Suite extraite de $\left(\cos\,n\,\theta\right)$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Suite extraite de $\left(\cos\,n\,\theta\right)$

Modifié (November 2022) dans Analyse
Bonsoir a tous,
J'ai étudié un petit problème et je sollicite votre aide pour la dernière question où jai presque trouvé le résultat ! Je vous joins le sujet et ma rédaction de cette ultime question.
Mon problème est que la suite " valeur absolue de pn" n'a aucune raison d'être strictement croissante... Elle peut même être constante non ? J'ai exploité la densité de S dans R mais peut-être ai-je oublié une hypothèse.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance

Réponses

  • Normalement, tu peux toujours trouver une suite $|p_n|$ strictement croissante pour les $y \notin S$. Pour $y \in S$, c'est plus compliqué.
  • Okay, merci, quelqu'un a-t-il une autre idée ?
  • Modifié (November 2022)
    Pour $y \in S$, tu peux utiliser le principe d'extraction diagonale en exploitant le fait que $[-1,1] \setminus S$ est dense dans $[-1,1]$. Tu as donc une suite $(l_n)$ d'éléments de $[-1,1] \setminus S$ qui converge vers $y$. Et pour chaque $l_i$, tu as $(u_{i,n})_n$ suite d'éléments de $S$ qui converge vers $l_i \notin S$. Avec la limite de $u_{n,n}$, tu peux conclure.
    [$\LaTeX$ fournit la commande \setminus qui gère correctement les espacements, ce que ne fait pas \backslash. AD]
  • Modifié (November 2022)
    Super merci ! J'ai trouvé sur internet une démonstration un peu plus simple ( ci joint en pdf et en jpg , la source est écrite dans le document)
    Si quelqu'un le lit : à la 7eme ligne, l'auteur affirme que A est infini. Pourquoi ? En utilisant la densité, je vois uniquement que A est non vide. La suite de la démonstration est plutôt clair par contre.
    Merci d'avance ! 
    Mike2

  • C'est quasi-automatique par densité. Si $x \not \in G$, tu peux trouver $g_1 \in G$ tel que $0 < |x-g_1| < \varepsilon$, puis $g_2 \in G$ tel que $0 < |x-g_2| < |x-g_1| < \varepsilon$, etc. Si $x \in G$, il faut faire un petit argument diagonal comme suggéré au-dessus.
  • Modifié (November 2022)
    Il y a aussi un résultat présenté par @Chaurien (je n'ai pas la référence) :

    Si $S$ est une partie de $\R$ stable par addition et contenant au moins un réel strictement positif et un réel strictement positif [négatif ?], alors
    ou bien $S$ est $\R$, ou bien $S$ est dense d'intérieur vide ou bien $S=a\Z,\;a\in\R_+^*$.

    Cela s'applique au cas $S=\N a+\Z b$
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