifié (November 2022)
    Je conjecture que dans le cas général la position limite de $M$ sur l'axe des abscisses se déduit de la figure suivante, où $K(0,-1)$ : ce point limite est l'intersection de $(Ox)$ avec l'image de $(AC)$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\pi/2-\alpha$ : 

  • Modifié (November 2022)
    Bonsoir à tous, le problème revient analytiquement à minimiser ou (maximiser) une fonction de la forme $a\sin(x)+b\cos(x)+c=OM^2$ ($x=2\theta$, $\theta $ l'angle à la base de $OAC $). Par exemple dans la figure initiale on aura la fonction $$\dfrac{(1-\sqrt{3})^2\cos(\theta)^2}{(1+\sqrt{3})^2}+\Big(\dfrac{2\cos(\theta)}{1+\sqrt{3}}-\sin(\theta)\Big)^2.$$
    Edit.
  • Modifié (November 2022)
    Si ma conjecture (*) est correcte le point limite est obtenu pour : $$r_0= \frac{\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})}{\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})}.$$ (*) Vérifiée expérimentalement pour trois couples d'angles.
    On prend $0 \leq \beta \leq \alpha \leq \pi/2$.
  • Bonjour, en posant $p=\tan(90-\alpha)\tan(90-\beta)$, $s=\tan(90-\alpha)+\tan(90-\beta)$ et $x=\cos(2\theta)$ avec les notations du fil, on a $$OM^2=\dfrac{2(p^2-p)+s^2+x(2(p^2-p))-2ps\sqrt{1-x^2}}{s^2}$$ qui admet un minimum en $x=\dfrac{-h}{\sqrt{r^2+h^2}}$, $h=2(p^2-p)$ et $r=2ps$. Je crois un calcul formel vous donne l'expression conjecturée. 
    Cordialement.
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