Expression de $\sqrt{19}$

etanche

Bonjour
Montrer que $$\sum_{k=1}^{38} \sin\big(\frac{k^8\pi}{38}\big)=\sqrt{19}$$ Merci.

Poirot

Ça sent la somme de Gauss modulo $19$ cachée...

Boécien

Je pense qu'on peut un peu généraliser ce qui pourrait aider. Si $p\geq7$ est premier de la forme $4x+3$ alors je crois que

$$\sum_{k=1}^{2p}\cos\left(k^{\frac{p-3}{2}}\frac{\pi}{2p}\right)=\sum_{k=1}^{2p}\sin\left(k^{\frac{p-3}{2}}\frac{\pi}{2p}\right)=\sqrt{p}$$

etanche

@ Boécien je suis toujours impressionné par tes conjectures. 

Boécien

C'est juste la retranscription de ton problème en remplaçant 19 par p et quelques essais numériques

Guego

C'est Poirot qui a la bonne idée ici :

>>> sorted([(k**8)%76 for k in range(1,39)])
[0, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 9, 9, 16, 16, 17, 17, 20, 20, 24, 24, 25, 25, 28, 28,
 36, 36, 44, 44, 45, 45, 49, 49, 57, 61, 61, 64, 64, 68, 68, 73, 73]
>>> sorted([(k**2)%76 for k in range(1,39)])
[0, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 9, 9, 16, 16, 17, 17, 20, 20, 24, 24, 25, 25, 28, 28,
 36, 36, 44, 44, 45, 45, 49, 49, 57, 61, 61, 64, 64, 68, 68, 73, 73]

D'où

\[ \sum_{k=1}^{38} \sin\left(\frac{k^8\pi}{38}\right) = \sum_{k=1}^{38} \sin\left(\frac{k^2\pi}{38}\right) \]

Guego

On continue : 

>>> sorted([(k**2)%76 for k in range(76)])
[0, 0, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 9, 9, 9, 9, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 
20, 20, 20, 20, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 28, 28, 28, 28, 36, 36, 36, 36, 
44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 45, 49, 49, 49, 49, 57, 57, 61, 61, 61, 61, 
64, 64, 64, 64, 68, 68, 68, 68, 73, 73, 73, 73]

D'où :

\begin{align*} \sum_{k=1}^{38} \sin\left(\frac{k^2\pi}{38}\right) & = \dfrac{1}{2} \sum_{k=0}^{76} \sin\left(\frac{k^2\pi}{38}\right) \\
 & = \dfrac{1}{2} \sum_{k=0}^{76} \sin\left(\frac{2k^2\pi}{76}\right) \\
 & = \dfrac{1}{2} \Im\left[\sum_{k=0}^{76} \exp\left(\frac{2ik^2\pi}{76}\right)\right]
\end{align*}

Et donc, d'après les sommes de Gauss, ça nous fait $\dfrac{1}{2}\Im((1+i)\sqrt{76})$, ce qui donne bien $\sqrt{19}$.

 

jandri

On peut généraliser avec un nombre premier $p=4q+3$ ($q\geq1$) : $S_p=\displaystyle\sum_{k=1}^{2p}\sin \dfrac{k^{2q}\pi}{2p}=\sqrt p$ (formule conjecturée par Boécien).

Soit $1\leq k\leq p-1$. Comme $-1$ n'est pas un carré modulo $p$, il y a deux possibilités : 

$k\equiv x^2\pmod p$ avec $1\leq x\leq p-1$ (deux valeurs pour $x$ : $x$ et $p-x$)

ou bien $k\equiv -x^2\pmod p$ avec $1\leq x\leq p-1$ (deux valeurs pour $x$ : $x$ et $p-x$).

Dans les deux cas on en déduit $k^{2q}\equiv x^{4q}=x^{p-3}\equiv x^{-2}\equiv y^2\pmod p$ avec $1\leq y\leq p-1$ (deux valeurs pour $y$ : $y$ et $p-y$).
On choisit la valeur de $y$ qui a la même parité que $k$ pour obtenir $k^{2q}\equiv y^2\pmod{4p}$.

De plus $p^{2q}\equiv p^2\pmod{4p}$ et $(2p-k)^{2q}\equiv k^{2q}\pmod{4p}$  ainsi que $(2p-y)^2\equiv y^2\pmod{4p}$.

On en déduit $S_p=\displaystyle\sum_{k=1}^{2p}\sin \dfrac{k^2\pi}{2p}$ (c'est trivial si $p=7$).

Ensuite comme l'a calculé Guego : $S_p=\displaystyle\frac12\sum_{k=1}^{4p}\sin \dfrac{k^2\pi}{2p}=\frac12\Im (T_{4p})$ avec $T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\exp \dfrac{2ik^2\pi}n$ (somme de Gauss relative à $n$).

Il est connu que $ T_{4p}=(1+i)\sqrt{4p}$ donc $S_p=\sqrt p$.

gebrane

Soit p un nombre premier >3 je conjecture que $$\sum_{n=1}^{2p} \sin \left( \frac{\pi n^2}{2p} \right)=\sqrt p$$
vérifiée pour p=5,7,11,13,17,19, 23

Blague à part c'est vrai pour tout entier  >0.

jandri

C'est simplement le résultat sur les sommes de Gauss dans le cas d'un multiple de 4.

gebrane

Je ne connaissais pas ces sommes de Gauss, y a-t-il des produits de Gauss ou machin
Par exemple montrer que $\prod_{n=1}^{p-1}\tan^{2}(\frac{n \pi}{2p}) = \prod_{n=1}^{p-1}\tan(\frac{n \pi}{2p}) =1$.

Boécien

Sinon on peut aussi proposer de résoudre une équation "gaussantienne"  

Soit $n$ un entier montrer qu'il existe un entier $m$ tel que
$$\sum_{k=1}^{m}\cos\left(\frac{k^{2}\pi}{2n^{2}}\right)$$soit un nombre entier. J'ai calculé le plus petit de ces entiers $m$ pour $n=1,2,3,... $  et j'obtiens la suite (appelons la $u_n$)$$1,3,35,63,24,71,48,127,161,199,725,143,168,587,224,255,288,1295,721,799,...$$
une suite en apparence pas très catholique. Peut-on caractériser cette suite $u_n$? Pour les puissance de $2$  on a semble-t-il $u_{2^n}=16.2^n-1$ pour $n>1$.